北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (26)

一、选择题
1.如图，把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，其中∠B=
90∘，AB=2，△ABD的周长为8，则四边形ABDE的面积是( )
A．8
3B．13
3
C．6D．7
2.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点Cʹ处连接ACʹ，则ACʹ长度的最小值是( )
A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm
3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部
的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )
A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13
4.已知a，b，c是三角形的三边，满足(a−3)2+√b−4+∣c−5∣=0，则三角形的形状是( )
A．腰和底不相等的等腰三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
5.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2019的值为( )
A ． (12
)
2019
B ． (12
)
2018
C ．
(√2
2)
2019 D ．
(√2
2)
2018
6. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A ． 1，2，3
B ． 2，3，4
C ． 3，4，5
D ． 4，5，6
7. 如图，已知 ∠ABC =90∘，AB =6，BC =8，AD =CD =7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 ( )
A ． 0
B ． 2
C ． 3
D ． 4
8. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )
A ． 2 米
B ． 2.2 米
C ． 2.5 米
D ． 2.7 米
9. 如图，将一根长 27 厘米的筷子，置于高为 11 厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为 (27−√157) 厘米，则底面半径为 ( ) 厘米．
A ． 6
B ． 3
C ． 2
D ． 12
10. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴
蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( ) cm ．
A．15B．√97C．12D．18
二、填空题
11.如图，在高2米，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．
12.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC=8，则△ABC的面积是．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将
△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．
14.等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则其底边BC的长为．
15.如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向
下滑一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．
16.如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂
蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．
17. 小明用三角板测得一个圆锥形漏斗尺寸如下图所示，那么漏斗斜壁 AB 的长度 cm ．
三、解答题
18. 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB =90∘，AB =15，BC =9，AD =5，DC =13．试判断
△ACD 的形状，并说明理由．
19. 已知 AB =2，AC =4√1
2，BC =2
5
√125，在图所示的网格内画 △ABC ，使它的顶点都在格点上，
图中每个小正方形的边长都为 1．
(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求点 A 到 BC 边的距离．
20. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，且 AD =BD ，在 AD 上截取 DE =DC ，延长 BE 交 AC
于点 F ，连接 CE ．
(1) 证明：△BDE≌△ADC．
(2) ∠ABF和∠ACE相等吗？说明理由．
(3) 若BD=12 cm，CD=5 cm，求线段BF的长度．
21.如图，每个小正方形的边长为1．
(1) 求四边形ABCD的周长；
(2) 求证：∠BCD=90∘．
22.回答下列各题：
(1) 特例研究：如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高．
(2) 经验提升：如图②，在△ABC中，AB=AC≠BC，点P为线段BC上的任一点，过点
P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．
x+3，l2:y=−3x+3，若线
(3) 综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=3
4
段BC上有一点M到l1的距离是1，请运用(2)中的结论求出点M的坐标．
23.阅读：
小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．
如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．
证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，
在△ABD和△ECD中，
∵AD=DE（已作），
∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
BD=DC（已知），
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），
同理可证，A1B1=E1C1，
未完待续⋯⋯
(1) 请你补全这个证明．
(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的
范围是．
(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，
则△ABC的面积是．
24.为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经
测量，∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m．
(1) 求出空地ABCD的面积．
(2) 若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
25.请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示．
设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2．
路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示．
设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，
∵l12−l22=25+25π2−225=25π2−200=25(π2−8)>0，
∴l12>l22，
∴l1>l2，
∴选择路线2较短．
(1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按
前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=；
路线2：l22=(AB+BC)2=．
∵l12l22，
∴l1l2（填“>”或“<”），
∴应选择路线（填1或2）较短．
(2) 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为ℎ时，应如何选择上面
的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．
答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】∵把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，∴AD=CD，∠AED=∠CED=90∘，AE=CE，
∵△ABD的周长为8，
∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=8，
∴BC=6，
∵AD2=AB2+BD2，
∴CD2=4+(6−CD)2，
∴CD=10
3
，
∴BD=8
3
，
∴S△ABD=1
2×2×8
3
=8
3
，S△ACD=1
2
×2×10
3
=10
3
，
∵AE=EC，
∴S△AED=5
3
，
∴四边形ABDE的面积=13
3
，
故选：B．
【知识点】勾股定理之折叠问题
2. 【答案】C
【解析】当Cʹ落在AB上，ACʹ长度的值最小，
∵∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
由折叠的性质知，BCʹ=BC=3cm，
∴ACʹ=AB−BCʹ=2cm．
【知识点】勾股定理之折叠问题、折叠问题
3. 【答案】A
【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：√52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．
【知识点】勾股定理的实际应用
4. 【答案】D
【解析】因为a，b，c为三角形三边，则a，b，c均大于0，
又因为满足 (a −3)2+√b −4+∣c −5∣=0， 又因为 (a −3)2≥0，√b −4≥0，∣c −5∣≥0， 所以 (a −3)2=0，√b −4=0，∣c −5∣=0， 所以 a =3，b =4，c =5， 因为 a 2+b 2=32+42=52=c 2， 所以，三角形为直角三角形． 【知识点】勾股逆定理
5. 【答案】B
【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．
∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．
观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=1
2S 1=1
2，S 3=1
2S 2=1
4，S 4=1
2S 3=1
8，⋯， ∴S n =(12
)
n−1
，
当 n =2019 时，S 2019=(12)
2019−1
=(12
)2018
，
故选：B ．
【知识点】勾股定理、用代数式表示规律
6. 【答案】C
【解析】A ．因为 12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B ．因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C ．因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； D ．因为 42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理
7. 【答案】A
【解析】如图，过点 B ，D 分别作 BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100， 所以 AC =10．
再由 1
2AB ⋅BC =1
2AC ⋅BE ，可得 BE =4.8．
由AD=CD=7且DF⊥AC，得AF=1
2
AC=5，
由勾股定理，得DF2=72−52=24，
故DF<5．
又因为BE<5，
所以到直线AC的距离为5的两条平行线与四边形ABCD的边没有交点．故选A．
【知识点】勾股定理
8. 【答案】A
【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：
则∠OEA=∠BFO=90∘，
因为∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，
所以∠AOE=∠OBF．
在△AOE和△OBF中，{∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF, OA=OB,
所以△AOE≌△OBF(AAS)，
所以OE=BF，AE=OF，
所以OE+OF=AE+BF=CD=17（米），
因为EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7（米），
因为OE+OF=2EO+EF=17米，
所以2OE=17−7=10（米），
所以BF=OE=5米，OF=12米，
所以CM=CD−DM=CD−BF=17−5=12（米），
OM=OF+FM=12+3=15（米），
由勾股定理得：ON=OA=√AE2+OE2=√122+52=13（米），所以MN=OM−OF=15−13=2（米）．
【知识点】勾股定理的实际应用
9. 【答案】B
【解析】27−(27−√157)=√157（厘米），
筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
√(√157)2−112=6（厘米），6÷2=3（厘米）．
故底面半径为3厘米．
【知识点】勾股定理的实际应用
10. 【答案】A
【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，
作A关于EH的对称点Aʹ，连接AʹC交EH于P，连接AP，
则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=AʹE，AʹP=AP，
∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC，
×18cm=9cm，AʹQ=12cm−4cm+4cm=12cm，∵CQ=1
2
在Rt△AʹQC中，由勾股定理得：AʹC=√122+92=15cm．
【知识点】平面展开-最短路径问题
二、填空题
11. 【答案】(2+2√3)
【知识点】勾股定理的实际应用
12. 【答案】16
【知识点】三角形的面积、勾股定理
13. 【答案】2或40
17
【知识点】勾股定理之折叠问题
14. 【答案】6
【解析】设底边长为2x．
=8−x．
∴腰长为16−2x
2
利用勾股定理：(8−x)2=x2+42，
∴x=3，
∴其底边BC的长为6，故答案为：6．
【知识点】一元二次方程的应用、勾股定理
15. 【答案】等于
【知识点】勾股定理的实际应用
16. 【答案】25cm
【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，则AʹB即为最短距离，AʹB=√AʹD2+BD2=√202+152=25(cm)．
【知识点】平面展开-最短路径问题
17. 【答案】√34
【解析】√32+52=√34．
【知识点】勾股定理的实际应用
三、解答题
18. 【答案】∵AB=15，BC=9，∠ACB=90∘，
∴AC=√152−92=12，
∵52+122=132，
∴AD2+AC2=CD2，
∴∠DAC=90∘，
∴△ACD是直角三角形．
【知识点】勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】
(1) ∵AC=4√1
2=4×√2
4
=2√2，BC=2
5
√125=2
5
×√25×5=2
5
×5√5=2√5，AB=2，
∴△ABC如图所示（长度正确，顶点在格点上即可，画法不唯一）．过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=2，
∴S△ABC=1
2AB⋅CD=1
2
×2×2=2．
(2) 过点A作AE⊥BC于点E，则S△ABC=1
2
BC⋅AE．
∵S△ABC=2，BC=2√5．
∴AE=2S△ABC
BC =
2√5
=
√5
=√5
√5×√5
=2
5
√5，
即点A到BC边的距离为2
5
√5．
【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理
20. 【答案】
(1) 在△BDE和△ADC中，
∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90∘，
在△BDE和△ADC中，
{AD=BD,
∠BDE=∠ADC, DE=DC,
∴△BDE≌△ADC．
(2) ∵△BDE≌△ADC，
∴∠EBD=∠CAD，
在Rt△ADB中，AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45∘，
同理∠DEC=∠DCE=45∘，
∵∠ABF=45∘−∠EBD，∠ACE=45∘−∠CAD，∴∠ABF=∠ACE．
(3) ∵∠EBD=∠CAD，∠BED=∠AEF，∠EBD+∠BED=90∘，∴∠CAD+∠AEF=90∘，
∴BF⊥AC，
∵BD=12 cm，
∴AD=12 cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=13 cm，
S△ABC=1
2BC⋅AD=1
2
AC⋅BF，
∴1
2×(12+5)×12=1
2
×13×BF，解得BF=204
13
cm．
【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理、边角边、等腰三角形的性质、全等形的概念及性质
21. 【答案】
(1) 根据勾股定理可知AB=3√2，BC=√34，CD=√34，AD=5√2，
∴四边形ABCD的周长为8√2+2√34．
(2) 连接BD．
∵BC=√34，CD=√34，DB=√68，
∴BC2+CD2=BD2．
∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90∘．
【知识点】勾股逆定理、勾股定理
22. 【答案】
(1) 如图①，过点A作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴BG=1
2
BC=4，
在Rt△ABG中，AB=8，
∴AG=√AB2−BG2=4√3，
则等边△ABC的高为4√3．
(2) ①当点P在边BC上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=1
2AB⋅PD，S△ACP=1
2
AC⋅PE，S△ABC=1
2
AB⋅CF，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴1
2AB⋅PD+1
2
AC⋅PE=1
2
AB⋅CF
∵AB=AC，
∴PD+PE=CF．
②当点P在BC的延长线上时，PD−PE=CF，理由：如图③，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=1
2AB⋅PD，S△ACP=1
2
AC⋅PE，S△ABC=1
2
AB⋅CF
∵S△ABP−S△ACP=S△ABC
∴1
2AB⋅PD−1
2
AC⋅PE=1
2
AB⋅CF
∵AB=AC，
∴PD−PE=CF．
(3) 如图④，由题意可求得A(−4,0)，B(0,3)，C(1,0)，
∴AB=5，AC=5，BC=√12+32=√10，OB=3，
过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P，Q．
∵l2上的一点M到l1的距离是1，
∴MQ=1．
由图②的结论得：MP+MQ=3，
∴MP=2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y=−3x+3，
∴当y=2时，x=1
3
∴M坐标为(1
3
,2)．
【知识点】一般三角形面积公式、一次函数与三角形的综合、勾股定理23. 【答案】
(1) ∵AD=A1D1，
∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，
在△AEC和△A1E1C1中，
{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,
∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，
∴∠1=∠2．
(2) 1<AD<4
(3) 20
【解析】
(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，
由（1）可知，AB=CE=5，
∴5−3<2AD<5+3，
∴1<AD<4．
(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，
同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，
∴AE2+AC2=CE2，
∴△AEC是Rt△，
∴S△ABC=S△AEC=8×5×1
2
=20．
【知识点】勾股逆定理、边角边
24. 【答案】
(1) 如图所示，连接AC，
由题意可知∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，
所以AC=√AD2+CD2=√82+62=10m，
又因为AB=26m，BC=24m，且102+242=262，所以△ACB为直角三角形，
则空地ABCD面积即为△ACB的面积：1
2⋅AC⋅BC=1
2
×10×24=120m2．
答：空地ABCD的面积为120m2．
(2) 由题意得：200×120=24000（元），
答：共需投入24000元．
【知识点】勾股定理的实际应用
25. 【答案】
(1) AB2+BC2=52+π2=25+π2；(5+2)2=49；<；<；1
(2) l12=AC2=AB2+BC2=ℎ2+(πr)2，
l22=(AB+BC)2=(ℎ+2r)2，
∴l12−l22=ℎ2+(πr)2−(ℎ+2r)2
=r(π2r−4r−4ℎ)
=r[(π2−4)r−4ℎ],
时，l12=l22；
∴当r=4ℎ
π2−4
时，l12>l22；
当r>4ℎ
π2−4
当r<4ℎ
时，l12<l22．
π2−4
【知识点】勾股定理的实际应用。