2023-2024学年北京市海淀区九年级上学期数学期末学情检测模拟卷合集两套(含解析)

2023-2024学年北京市海淀区九年级上册数学期末学情检测模拟卷
（卷一）
一、选一选(每题3分，共30分)
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式错误的是(
)
A.a ＝btan A
B.b ＝ccos A
C.a ＝csin A
D.c ＝
b sin A
2.若抛物线()2
4325m m y x m －－＝＋－的顶点在x 轴的下方，则()
A .
m ＝5
B.m ＝－1
C.m ＝5或m ＝－1
D.m ＝－5
3.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为（
）
A.15°
B.18°
C.20°
D.28°4.如图，在正方形网格中，四边形ABCD 为菱形，则tan
2
BAD
∠等于()
A.
34
B.
53
C.
35
D.
45
5.如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标在(
)
A.－4和－3之间
B.－3和－2之间
C.－5和－4之间
D.－6和－5之
间
6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值如下表：x …－5－4－3－2－10…y
…
4
0－2
－2
4
…
下列说确的是(
)
A.抛物线的开口向下
B.当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大
C.二次函数的最小值是－2
D.抛物线的对称轴是直线x ＝－
52
7.如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ，若△PDE 的周长为12，则PA 等于(
)
A.12
B.6
C.8
D.10
8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（
）
A.
724
B.
73
C.
247
D.
13
9.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为【
】
A.
12
B.
2
C.
2
D.
33
10.如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交
于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（）
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共24分)
11.计算：sin245°
＋1
2
2006)0＋4cos30°＝________.
12.已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
13.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好圆心O，求折痕AB的长．
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝3
2；②co＝
1
2
；③tanA＝
3
3；④ta，其中正确的结论是_____.
15.如图，已知直线y＝1
2x与抛物线y＝－
1
4x2＋6交于A，B两点，点P在直线AB上方的抛
物线上运动．当△PAB 的面积时，点P 的坐标为________．
16.如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______，阴影部分面积为(结果保留π)________．
17.一辆宽为2m 的货车要通过跨度为8m ，拱高为4m 的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y ＝－14
x 2
＋4.为保证，车顶离隧道至少要有0.5m 的距离，则货车的限高应为________．
18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足
CF 1
FD 3
，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；
②FG=2；③tan ∠E=5
2
；④S △DEF ．
其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题(19～21题每题8分，22题12分，其余每题15分，共66分)
19.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，D 是边AB 上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC 的长．（结果保留根号）
20.江汉路一服装店一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定每件定价为60～150元．当定价为60元/件时，每星期可卖出70件，每件每涨价10元，一星期少卖出5件．
(1)当每件衬衣定价为多少元时(定价为10元的正整数倍)，服装店每星期的利润？利润为多少元？(2)请分析每件衬衣的定价在哪个范围内时，每星期的利润没有低于2700元．
21.如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD =43BE =2．
求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线．
22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD 的位置来调节躺椅舒适度，假设AB 所在的直线为地面，已知120cm AE =，当把图②中的支撑杆CD 调节至图③中的'CD 的位置时，EAB ∠由20︒变为25︒．
（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin 200.34︒≈，
sin 250.42︒≈）
（2）已知点O 为AE 的一个三等分点，根据人体工程学，当点O 到地面的距离为26cm 时，人体感觉．请你求出此时枕部E 到地面的高度．
23.（1）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝1
3
，求sin 2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图①，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB ＝90°.设∠BAC ＝α，则sin α＝
BC AB
＝
1
3
，易得∠BOC ＝2α.设BC ＝x ，则AB ＝3x ，AC ＝x ，作CD ⊥AB 于D ，求出CD ＝________(用含x 的式子表示)，可求得sin 2α＝
CD
OC
＝________；（2）【问题解决】已知，如图②，点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P ＝β，sin β＝3
5
，求sin 2β的值．
24.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，2
3
），且与y 轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若没有存在，请说明理由；
（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．
2023-2024学年北京市海淀区九年级上册数学期末学情检测模拟卷
（卷一）
一、选一选(每题3分，共30分)
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列关系式错误的是(
)
A.a ＝btan A
B.b ＝ccos A
C.a ＝csin A
D.c ＝
b sin A
【正确答案】D
【详解】根据三角函数的定义可得：tan ,cos ,sin a b a A A A b c c
===，所以a ＝btan A ，b ＝ccos A ，a ＝csin A ，c ＝sin a
A
.所以，选项A 、B 、C 正确，选项D 错误，
故选D.
2.若抛物线()2
4325m m y x m －－＝＋－的顶点在x 轴的下方，则()
A.m ＝5
B.m ＝－1
C.m ＝5或m ＝－1
D.m ＝－5
【正确答案】B
【详解】解：由m 2－4m －3＝2，解得m ＝5或m ＝－1．又∵m －5<0，∴m <5．∴m ＝－1．故选B ．
3.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A=72°，则∠BCO 的度数为（）
A.15°
B.18°
C.20°
D.28°
【正确答案】B
【详解】试题解析：连结OB ，如图，
∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC ，∴∠CBO=∠BCO ，
∴∠BCO=1
2（180°-∠BOC ）=1
2×（180°-144°）=18°．故选B ．
考点：圆周角定理．
4.如图，在正方形网格中，四边形ABCD 为菱形，则tan
2
BAD
∠等于()
A.
34
B.
53
C.
35
D.
45
【正确答案】A
【详解】解：如图，连接AC 、BD 相交于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，∠BAO=1
2∠BAD ，所以tan 2BAD ∠=tan ∠BAO=
3
4
OB OA =，故选A.
5.如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标在(
)
A.－4和－3之间
B.－3和－2之间
C.－5和－4之间
D.－6和－5之
间
【正确答案】A
【详解】由勾股定理可得OP
，而
<4，所以点A 的横坐标在－4和－3之间．故选A.
6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 与函数y 的对应值如下表：x …－5－4－3－2－10…y
…
4
0－2
－2
4
…
下列说确的是(
)
A.抛物线的开口向下
B.当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大
C.二次函数的最小值是－2
D.抛物线的对称轴是直线x ＝－
52
【正确答案】D
【详解】将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数y =ax 2+bx +c 中，
得：016404a b c a b c c =-+⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,解得：154a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴二次函数的解析式为y =x ²+5x +4.A.a =1>0，抛物线开口向上，A 没有正确；B.−
2b a =−52,当x ⩾−5
2
时，y 随x 的增大而增大，B 没有正确；C.y =x ²+5x +4=(x +52)²−94,二次函数的最小值是−9
4
，C 没有正确；D.−
2b a =−52,抛物线的对称轴是x =−5
2
，D 正确.
故选D.
点睛:本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．7.如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B ，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ，若△PDE 的周长为12，则PA 等于(
)
A.12
B.6
C.8
D.10
【正确答案】B 【分析】
【详解】∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，∴PA=PB ，DA=DC ，EC=EB ；∵△PDE 的周长为12，∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，∴PA=PB=6.故选B.
本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角
8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（
）
A.
724
B.
73
C.
247
D.
13
【正确答案】A
【分析】设CE=x ，根据勾股定理和折叠的性质，列出方程，求出CE 的值，然后根据正切三角函数的定义，即可求解．
【详解】∵将ABC 折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，∴BE=AE ，∵BC=6，AC=8，
∴设CE=x ，则BE=AE=8−x ，
∵在Rt △BCE 中，BE 2=BC 2+CE 2，即：(8−x)2=62+x 2，
解得：x=74
，∴CE=74
，∴tan CBE ∠=774624
CE BC ==．故选：A ．
本题主要考查折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．
9.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为【】
A.1
2 B.3
2 C.2
2 D.3
3
【正确答案】A
【详解】连接O
∵CE 是⊙O 切线，∴OC ⊥CE ，即∠OCE=90°．
∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°．∴∠E=90°－∠COB=30°．
∴sin ∠E=sin30°=1
2．故选A ．
10.如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP=x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图像大致是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，角的三角函数值．
利用AB 与⊙O 相切，△BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：
∵AB 与⊙O 相切，∴∠BAP=90°，
∵OP=x ，AP=2－x ，∠BPA=60°，∴3(2x)-，
∴△APB 的面积23y (2x)2
=-，（0≤x≤2）．∴△PAB 的面积y 关于x 的函数图像是（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．故选D ．
二、填空题(每题3分，共24分)
11.计算：sin 245°27＋1232006)0＋4cos 30°＝________.
【正确答案】13
【详解】原式=22133314222-+⨯+⨯=11332322
-++
=1
12.已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．
【正确答案】m≥﹣2
【详解】抛物线的对称轴为直线
2m
x m
21
=-=-
⨯
，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．
故答案为m≥﹣2．
13.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好圆心O，求折痕AB的长．
【正确答案】AB＝cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【详解】
解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝1
2
OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝，
由垂径定理得：AB＝．
本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝3
2；②co＝
1
2
；③tanA＝
3
3；④ta，其中正确的结论是_____.【正确答案】②③④
【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，∴BC 1sinA AB 2=
=．∴∠A=30°．∴∠B=60°．∴co=cos60°=12，tanA=tan30°=
33
，ta=
∴正确的结论是②③④．15.如图，已知直线y ＝1
2x 与抛物线y ＝－14x 2＋6交于A ，B 两点，点P 在直线AB 上方的抛物线上运动．当△PAB 的面积时，点P 的坐标为________
．【正确答案】231,4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【分析】如图，作PM ⊥x 轴交AB 于点M ，设点P 的坐标为，则点M 的坐标为，从而可用含a 的式子表示出PM 长，解方程组求得点A ，B 的横坐标，继而根据S △PAB ＝S △PAM ＋S △PBM 可得关于a 的二次函数，进而根据二次函数的性质求得面积时a 的值即可求得答案.
【详解】如图，作PM ⊥x 轴交AB 于点
M.
设点P 的坐标为21,64a a ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，则点M 的坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴PM ＝－14
a 2－12a ＋6.联立212164y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，解得：1163x y =-⎧⎨=-⎩，22
42x y =⎧⎨=⎩，所以点A ，B 的横坐标分别为－6，4，
∴S △PAB ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12×(6＋4)×PM ＝－
54(a ＋1)2＋1254，当a ＝－1时，△PAB 的面积，此时－
14a 2＋6＝234，所以点P 的坐标为231,4⎛
⎫- ⎪⎝⎭
.本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和函数的解析式及二次函数的最值问题，本题将三角形的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的性质解决即可．
16.如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是_______，阴影部分面积为(结果保留π)________．
【正确答案】①.相切②.6-π
【详解】∵正方形ABCD 是正方形，则∠C=90°，
∴D 与⊙O 的位置关系是相切．
∵正方形的对角线相等且相互垂直平分，
∴CE=DE=BE ，
∵CD=4，
∴，
∴CE=DE=BE=2梯形OEDC 的面积=（2+4）×2÷2=6，扇形OEC 的面积=
904360
π´=π，∴阴影部分的面积=6-π．
17.一辆宽为2m 的货车要通过跨度为8m ，拱高为4m 的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y ＝－
14x 2＋4.为保证，车顶离隧道至少要有0.5m 的距离，则货车的限高应为________．
【正确答案】3.25m
【详解】根据题意可得，当x ＝1或x ＝－1时，货车车顶离隧道最近．当x ＝1时，y ＝－14＋4＝334，∴货车的限高为334
－0.5＝3.25m ．18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF 1FD 3
=，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；
②FG=2；③tan ∠E=
；④S △DEF ．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．
【正确答案】①②④．
【详解】①∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
∴ AD CD
=，DG=CG ，∴∠ADF=∠AED ，
∵∠FAD=∠DAE （公共角），
∴△ADF ∽△AED ，故①正确；②∵CF FD =13
，CF=2，∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG ﹣CF=2，故②正确；
③∵AF=3，FG=2，
∴
∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG=
AG DG
=4，∴tan ∠E=54
，故③错误；④∵DF=DG+FG=6，
AD=
，∴S △ADF =12DF•AG=12
=∵△ADF ∽△AED ，∴2ADF AED S AF S AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
∴AED S =37
，∴S △AED
=∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF
=故④正确．
故答案为①②④．
三、解答题(19～21题每题8分，22题12分，其余每题15分，共66分)19.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，D 是边AB 上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC 的长．（结
果保留根号）
【正确答案】BC=2（+1）．
【详解】试题分析：由题意可得△BCD 为等腰直角三角形，从而BD=BC ，在Rt △ABC 中，由∠A 的正切值可求出BC 的长．
试题解析：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD 为等腰直角三角形，
∴BD=BC ，
在Rt△ABC中，tanA=tan30°=BC
AB，即
3
=
43
BC
BC ，
解得：BC=2）．
考点：解直角三角形
20.江汉路一服装店一种进价为50元/件的衬衣，生产厂家规定每件定价为60～150元．当定价为60元/件时，每星期可卖出70件，每件每涨价10元，一星期少卖出5件．
(1)当每件衬衣定价为多少元时(定价为10元的正整数倍)，服装店每星期的利润？利润为多少元？
(2)请分析每件衬衣的定价在哪个范围内时，每星期的利润没有低于2700元．
【正确答案】(1)当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润，利润为2800元．(2)每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的利润没有低于2700元．
【详解】试题分析：（1）设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元，利用每一件的利润乘卖出的件数列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（2）根据（2）中求出的二次函数，建立一元二次方程求出方程的解，确定出涨价至少时的x的值，根据二次函数的性质即可求得x的取值范围．
试题解析：
(1)设每件衬衣定价为x元，服装店每星期的利润为W元．由题意得，
W＝(x－50)＝－x2＋125x－5000＝－(x－125)2＋2812.5.
∵60≤x≤150，且x是10的正整数倍，
∴当x取120或130时，W有值2800.因此，当每件衬衣定价为120元或130元时，服装店每星期的利润，利润为2800元．
(2)令W＝2700，
即－x2＋125x－5000＝2700，
解得x1＝110，x2＝140.
∴每件衬衣的定价在110～140元之间时(定价为10元的正整数倍)，每星期的利润没有低于2700元．
21.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA
的平行线与AF相交于点F，CD=BE=2．
求证：（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
【详解】证明：（1）连接OC，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD．
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=123 2
CD
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x﹣2．
在Rt △OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2，
∴()(2
222x x =-+，解得：x =4．∴OA =OC =4，OE =2．
∴AE =6．
在Rt △AED 中，AD =
=，\∴AD =CD ．
∴平行四边形FADC 是菱形．
（2）连接OF ，
∵四边形FADC 是菱形，
∴FA =FC ．
在△AFO 和△CFO 中，
∵FA =FC ，OF =OF ，OA =OC ，，
∴△AFO ≌△CFO （SSS ）．
∴∠FCO =∠FAO =90°，即OC ⊥FC ．
∵点C 在⊙O 上，
∴FC 是⊙O 的切线．
本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，但难度没有大，熟练掌握上述知识是解题的关键．22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD 的位置来调节躺椅舒适度，假设AB 所在的直线为地面，已知120cm AE =，当把图②中的支撑杆CD 调节至图③中的'CD 的位置时，EAB ∠由20︒变为25︒．
（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：sin 200.34︒≈，sin 250.42︒≈）
（2）已知点O 为AE 的一个三等分点，根据人体工程学，当点O 到地面的距离为26cm 时，人体感觉．请你求出此时枕部E 到地面的高度．
【正确答案】（1）调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了约9.6cm ；（2）枕部E 到地面的高度为78cm
【分析】（1）过点E 作EF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．利用锐角三角函数，即可求解；（2）通过解直角三角形AEF 可得结论．【小问1详解】
如图，过点E 作EF AB ⊥，交AB 的延长线于点F ．
当20EAB ∠=︒时，
sin 200.34120
EF EF
AE ︒=
=≈，此时40.8(cm)EF ≈．当25EAB ∠=︒时，
sin 250.42120
EF EF
AE =
=≈︒，此时50.4(cm)EF ≈．
所以调节后该躺椅的枕部E 到地面的高度增加了约50.440.89.6cm -≈．【小问2详解】
因为点O 为AE 的一个三等分点，所以40cm AO =．
如图，过点O 作OP AB ⊥，垂足为P ．设当人体感觉时，EAB α∠=，则26sin 40OP EF
AO AE α===，所以26120
78(cm)40
EF ⨯=
=．所以当人体感觉时，枕部E 到地面的高度为78cm ．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形．
23.（1）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝1 3，求
sin2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°.设∠BAC＝α，则sinα＝BC AB
＝1
3，易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝
x，作CD⊥AB于D，求出CD＝
________(用含x的式子表示)，可求得sin2α＝CD
OC＝________；
（2）【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝3
5，求sin2β
的值．
【正确答案】（1
）
3
；
9；（2）sin2β＝
24
25.
【分析】（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于
D．设∠BAC=α，则sinα=BC
AB=
1
3，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出
CD=
3，在
Rt△COD中，sin2α=CD
OC =
22
42
3
39
2
x=；
（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．先
证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=
3
5
MN
NQ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得
OM=1
2NQ=
5
2
k，可得
=4k，由1
2
•MN•MQ=1
2
•NQ•MR，求出MR=
12
5
k
，
在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=MR
OM，计算即可求得sin2β的值．
【详解】解：（1）∵1
2
CD•AB=1
2
AC•BC，
∴CD=
2222
33
AC BC x x AB x == 在Rt △OCD 中，sin2α=2242
3392
x
CD x OC ==
；故
22x 3；42
9
；（2）如图，连接NO ，并延长交⊙O 于点Q ，连接MQ ，MO ，过点M 作MR ⊥NO 于点R
，
在⊙O 中，∠NMQ ＝90°，∵∠Q ＝∠P ＝β，∴∠MON ＝2∠Q ＝2β，在Rt △QMN 中，∵sin β＝
3
5
MN NQ =，∴设MN ＝3k ，则NQ ＝5k ，∴MQ
＝4k ，OM ＝1
2NQ ＝
52
k ，∵S △NMQ ＝12MN·MQ ＝1
2NQ·MR ，∴3k·4k ＝5k·MR ，∴MR ＝
125
k ，在Rt △MRO 中，
sin 2β＝sin ∠MON ＝
122455252
k
MR OM k ==本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；会利用代数法转化线段的比．
24.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，2
3
-），且与y 轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．
（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若没有存在，请说明理由；
（3）在以AB 为直径的⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．【正确答案】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为()2
2
y a x 43
=--（a≠0）∵抛物线（0，2）∴()2
2a 0423--=，解得：1a 6
=．∴抛物线的解析式为()2
12y x 463=--，即：214y x x 263
=-+．令y=0时，
214
x x 2063
-+=，解得：x=2或x=6．∴A （2，0），B （6，0）．（2）存在．
如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l 为x=4，
因为A 、B 两点关于l 对称，连接CB 交l 于点P ，则AP=BP ，所以AP+CP=BC 的值最小．
∵B（6，0），C（0，2），∴OB=6，OC=2．∴．
∴．
∴AP+CP的最小值为．
（3）如图2，连接ME，
∵CE是⊙M的切线，∴ME⊥CE，∠CEM=90°．
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE，
∵在△COD与△MED中，，
∴△COD≌△MED（AAS）．∴OD=DE，DC=DM．
设OD=x，则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，
∵在Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，∴，解得x=3 2．
∴D（3
2，0）．
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∵直线CE过C（0，2），D（3
2，0）两点，
则，解得：．
∴直线CE的解析式为．
【详解】试题分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x 轴交点坐标的横坐标．
（2）根据轴对称的性质，线段BC 的长即为AP+CP 的最小值．
（3）连接ME ，根据CE 是⊙M 的切线得到ME ⊥CE ，∠CEM=90°，从而证得△COD ≌△MED ，设OD=x ，在Rt △COD 中，利用勾股定理求得x 的值即可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE 的解析式即可．
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（卷二）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．
．1.抛物线()2
12y x =-+的对称轴是（
）
A.1x =-
B.1
x = C.2
x =- D.2
x =2.在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为（）
A.
1
3
B. C.
223
D.3
3.如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
5.如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是(
)
A.
32OB CD
=
B.
32
αβ= C.
1232
S S = D.
12
32
C C =
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从(3,4)出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 没有（
）
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q 7.如图，反比例函数k
y x
=
的图象点(4,1)A ，当1y <时，x 的取值范围是（
）
A.4
x > B.04
x << C.4x < D.4x >或
x <8.两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说确的是（
）
A.小红的运动路程比小兰的长
B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C.当小红运动到点D 的时候，小兰已经了点D
D.在4.84秒时，两人的距离正好等于O 的半径
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.方程x 2﹣2x=0的解为_____________
10.已知∠A 为锐角，且3的大小为_____．
11.若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是__________．（写出一个即可）
12.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．
13.一个扇形的圆心角为60°，面积为6πcm ²，则此扇形的半径为__________cm.
14.如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，PA =3AB 的长为__________．
15.在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持一定的距离.如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 处，小林驾驶一辆小轿车，距大车尾xm ，若大巴车车顶高于小林的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小林的水平视线3.2m ，若小林能看到整个红灯，则x 的最小值为_____.
16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________________．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题6分；第27～28小题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：2sin 30°2cos 45-°8+18.已知1x =是关于x 的方程2220--=x mx m 的一个根，求(21)m m +的值．19.如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB=32AC=5，tanC=
3
4
，求边BC 的长．
20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v =
；（没有需写自变量的取值范围）
（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？
21.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE=90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD=5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．
22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．
在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，
使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC ∽B BA '△∽C AC '△，(
)AB
B B
AB
'=，(
)
AC C C
AC
'=，进而可得22AB AC +=
；（用BB CC BC ''，，表示）
若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''=．
23.如图，函数k
y x
=
（x ＜0）与y=ax+b 的图象交于点A （﹣1，n ）和点B （﹣2，1）．（1）求k ，a ，b 的值；（2）直线x=m 与k
y x
=
（x ＜0）的图象交于点P ，与y=﹣x+1的图象交于点Q ，当∠PAQ ＞90°时，直接写出m 的取值范围．
24.如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE .
(1)求证：DF 是⊙O 的切线；
(2)连接AF 交DE 于M ，若AD =4，DE =5，求EM 的长.
25.如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，40C ∠=︒，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50︒至'AD ，连接'BD .已知2AB cm =，设BD 为x cm ，'BD 为y cm .
小明根据学习函数的，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程.请补充完整（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：/x cm 00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3
/y cm 1.71.3 1.1m 0.70.91.
1m 的值约为____________；
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像.
（3）画出的函数图像，解决问题：
①线段'BD 的长度的最小值约为____________cm ；②'BD BD ≥，则BD 的长度x 的取值范围是____________.
26.已知二次函数243y ax ax a =-+．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x =________；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的值是2，求抛物线的解析式；
（3）若对于该抛物线上的两点()()1222,,,P x y Q x y ，当121,5t x t x ≤≤+≥时，均满足12y y ≥，请图象，直接写出t 的取值范围．
27.对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点
P 重合），且12PA QA
≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2
∠=
，求点B 的纵坐标t 的取值范围；
（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．
28.在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．
（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“QB =
”是否正确：________（填“是”或“否”）；
（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB =
PA ．
①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；
②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．
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（卷二）
一、选一选（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．
1.抛物线()212y x =-+的对称轴是（）
A.1x =-
B.1x =
C.2x =-
D.2
x =【正确答案】B
【详解】抛物线()212y x =-+的对称轴是直线.1
x =故选B.
2.在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为（） A.1
3 B. C.22
3 D.3
【正确答案】A
【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=1，
∴sinA=1
3BC AB =.
故选A.
3.如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【正确答案】C
【详解】解：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD
BC AB =，
∵AB=4，AD=2，DE=1.5，
∴BC=3
故选C
4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
【正确答案】B
【详解】解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=18010040
2
︒-︒
=︒．
故选：B．
本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
5.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是(
)
A.
3
2
OB
CD
= B.
3
2
α
β
= C.1
2
3
2
S
S= D.
1
2
3
2
C
C
=
【正确答案】D
【详解】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD没有是对应边，因此它们的比值没有一定等于相似比，所以A选项没有一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ=，所以B选项没有成立；
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项没有成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3,4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A没有（）
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
【正确答案】C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转的距离相等，逐一判断即可.
【详解】解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转的距离与OA的长度应相等
根据网格线和勾股定理可得：5=，5=，5=，
=
OQ=5
∵OA=OM=ON=OQ≠OP
∴则点A没有点P
故选C.
此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.。