高中数学2-3二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册

第2课时 一元二次不等式的应用
必备知识基础练
1．不等式
x
x －2
＜0的解集为( )
A ．{x |0≤x ≤2}
B ．{x |0<x ≤2}
C ．{x |x <0或x ≥2}
D ．{x |0<x <2}
2．不等式2－x
x
≥0的解集为( )
A ．{x |0≤x ≤2}
B ．{x |0<x ≤2}
C ．{x |x <0或x ≥2}
D ．{x |x <0或x >2}
3．[2022·河北廊坊高一期末]关于x 的一元二次不等式2x 2
－kx ＋38>0对于一切实数x
都成立，则实数k 满足( )
A ．{k |k <3}
B ．{k |k <－3}
C ．{k |－3<k <3}
D ．{k |k >3}
4．若关于x 的不等式x 2
－ax ＋4<0的解集为∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{a |－4≤a ≤4} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |－1≤a ≤2} D ．∅
5．关于x 的不等式x 2
－mx ＋1＞0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |0＜m ＜4} B ．{m |m ＜－2或m ＞2} C ．{m |－2≤m ≤2} D ．{m |－2＜m ＜2}
6．[2022·湖南怀化高一期末](多选)集合A ＝{x |x －2
x ＋1
<0}也可以写成( ) A ．{x |(x －2)(x ＋1)<0} B ．{x |
x ＋1
x －2
<0} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}
7．不等式
x －1
x
>0的解集为________． 8．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x (千件)防护服的利润为y (千元)，且y ＝－x 2
＋50x －600，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过________(千件).
关键能力综合练
1．不等式
1
x －1
≥－1的解集为( ) A ．(－∞，0]
B ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
C ．[0，1)∪(1，＋∞)
D ．[0，＋∞)
2．若不等式ax 2
＋ax －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．－16≤a <0 B ．a >－16 C ．－16<a ≤0 D ．a <0
3．对任意实数x ，不等式2kx 2
＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．0<k <24 B ．－24<k ≤0 C ．0<k ≤24 D ．k ≥24
4．关于x 的不等式3x ＋a x －1≤1的解集为{x |－5
2≤x <1}，则实数a 的值为( )
A ．－6
B ．－7
2
C ．3
2
D ．4 5．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )
A ．10<x <20
B ．15≤x <20
C ．18<x <20
D ．15≤x <25
6．[2022·福建厦门高一期末](多选)已知a ∈R ，关于x 的不等式 a （x －1）
x －a
>0的解集
可能是( )
A ．{x |1<x <a }
B ．{x |x <1或x >a }
C ．{x |x <a 或x >1}
D ．∅
7．已知“∃x ∈R ，使得2x 2
＋ax ＋12≤0”是假命题，则实数的a 取值范围为________．
8．已知函数f (x )＝ax 2
－x －1，若f (x )<0的解集是{x |－12
<x <1}，则a ＝________；若
f (x )≤0恒成立，则a 的取值范围是________．
9．已知f (x )＝ax 2
＋(a －1)x －1，若f (x )>0的解集为{x |－1<x <－12}．
(1)求实数a 的值； (2)求关于x 的不等式ax ＋3
x －1
≤0的解集．
10．[2022·湖北襄阳高一期末]关于实数x 的不等式2kx 2
＋kx －38<0.
(1)若k ＝1，求该不等式解集；
(2)若该不等式对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．
核心素养升级练
1．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．－1<a <1
B ．0<a <2
C ．－12<a <32
D ．－32<a <12
2．若关于x 的不等式x 2
＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，则实数m 的取值范围是________． 3．某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元(x 为正整数)，则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
第2课时 一元二次不等式的应用
必备知识基础练
1．答案：D
解析：原不等式可化为⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －2）<0
x －2≠0，解得：0<x <2，
所以不等式
x
x －2
<0的解集为{x |0<x <2}．
2．答案：B
解析：由原式得x (x －2)≤0且x ≠0，解得0<x ≤2，即不等式的解集为{x |0<x ≤2}． 3．答案：C
解析：由题意Δ＝(－k )2
－4×2×38<0，解得－3<k < 3.
4．答案：A
解析：由题意，得x 2
－ax ＋4≥0恒成立，则Δ≤0，a 2
－16≤0，解得－4≤a ≤4. 5．答案：D
解析：不等式x 2
－mx ＋1>0的解集为R ， 所以Δ<0，即m 2－4<0， 解得－2<m <2. 6．答案：ABD
解析：对于集合A ，解不等式x －2
x ＋1<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）<0x ＋1≠0，解得－1<x <2，所以A
＝{x |－1<x <2}，故D 正确．
对于A 选项，{x |(x －2)(x ＋1)<0}＝{x |－1<x <2}，故A 正确；
对于B 选项，解不等式x ＋1x －2<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －2）<0x －2≠0，得－1<x <2，即{x |x ＋1
x －2<0}
＝{x |－1<x <2}，故B 正确；
对于C 选项，与集合A ＝{x |－1<x <2}比较显然错误，故C 错误． 7．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：
x －1
x
>0同解于x (x －1)>0，解得：x <0或x >1，即原不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
8．答案：30
解析：由题意，有y ＝－x 2
＋50x －600≥0，即x 2
－50x ＋600≤0， 解得20≤x ≤30，所以每天生产的防护服数量最多不能超过30千件．
关键能力综合练
1．答案：B 解析：
1x －1≥－1，即1x －1＋1≥0，x x －1
≥0， 则⎩⎪⎨
⎪
⎧x （x －1）≥0x －1≠0
，解得x ≤0或x >1，
故不等式
1
x －1
≥－1的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞). 2．答案：C
解析：当a ＝0时，ax 2
＋ax －4<0，即－4<0，成立；
当a ≠0时，需满足：⎩
⎪⎨⎪⎧a <0
Δ＝a 2
＋16a <0，解得－16<a <0. 综上所述：－16<a ≤0. 3．答案：B
解析：当k ＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨
⎪
⎧k <0Δ＝k 2
＋24k <0
⇒－24<k <0，于是－24<k ≤0.
4．答案：D
解析：由3x ＋a x －1≤1⇔2x ＋a ＋1
x －1≤0⇔(2x ＋a ＋1)(x －1)≤0且x 不等于1，
由题意得，－a ＋1
2＝－5
2
，解得a ＝4. 5．答案：B
解析：由题意，得x [45－3(x －15)]>600，即x 2
－30x ＋200<0，∴(x －10)(x －20)<0，解得10<x <20.又每盏的最低售价为15元，∴15≤x <20.
6．答案：BCD
解析：当a <0时，不等式等价于(x －1)(x －a )<0，解得a <x <1； 当a ＝0时，不等式的解集是∅；
当0<a <1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >1或x <a ； 当a ＝1时，不等式等价于(x －1)2
>0，解得x ≠1；
当a >1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >a 或x <1.
7．答案：－2<a <2
解析：∵“∃x ∈R ，使得2x 2
＋ax ＋12≤0”是假命题，
∴命题“∀x ∈R ，使2x 2
＋ax ＋12>0”是真命题，
∴判别式Δ＝a 2
－4×2×12<0，
∴－2<a <2. 8．答案：2 a ≤－1
4
解析：由题意，知－12，1是方程ax 2
－x －1＝0的两个根，
所以－12＋1＝1
a
，所以a ＝2，
若f (x )≤0为ax 2
－x －1≤0, 当a ＝0时不等式不成立；
当a ≠0时⎩
⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝b 2
－4ac ＝1＋4a ≤0解得a ≤－14， 所以a 的取值范围是a ≤－1
4
.
9．解析：(1)依题意，－1，－12是方程ax 2
＋(a －1)x －1＝0的两根，且a <0，于是得
⎩⎪⎨⎪⎧－1－12＝－a －1a
－1×（－12）＝－1
a
，解得a ＝－2， 所以实数a 的值为－2.
(2)由(1)知，a ＝－2，则原不等式为：
－2x ＋3x －1≤0，即2x －3
x －1
≥0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（2x －3）（x －1）≥0x －1≠0
，解得x <1或x ≥32，
所以原不等式的解集为{x |x <1或x ≥3
2
}．
10．解析：(1)当k ＝1时，原不等式为：2x 2
＋x －38<0，
解得－34<x <14，所以不等式解集为{x |－34<x <14}．
(2)若不等式2kx 2
＋kx －38
<0对一切实数x 恒成立，
当k ＝0时，－3
8
<0恒成立，故k ＝0满足题意；
当k ≠0时，要使得不等式2kx 2
＋kx －38
<0对一切实数x 恒成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧k <0
Δ<0，即⎩
⎪
⎨⎪⎧k <0
k 2－4×2k ×（－38
）<0，解得－3<k <0； 综上：－3<k ≤0.
核心素养升级练
1．答案：C
解析：∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，
即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2
－x －a 2
＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，
所以Δ＝1－4(－a 2
＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32.
2．答案：m ≤－2 解析：因为0<x ≤2，
所以，由x 2
＋mx ＋1≤0得m ≤－x 2＋1
x
，
因为关于x 的不等式x 2
＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，
所以只需m 小于等于－x 2＋1
x
的最大值，
又－x 2＋1x ≤－2x x
＝－2，当且仅当x ＝1时，等号成立，
所以m ≤－2，
即实数m 的取值范围是m ≤－2.
3．解析：设该旅店某晚的收入为y 元，则
y ＝(50＋10x )(200－10x )，x ∈N *，
由题意y >12 600，则(50＋10x )(200－10x )>12 600， 即10 000＋1 500x －100x 2
>12 600， 即x 2
－15x ＋26<0， 解得：2<x <13，且x ∈N *
， ∴70<50＋10x <180，x ∈N *，
所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间(不包括70元，180元).。