衡水金卷2018-2019学年度高三一轮复习周测卷(二十二)理数-考点：椭圆、双曲线(有答案)

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衡水金卷2018— 2019学年度高三一轮复习周测卷（二十二）
理数
考试时间：120分钟，满分：150分
〈考点：椭圆、双曲线〉
一、选择IS （本大题共12小题’每小题5分，共60分*在每小懸给出的四个选项中•只有一项是 符合题目要求的）
1 •椭圆E 的焦点在工轴上'中心在原点，其短轴上的两亍顶点和昭个焦点恰为边丘是2的正方 形的顶点，则椭岡E 的标准方程为
2广方程产一+召■=】表示焦点金戈轴匕的椭圆”是“一 1<幷<2"的
Z — n n~v 1
A.充分不必要条件 圧必要不充分条件
U 充要条件
D*既不充分也不必要条件
&若双曲线亍匚+ —哄=1的渤近线方程为$=士+心则m 的值为
3 — m m 一 1 占
A*_l
B. y
C 4 y
D. -1 或寺
4*若MHO t 则相工一y 十占=0和bf -¥ay z
=a6所表示的曲线可能是下图中的
扎
B . c. a
5.已血圆c 形十/心汶R 的左頂点为儿上顶点为放过稱圆Q 的右焦点作次紬的垂 线交直线AE 于点D.
若直线0D 的斜率是直线AB 的斜率的3倍，其中°为坐标原点*则椭 圆C 的长轴长是短轴长的 他竿倍
氏用倍
U2倍
D.27I 倍
乩已知椭圆G i ^-F^ = l （a>A>0）与双曲线C2 —¥
有公共的黛点心的一条渐近线
与以G 的按轴为直径的圆相交于AW 两点.若G 恰好将线段AB 三等分■则
I
3
A. d z — 2
B 护=互 C, a 2 = 13
= w
7 •以原点O 为中心，焦点在工轴上的双曲线有一鑛渐近线的倾斜角为60S 点F 是该双曲线 的右撫
点于第一象限内的点M 在双曲线C 上，且MF 垂直于疋釉，点N 是线段MF 的中 点.若Q N| =
|NFI+H 则取曲线C 的方稚为 A 』一石=1
B. x J -^ = l lx 3x a —
y =^i
匸T
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8.点F （— 2.0）是双曲线召一b = l （a>0）的左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，O 为坐
标原点•则OP • FP 的取值范围为
A. [34-273,4-00） C ・[_#，+8）
B. [3一2箱•十8)
D ・[#'+8)
9.已知楠阴E 孚+话=1（心>0）的右烈点为F,短轴的一个瑞点为M,直线A3工一4y=0交
Q
椭圆E 于A.B 两点•若|AF| + |BF| =6.点M 到直线/的距离等于丁•则橢圆E 的焦距 长为
A.2
B.2V3
C. 2>/5
D. 4
10.已知A.B 分别为双曲线号一若= l （a>0』>0）的左、右顶点・P 为双曲线上一点tfiAABP a b
为等腰三角形，若双曲线的离心率为©・则ZABP 的度数为 A. 30* B. 60°或 120° C. 120°
D. 30°或 120°
11•有一凸透镜，其剖面图（如图）是由橢圆£ +益=1和双曲线吕一石T （其中a>b>0.m.n a o m n
>0且a>m ）的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ・A 、B 分别在左、右两部分实线 上运
动•则△ ANB 周长的最小值为
在人上•且FA 丄厶•点B 在仃上，且FB 〃去，若|FA| = £|FB|』J 双曲线C 的离心率为
A.睜或扬
B.弓或洋
C.鲁
0.75
二. 填空題（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知双曲线my 2-x 2 = l （m>0）与椭圆«^ + x 2 = l 有相同的焦点•则该双曲线的渐近线方程 为 ・ 14•中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2,0）,jfi 线y = r~l 与椭圆相交于M.N 两点，线段MN
中点的横坐标为■!■•则此椭圆标准方程是 _____ •
15 .巳知双曲线C 岛一監=1的左、右焦点分别为F I F ，点M,N 为异于F i9F 2的两点，且
M,N 的中点在双曲线C 的左支上•点M 关于£和F t 的对称点分别为A,B,则I NA |— |NB|= ・ 16 •已知桶昭+召= ］（a>6>0）的左、右焦点分别为F-F2,过F 2作一条血线（不与才轴垂 直）与椭圆
交于A.B 两点•若△ ABF.恰好为等腰直角三角形，则该直线的斜率 为 ・
三、解答题（本大题共6小题•共70分.解答应写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）
巳知双曲线j-^ = l （a>0.6>0）的渐近线方程为>=±V3r.O 为坐标原点•点M （—届 “）在双曲线上.
（1） 求双曲线的方程）
A. 2(a —
D ・2(a + m)
厶为双曲线C 的两条渐近线•点A
12.已知F 为双曲线C
B.a —
m
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（2） 已知P.Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求論^ + 7?知的值・
18. （本小题满分12分）
已知椭圆几手+看= 13>Q0）的左、右頂点分别为P ・Q •且长轴长为2聽、T 为椭圆卩上 异于点
P ，Q 的任意一点•直线TP.TQ 的斜率之积为一*. （1） 求椭圆F 的方程'
（2） 如图•若椭圆F 的右焦点为F •直线Z ：x=5与工轴的交点为E ・过点F 且斜率为女的直 线仇与椭圆F 交于A,B 两点,M 为线段EF 的中点•过点B 作直线BN 丄/于点N ・证明： A,M ・N 三点
共线.
19. （本小题满分12分）
已知圆M 心+l ）2+y = £圆N 心一=罗，动圆D 与圆M 外切并与圆N 内切. 圆心D 的轨迹为曲线E.
（1） 求曲线E 的方程$
（2） 若双曲线C 的右焦点即为曲线E 的右顶点•直线汗屁为C 的一条渐近线. ① 求双曲线C 的方程；
② 过点卩（0・4）的直线仁交双曲线C 于A,B 两点•交才轴于Q 点（Q 点与双曲线C 的頂点
不重合）.^PQ=A.
Q5,且右+入严一寻时•求Q 点的坐标
.
20. （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C：^ + ^=l（u>6>0）的离心率为寺・F为椭圆C的右焦点.A（-a・0）・
MFI =3.
（1）求的方程；
（2）设。

为原点，P为椭圆C上一点，AP的中点为M.直线OM与直线才=4交于点D.过O 且平行于人卩的直线与直线x=4交于点E,试判断ZODF与ZOEF是否相等•并说明理由.
21・（本小题满分12分）
已知双曲线晉一宀1的焦点是桶册C：召+£ = 1（QQO）的顶点•且椭岡与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求riffle的方程'
（2）设动点M・N在椭恻C上，且|MN|=¥•记直线MN在，轴上的截距为加，求刃的最大值.
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系JrOy中，已知椭圆斗+ £ = 1（“>6>0）的离心率为华M.F分別为楠圆a b L 的上頂点和右焦点•△AOF的面积为+，直线AF与椭圆交于另一个点且线段AB的中
点为P・
（1）求直线OP的斜率；
（2）设平行于OP的直线/与椭圆交于不同的两点C,D,且与直线AF交于点Q.求证：存在常数入，使得&・QD=AQA ・Q5・
周测卷（二十二）
一、选择■!
1.C【解析】由条件可知b=t=^g = 2・所以橢圆方程为召
+今T.故选C.
卩一刃>0.
2.A【解析】由题意知Jn+l>0> 解得一1 VY
（2 —n>n+ 1 ■
寺，所以应是充分不必要条件.故选A.
3.B【解析】半3 —皿>0・加一1 V0时•渐近线方卷为y =士A
/I寻'由JI手=4得"存当3_m <0.m~l>0
时•渐
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近线方程为，=士祚二孑心由j 5/鼎 =*'得肝=*（舍〉.
所以卿=*・故透B.
4.C【解析】方程化为，="才+ 6和+ 从
D中的两桶圆看«.6€（0,+«o）,但B中宜线有«< 0,6<0>^t；D中直线有aV0』>0・矛JSiA中双曲线
a<0.6>0,但直线有a>0>6>0.矛盾$C中双曲线a>0.6<0.
和直线中a.b —致.故选C.
5.A【解析】由题意知AB°・¥（M +G・D（C』+
.. b+如
空）•所以匕=— =竺，得a = 2c.所以b=g Q / c
a
2a 2-/3比建人
亦■丁•故选A.
6.B【解析】已知鬪的直径AB为2a・C. D为三等分
点•可设一条渐近线方程为>=2x.点C(/n.2m),则 由题，且点C 在橢圆上，所以务+誓 =1 ,m 2
4-(2m)2
= ^-,化简可得訂(+十+ )=故
又柄圆与双曲线有公共的焦点•则«2-62
= 1+4=5.所以 62 = y.故选 B.
7. A 【解析】由题意处工=近•当x = c 时土乂. a a
*|ON|-INF|+1.得(鈴+ 1)'-(鈴)
/+/=/•解得a =K6=V3,所以双曲线方程为 P-暫=1 •故选
A.
& A 【解析】因为『=2・所以小=3,双曲线方程为 y-/ = lt 设
点 P (m°o )■寿=(工。

+ 2,沟儿 (xo>yo ).所以 • FP =
Xa (xo+2)+^=x? + 2x 0 +专-】=+ 2xo —】‘工。

>73，所
以当x 0 •忑 时.0? •而取得量小值3 + 2箱•故0? •市的取值 范围是［3+2毎・+8).故选A.
9. C 【解析】如图所示.
设F 为桶圆的左魚点•连接AF.BF •则四边形AF
・ BF 是平行四边形•可得IAFI+ | BF| = | AF| +
|AF|・2a ・6.解得«-3>取M(0>6).由题意知
■解得所以CN 石卞讣、则
焦距为2岛•故选C.
10. D 【解析】因为双曲线的离心辜为Q •所以a = b ・ 双
曲线方程为”一"="•若|AB| = |BP|=2s 设 /71：
— ~a 2» 〜
.
( 、,丄,，2所以m = 2s 所以 (m —a)24-n 2=4a 2«
ZPB^ = 60\ZABP= 120S 若 |AB|-|AP|«2u t
nv —n* = a »
~
z
.
所以 m= — 2a 、
(m-ba): +n T ・4a? ■
所以ZPAB N 120••所以ZABP= 30*.故选 D 11. A 【解析】连接AM.BM.设厶ANB 的周长为/•则
\BM\ + | BN | = 2s |
— | AN | = 2m / =
IABI + IBNI + | AN| = | AB| +2a- | + \AM\-2m.因为 MB| + |AM| » |BM|・所以 /> 2a-2m,当且仅当M 、A 』三点共线时•△ANB 的 周长最小•故选A. 12. A 【解析】由条件得F(c,O),不紡设 wg 工,
心=-令•则又“=夕
则苣线FB 的方程为(x-c) •由—(x-
谢由I FAI ■令|FB|flU ・
•所以F -】一务•
解得尸啤或兀故选A.
二、填空購
13.>=±73X 【解析】由题意知双
曲线的焦点坐标为 (0,2).因
为双曲线的标准方程为 羊一,=1,所以 m
6V2),由題意知MN 的中点坐标为(牛一寺)，设 M(xi ,y.) »N( j ： ♦>：) * 則辛 + 普・1•节 + 令'
"1»
两式相"理得总為=_世盘亍钳“ =2.所以備圆的标准方程为# + £ = 】•
15. -52【解析】设MN 与双曲线的交点为点P,由几 何关系
结合三角形中位线可得I NA |・21卩尺|, INBI = 2 I PF,
h M I NA I - I NB | = 2 (I PF, I - |PF,|).X 点P 位于双曲线
的左支•則INA |- |NB|=2X(-2a)*-4a=-52.
16. ±72【解析】因为直线不与工釉垂立，所以 ZAF|BH9O°.
当 ZF,AB = 90° 时・ | AR | -\AB\. 设 \AFi | =加，則 \AF Z | = 2a - m, | BF ： I =■ I AB| — \AF t | =m —(2a
— m) = 2m —2a^ 于是丨 BF 、\ = 2a — I BF 21 = 2a —
(2m — 2a) 士 4a — 2m •乂 ZFi AB = 90••所以 | BF 】
| =竝 m 、所以 4a-2m-V2m>a = 笔经m 所以 IAF,! =2a-
m = ^maanZAF ；F 1
4
L
券•所以IFBI
丄+1=4.即即双曲线的标准方程为¥一 m
6 S
F N 】・所以双曲线的渐近线方稅为y=±V3x.
2% ”<•¥+¥ = 】【解析】设椭岡方程为吕■ +召= 】(°V
b
-7-X
冷即
一丙訂一芳，直线AB 斜率为一Q.网理， '2m
当NABF,・90・时•可求得A 线AB 的斜卓为血.所 以貢线AB 的斜率为士吃・
三、■答■ 17.B ：（】）因为双曲线的渐近线方程为土再, 所以设双曲线方程为，一¥=入（入工0）・ 因为点M< -73,73）在双曲纽上， 所以（一近）‘一3|上=入・解得入=2. 所以双曲线方程为F-音・2・即今一普-1. （4分〉 IXFJ 10X 血 丄 _ ■〜 5^-20
则亠 ^x,~FF^>x,x,_
lT5>rt
肉为£［线BN 丄2于点N •所以N(5■力几 二XL —.也. 所以如w （7
分〉
C9分）
（2）由題建知OP 丄OQ.
设直线OP 的方程为y =
'解得F =亍占辽=芒戸・《5分〉
所以|0戸卩=，+犷=占+芒正
6(1+F)
3-/小
由 y?（3—xi ） — 2（—yi ）-=i （x 2
—1）（3 —
xi ） + 2）Kxi —1） = —>Cxi Xi — 3（xi +x>）+5]
./5F-2O 3X1QP , f \ A
所以如…所以A,M,N 三点共线. 19•解：（1）设圆D 的半泾为R •圆M 的半径为n.W N
的半程为尸“
因为圆D 与圆M 外切并且与圆N 内切.
所以 IDMI + IDNI =（R 十rJ + a’一Q^h +r ： =4. 由橢同的定义可知.
曲线E 是以M.N 为左、右焦点，长半紬长为2,短半 釉长为憑的橢岡.
则此橢圆方稈为召+普N1.
<11
分〉 （12 分）
（4
分）
又宜线OQ 的方程为y=-4
以一+代曽上式中的八可鮒 妝+
（-+）']
"A 3-(-1 6(P + 1) 3^-1 • 3•
（6
分〉
（8分》
侪比 1 K I = i + 3F-】 切以 IOPF IOQI* 一 6(1+") 6(1 + P) 2«】+P 〉_ 1 6(1+3厂亍 18. M ： (1)设心心由拥知 P(-75 >0) >0(75.0). 工+Q 则直线TP 的斜率为£ 直线TQ 的斛率为虹
1
；・ （10 分） «2
分〉
由上上2N_£ ■得一• —
5 x+V5 x-V5 5
靈理得y4-^«l.
(2)设直线 Z.的方程为 y = i(x-l)M(x |t y>)> Bg »>：)» 刚由为
1
-
得(4+5»)”一10"才+5/—20 = 0・
（4
分）
（2）①设双曲线C
0）.易知双曲线的卿焦点坐标为（-2,0）>（2>0）. （5分）
又y-V3r 为双曲线C 的一条渐近线. :所以2=凉\解得/ = 1〃=3・ •.・・ a
（6
分）
故权曲线c:的方程为H —首■■】・ ②由直线（的斜率"存在且不彎于专.
设 1[线 / 的方程为《y = H + 4.A （q ,yj,
則 Q （_\o ）.
因为PQ=A| QA-A, QB ・ 所以（_ +，_"=和（町+
<7分）
+小）=如（列+¥•
加)•
所以一4=A I >I =At^i •即
Ai
4
""■ （8
分〉
又 Ai
+A,
所以—+—= v •即3（刃+力〉=2必加・
将，・虹+4代入F —号=«1・ 得（3 —，）<一24，+48-3/・0・ 因为3 —，工0・否则I 与请近线平行.
（9
分）
（10
分）
48-3"
（11
分）
所以3X§纬亍=2X 育_；； •解得k= ±2> 所以
0<±2>0）. 20.M ： （1）设糧圆Q 的半您距为c 依題童・得£ = £・a + T = 3・解得。

=2虫・1 a L 所以 48 — 3,
（12分》 所以«fi0QC 的方程是 4=1. （4分）
（2）ZODF-ZOFF,i£ 明如下\ 由⑴轉A （-2tO ）. 设AP 的中点MGr 。

以）>P （Xi J ・ 设宜线AP 的方程为y = "" + 2）"H （D •将其代入 押冈方稈•療理得 （4>: +32 + 16Fx+ 16F 一 12 = 0. 所以一2+© n 義1%. 所以工.=4“：3=缸”0 + 2）u 4/^^・ 即M （諜•黑3）・
6,
所以謹线OM 的斜书是竺贵■=
4“+3
所以貢线OM 的方程是，■一治
（6（8
分）
令 x = 4» 得 D （4> —y ）.
直线OE 的方程腿y-虹.令工=4 •得E （4・4A ）.
（10分》
由K1.0）>得宜线EF 的斜率是芒y = ¥・ 所以EF 丄OM •记垂足为H.
2J
因为直线DF 的斜率是右=一 +・ 所以DF 丄OE •记垂足为G.如图.
在 RtAEHO 和 RtAfXX ；中• ZODF 和“EF 都 与
ZEOD 互余.
所以Z()DF=ZOEF ・
(12 分)
21.M ： d ）双曲线看■一的焦点生标为（土#.0）. 臨心卓
为警.
因为双曲线y-/ = l 的焦点是肿 C ：召+召F （a>6>0）的頂点•且構圈与双曲线的离心率互为 倒数. 所以a ・W ，且空三艺■警•解得6=1.
a 0
故椭圆C 的方程为y + y = l. （4
分）
（2）因为 |MN| = ^>2,
所以立线MN 的斜率存在.
因为直线MN 在，紬上的載距为炳• 所以町设直线MN 的方程为y = kx^m. 代入楠圆方程y + y*l.
得"+ 6"）+ + 12殳吋+6（亦一1） = 0・ 因为 d =（ 12*m ）2 - 24 （ 1 +
- 1） = 24 （1 +
6P —昇）>0・
所以卅V1+6F.
«7
分）
设M3*i 》・N （jr —yz ）・
根据根与系数的关系，得r +工2 ■詳帶 6（m 2-l ）
■ ] + 6P •
=yi+^y/cxt +j ：)r —4JTIX 7
/FTTF n 12^m V 24(m , — 1) '( - r+6F ) - 1+6F 因为|MN|M %3・
即K （禺'-许M
3 • （10
分）
整理得亠皿+39P + 7 9(1 + P)
令
则 F=L 1.
一 18F+75f-5O
所以加
寻［75-(
9t ⑹+翠）]《75_fX3O =号，当且仅
当t-y 时•取等号・览时—令肿二寻用足*
<1+6F ・符合题歳.
故加的最大值为年. 《】2
分〉
22•解：（】）因为補圆的离心率为夢.
所以上导=弓・
即a1—2b2 ^c l—a2—E • 所以
A（O,c）tF（c＞O）t 所以yc2 = -|- •所以c=l,
所以确圆的方程为召+y・i. （2分〉
故直线AF的方程为yM-z+1, 联立;忑"〉="°消去加
御3F-4工=0,
ly —工+1
所以"专或"0,
■1.
1消去，•得号F+2LT +2—2尸亍r+/
~0・
由已知彳料厶一4（3 — 2»〉＞0・
-纺o）U@ 噜）.
设C（X| *>|）»D（X2 ■力）■
4r 4/ -~ 4 ]
M xi 十r = —丁・4小=—— tyt =yx> 十-乂 =
1 丄Ll\
从而御线段AB的中点P（y,y）.
（4分）
（2）由（1）知宜线AF的方程为，=一工+1•直线OP 的斜率为苏
J 同理Q5=（q +号，贾2+专），故疋・塗=（*+呼）（氐十写）+（■!■眄
设直线（的方程为^ = yx+K/#0）.
（ I
联立”乜十・
ly=—才+1 ■
_2-2t
丫■
2/4-1
[ysa~9
所以点Q的坐标为（宁，¥）・
yiH （2t—2 2 — Zt\吊_/2f + 2 2r十2、=4 忖-彗x¥+^^
4 3 6 3 9
T x T（f2-1）-
所以衣• QD-yQA • Q?・
所以存壮常数入=#•使得&• Q5•入0? • 05・
（12 分）+ 5r_5
~6~
3 +工2）+
所以直线OP的斜率为。