任务11：用窗函数法设计偶对称线性相位FIR高通滤波器详解

《数字信号处理》课程设计
题目：任务11：用窗函数法设计偶对称线性相位FIR高通滤波器
2014年12月
用窗函数法设计偶对称线性相位FIR高通滤波器
摘要：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。

数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。

常用的数字滤波器课分为无限长滤波器和有限长滤波器。

这里我们主要介绍有限长数字滤波器FIR的类型以及其窗函数设计方法的基本原理思路。

本设计介绍的是用窗函数设计方法设计数字频带变换的高通滤波器。

简单介绍了几种典型窗函数的基本参数。

再设计过程中根据给定的数字高通滤波器的参数我们选定的窗函数是汉宁窗。

基本思路是：首先将高通滤波器的参数根据公式转换成低通数字滤波器，求出低通数字滤波器的系统函数，再根据低通与高通之间的映射关系转换成高通数字滤波器的系统函数。

得到高通数字滤波器的实现结构，并进行结构及有限字长的分析。

确定最适合的滤波器的结构及字长。

但是在设计过程中由于没有找到相关的数字低通与数字高通在数字频带内的转化关系式，所以采用的是直接设计，没有进行频带变换；而且由于高通数字滤波器参数设置不是很符合理想状态，求出的N为31，得到的数字滤波器阶数太高，得不出滤波器系统函数H（z）的闭合函数，所以该滤波器的结构只能以直接型实现，没有进行结构对比分析。

关键字：高通滤波器、窗函数、数字频带变换、海明窗、布莱克曼窗
目录
1、简述低通、高通、带通、带阻滤波器的性能特点............................................................ - 1 -
1.1 低通滤波器................................................................................................................ - 1 -
1.2 高通滤波器................................................................................................................ - 1 -
1.3 带通滤波器................................................................................................................ - 1 -
1.4 带阻滤波器................................................................................................................ - 1 -
2、比较模拟巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器.................................................................... - 2 -
2.1 巴特沃斯滤波器........................................................................................................ - 2 -
2.2 切比雪夫滤波器........................................................................................................ - 2 -
3、简述巴特沃斯滤波器和切比雪夫模拟低通滤波器的设计方法........................................ - 3 -
3.1巴特沃斯滤波器的设计............................................................................................... - 3 -
3.2切比雪夫滤波器设计................................................................................................... - 5 -
4、简述模拟低通滤波器转换为数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）的设计流程 .... - 7 -
5、主要设计内容........................................................................................................................ - 9 -
5.1一般模拟低通滤波器：................................................................................................ - 9 -
5.1.1巴特沃斯低通逼近：......................................................................................... - 9 -
5.1.2切比雪夫低通逼近：....................................................................................... - 10 -
5.2设计FIR滤波器的原理............................................................................................. - 11 -
5.3 各种窗函数的具体参数............................................................................................ - 12 -
6、设计流程.............................................................................................................................. - 14 -
6.1采用海明窗.................................................................................................................. - 15 -
6.2 采用布莱克曼窗......................................................................................................... - 16 -
7、MA TLAB仿真 .................................................................................................................... - 18 -
7.1 第一种滤波信号fn=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t) ......................... - 18 -
7.1.1 采用海明窗函数............................................................................................ - 18 -
7.1.2 采用布莱克曼窗函数.................................................................................... - 21 -
7.2 第二种滤波信号fn=square(1:256,50)+randn(1,256) ................................................ - 24 -
7.2.1 采用海明窗函数............................................................................................ - 24 -
7.2.2 采用海明窗函数............................................................................................ - 27 -附件：MA TLAB程序附录 ...................................................................................................... - 31 -
1、freqz-m子函数定义............................................................................................................ - 31 -
2、ideal-lp子函数定义 ............................................................................................................ - 31 -
3、海明窗高通滤波器.............................................................................................................. - 32 -
4、布莱克曼窗高通滤波器...................................................................................................... - 34 -参考文献.................................................................................................................................... - 37 -
1、简述低通、高通、带通、带阻滤波器的性能特点
滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。

在测试装置中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声获得人们想要的频率范围内的信号或进行频谱分析。

根据滤波器的选频作用滤波器可分为以下几种：
1.1 低通滤波器
从0～f2频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f2的频率成分受到极大地衰减。

1.2 高通滤波器
与低通滤波相反，从频率f1～∞，其幅频特性平直。

它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。

1.3 带通滤波器
它的通频带在f1～f2之间。

它使信号中高于f1而低于f2的频率成分可以不受衰减地通过，而其它成分受到衰减。

1.4 带阻滤波器
与带通滤波相反，阻带在频率f1～f2之间。

它使信号中高于f1而低于f2的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。

其中低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器，例如：低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器，低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。

2、比较模拟巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器
2.1 巴特沃斯滤波器
从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。

巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度特性，其幅频响应表达式为：
n
c w w w H 22
11)
(⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
其中n 为滤波器的阶数；
c
w 为滤波器的截止角频率。

当w=
c
w 时，
2
)
(c w H =1/2,所以，
c
w 对应的是滤波器的-3db 点。

巴特沃思低通滤波器
是以巴特沃思函数作为滤波器的传递函数H(s)，以最高阶泰勒级数的形式逼近滤波器的理想矩形特性。

2.2 切比雪夫滤波器
切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的，其幅频响应表达式为：
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+=
c n w w T w H 222
11
)
(ε
其中ε是决定通带波纹大小的波动系数，0<ε<1，波纹的产生是由于实际滤波网络中含有电抗元件； Wc 是通带截止频率，Tn 是n 阶切贝雪夫多项式。

与巴特沃斯逼近特性相比较，这种特性虽然在通带内有起伏，但对同样的n 值在进入阻带以后衰减更陡峭，更接近理想情况。

ε值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小，但进入阻带后衰减特性变化缓慢。

巴特沃斯滤波器，通带内没有任何的纹波，因而也被称为最大平坦度滤波器；但是其幅度响应曲线在截止频率处也较为平缓。

也就是说巴特沃斯滤波器的矩形系数较低。

而切比雪夫滤波器，最大的优点是滤波器在通带外拥有陡峭的衰减曲线，有较高的矩形系数；缺点是通带内有纹波，并且，通带内纹波越大，通带到阻带的过渡就越陡峭，矩形系数就越高。

切贝雪夫滤波器与巴特沃斯滤波器进行比较，切贝雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带轻陡直，因此，在不允许通带内有纹波的情况下，巴特沃斯型更可取；从相频响应来看，巴特沃斯型要优于切贝雪夫型，通过上面二图比较可以看出，前者的相频响应更接近于直线。

3、简述巴特沃斯滤波器和切比雪夫模拟低通滤波器的设计方法
3.1巴特沃斯滤波器的设计
常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：
p
λ：通带截止频率；
p
α：通带衰减，单位：dB ；
s λ：阻带起始频率；s α：阻带衰减，单位：dB 。

说明：
（1）衰减在这里以分贝（dB ）为单位，即
222
110lg
10lg 1()
N
C H j αλλ⎡⎤==+⎣⎦
（2）当3dB α=时p C
Ω=Ω为通常意义上的截止频率。

（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率/C λ=ΩΩ，即
1,
p s
p s p
p
λλΩΩ=
==
ΩΩ
根据设计指标要求
p
λ，
p
α，
s
λ，
s
α确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中
的待定系数C 及滤波器的阶数N ；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。

（1）将实际频率Ω归一化得
1
p p p
λΩ=
=Ω，
s s p
λΩ=
Ω，再根据已知的
p
α，
s
α，幅度
平方函数
2221
|()|1N H j C λλ=
+ 确定C 和N 。

（2） 求C 和N ：
由
()
222
1()10lg
10lg 1()
N C H j αλλλ==+并代入
p
λ，
p
α，
s
λ，
s
α得：
()()222210lg 10lg 11N
p p N s s C C αλλα=⎧+⎪⎨+=⎪⎩ 222
210
1010
101
1N
p
N s
p s C C ααλλ=⎧-⎪⎨⎪
=-⎩
由于
1
p λ=，故 2
10
101p
C α=-。

由
101022
10101101101s
s
p
N s
C αααλ
--==- 两边取对数得：
lg lg s a N λ=
其中a =C 和N 。

（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。

由于
2
2211
()()()
1(1)1()p
N N
N j
H p H p G j p p j λλ=
-==
=
+-+，由
21(1)0N N
p +-=，解得极点为：212
,1,2,
,2k N N
j k
p e k N π+-==
将p 左半平面的极点赋予()H p 即
()()
()
121
()N H p p p p p p p =
---其中
212,1,2,
,k N N
j k p e
k N π+-==
为了便于设计，工程上已将当1
p λ=时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格
供查阅，如表3-1所示。

表3-1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表
（4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即
1
p λ=，而实际中截止频率为
p
Ω，所以要进行如下的变量代换：
p p
s p j j
λΩ===ΩΩ 即
()()p
s p H s H p =
Ω=
综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：
（1）计算归一化频率
1
p p p
λΩ=
=Ω，
s s p
λΩ=
Ω。

（2）根据设计要求按照210
101p
C α=-和
lg lg s a N λ=
其中a =波器的参数C 和阶次N ；注意当
3p dB
α=时 C=1。

（3）利用N 查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数()H p ；
（4）令()H p 中的
p
s
p =
Ω得到截止频率为
p
Ω的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。

3.2切比雪夫滤波器设计
已知切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为
()
2
222
1()()1N A H j c λλελ==
+
由上式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：,c
εΩ及N 。

下
面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：
（1）将实际频率Ω归一化得
1
p p p
λΩ=
=Ω，
s
s p
λΩ=
Ω
再根据已知的
p
α，
s
α，幅度平方函数
222
1|()|1()N H j C λελ=
+ 确定ε和N 。

（2）确定ε和N ：定义通带波纹(即通带衰减)()αλ（以分贝为单位）为：
22
2
1()10lg
10lg 1()()
N C H j αλελλ⎡⎤==+⎣⎦
代入
p λ，
p
α，
s
λ，
s
α得
2
222
10lg 10lg 1()1()N
p p
N s s C C αελελα=⎡⎤+⎧⎪⎣⎦⎨⎡⎤+=⎪⎩⎣⎦即 2
2
2
2
1010
221
()10
()10
1
1()N p N S p s s C C ch Nch ααελελελ-=⎧-⎪⎨⎡⎤=-=⎪
⎩⎣⎦
1
p λ=，
2
(1)1
N C =，所以2
10
10
1p
αε=-，
101021
2
2
10101
101
()101
s
s
p
s ch Nch a αααλε
---⎡⎤==
=⎣⎦-
则
1
1
()
()
s
ch a
N
chλ
-
-
=
，其中
a=
ε和N
，其中
1()ln
ch x x
-=
已知ε、N、p
Ω
的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统
函数。

为了设计方便，工程上已将截止频率
1
p
λ=
的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表
格供设计时查阅。

归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（5-18）式所示，设计表格表3-2 归一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数
如表5-3所示。

210121()N N N d H p a a p a p a p p --=
+++++ （5-18）
再次强调，表5-3是归一化1
p λ=的结果，对于具体的
c
Ω，其系统函数
()
a H s 可由
（5-19）式得到。

()()S
p
p H s H p Ω== （5-19）
综上所述，设计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下：
（1）计算归一化频率
1
p p p
λΩ=
=Ω，
s s p
λΩ=
Ω。

（2）根据通带波纹（通带衰减）
p
αdb ，按照2
10
101p
αε=-式计算ε。

（3）根据阻带起始频率s
λ，
阻带衰减
s
α和ε。

按照
1
1
()()s ch a N ch λ--=
其中a =计算滤波器的阶数N。

（4）根据滤波器阶数N ，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数()H p ；根据()
H p 的低频特性求出待定系数
d ，注：当N 为偶数时，
(0)H =
；当N 为奇数时，(0)1H =。

（5）去掉归一化影响 根据截止频率p
Ω，按照
()()S
p
p H s H p Ω==式计算切比雪夫滤波
器的系统函数()H s 。

4、简述模拟低通滤波器转换为数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）的设计流程
实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。

设计各类数字滤波器有以下两种方法：
（1）把一个归一化原型模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型（包括高通、带通、带阻与另一截止频率的低通）的模拟滤波器，然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数
字化为所需类型的数字滤波器，如图3-1所示。

实际设计时是把这一方法中的两步合成一步来实现，即把模拟归一化低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式与双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并，就可直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，一步完成各类型数字滤波器的设计，如图3-2所示。

这里只采用了双线性变换法。

因为冲激响应不变法有频率响应混叠失真效应，只适用于严格限带的数字低通、带通滤波器；而对于数字高通、带阻滤波器，则不能直接应用。

（2）先利用冲激响应不变法或双线性变换法，把模拟低通原型数字化成数字低通滤波器，然后利用数字频带变换法，将它变换成所需要的各型数字滤波器（另一截止频率的数字低通、数字高通、数字带通、数字带阻等），如图3-3所示。

图3-1 先模拟频带交换，再数字化
图3-2把3-1的两步合成一步直接设计
图3-3 先数字化，再进行数字频带变换
5、主要设计内容
利用窗函数法设计FIR 滤波器，绘制出滤波器的特性图。

利用所设计的滤波器对多个频带叠加的正弦信号进行处理，对比滤波前后的信号时域和频域图，验证滤波器的效果。

1、学习用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理及其设计步骤；
2、用Matlab 软件对FIR 数字滤波器数学模型的系数进行求解；并用窗函数法完成高通滤波器的设计；
3、用海明窗、布莱克曼窗完成FIR 数字滤波器的设计，对两种信号进行滤波，并对结果进行比较和分析。

5.1一般模拟低通滤波器：
5.1.1巴特沃斯低通逼近：
=巴特沃斯逼近又称为最平幅度逼近，巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为：
1
1)(22
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ΩΩ=
ΩN
c a j H
式中N 为正整数，代表滤波器的阶次，c Ω成为截止频率。

当时，有
2
1
)(=
Ωc a j H ， dB j H j H c a a 3)()0(lg 201=Ω=δ
所以又称c Ω为巴特沃斯滤波器的3分贝带宽。

巴特沃斯滤波器有如下特点：
a.当Ω=0时，1)0(2
=j H a 即Ω=0处无衰减。

b.当Ω=Ωc 时，
707.02
1
)(==
Ωc a j H 通带最大衰减 在止带内的逼近是单调变化的，不管N 为多少，所有幅频特性曲线都经过-3dB 点，或说衰减3dB,这就是3dB 不变性。

c.在Ω<Ωc 的通带内：2
)(c a j H Ω有最大平坦的幅度特性，即N 阶Butterworth 低通滤波器在Ω=0处：2
0)(=ΩΩc a j H 前(2N-1)阶导数为零，因而Butterworth 又称最平幅度特性滤波器。

随着Ω由0变到Ωc ，2
)(Ωj H a 单调减小，N 越大，减小越慢，也就是通带内特性越平坦。

d.在Ω>Ωc ，即在过渡带及阻带中，2
)(Ωj H a 也随Ω增加而单调减小，但是Ω/Ωc >1，故
比通带内衰减的速度要快得多，N 越大，衰减速度越大。

当Ω=Ωs ，即频率为阻带截止频率时，衰减为：
)(lg 202s a j H Ω=δ 2δ为阻带最小衰减。

在已知Ωc 、 Ωs 和Ω=Ωp 的衰减Ap 的情况下，求Butterworth DF 阶数N ：
c
p A p
N ΩΩ-=
lg
2)110lg(10 5.1.2切比雪夫低通逼近：
切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有这种等纹波特性。

具可分为切比雪夫I 型和切比雪夫II 型。

各自特点分别为：
a.Chebyshev I 型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；
b.Chebyshev II 型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的； 由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev 滤波器。

Chebyshev I 型模拟滤波器的振幅平方函数为： ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛ΩΩ+=
Ωc N
a C j H 22
2
11)(ε ，,10<<ε其中
他是表示通带纹波大小的一个参数，ε越大，纹波也越大。

c
ΩΩ
为Ω对c Ω的归一化频率，c Ω为截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝出的通带宽度（这一分贝数不一定是3分贝，
也就是说，在切比雪夫滤波器中，c Ω不一定是3分贝的带宽）。

)(x C N 是N 阶切比雪夫多
项式，定义为11
),
(),
arccos cos()(≤>⎩⎨⎧=x x N
Narcchx ch x N x C
切比雪夫滤波器的幅度响应所具有的特点如下： a.当Ω=0，N 为偶数是，2
11)0(ε
+=j H a ；当N 为奇数，1)0(=j H a 。

b.当c Ω=Ω有 2
11)(ε
+=
Ωj H a
即 c Ω=Ω时，所有幅度响应曲线都通过
2
11ε
+点，则该点为切比雪夫滤波器的截止频
率。

在这个截止频率下，复读函数不一定下降3分贝。

c.在通带内，当c Ω<Ω时，幅度响应在1~
2
11ε
+之间等纹波起伏
d.在通带外部，当c Ω>Ω时，随着Ω的增大
122>>⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ΩΩc N C ε 使幅度响应迅速趋近于零。

切比雪夫滤波器参数求解： 求c Ω，当2
11)(ε
+=
Ωj H a 时，所得到的Ω即为c Ω
求ε，ε与通带纹波2δ有关，应该有110
10
/2
-=δε；
求阶数N ，可得]
[]
1101[][1121.02c
st
c st arcch arcch arcch A arcch N ΩΩ-=ΩΩ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥δεε
最后，取滤波器阶数为大于由上式求得的N 的一个整数。

5.2设计FIR 滤波器的原理
如果所希望的滤波器的理想的频率响应函数为()
ωj d e H ，则其对应的单位脉冲响应为
()()
ωπ
ωωπ
π
d e e H n h j j d d ⎰-
=
21
（5.1）
窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列()n h 逼近()n h d 。

由于()n h d 往往是无限长序列，而且是非因果的，所以用窗函数()n ω将()n h d 截断，并进行加权处理，得到：
()()()
n n h n h d ω= （5.2）
()n h 就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数()
ωj e H 为
()()n
j N n j e
n h e
H ωω
∑-==1
（5.3）
式中，N 为所选窗函数()n ω的长度。

我们知道，用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数()n ω的类型及窗口长度N 的取值。

设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。

各种类型的窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见表1。

这样选定窗函数类型和长度N 之后，求出单位脉冲响应()()()n n h n h d ω•=，并按照式（5.3）求出()ω
j e
H 。

()ω
j e H 是否满足要求，要进行演算。

一般在()n h 尾部加零使长度满
足2的整数次幂，以便用FFT 计算()ωj e H 。

如果要观察细节，补零点数增多即可。

如果()
ωj e H 不满足要求，则要重新选择窗函数类型和长度N ，再次验算，直至满足要求。

如果要求线性相位特性，则()n h 还必须满足：
()()n N h n h --±=1
根据上式中的正、负号和长度N 的奇偶性又将线性相位FIR 滤波器分成四类。

要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类，例如，要设计线性相位低通特性，可以选择
()()n N h n h --=1这一类，而不能选择()()n N h n h ---=1这一类。

5.3 各种窗函数的具体参数
表1 各种窗函数的基本参数
设计思路：
1．FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。

FIR DF设计的含义是：根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或H(z)：
2．线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的h(n)。

3．级联和频率采样型结构，求FIR DF 的H(z)。

(1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应H d(e jw)。

(2)设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H(e jw)。

(3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应h d(n)。

6、设计流程
由于窗函数法的通带、阻带纹波是一样的，最大值都是δ，用（6.1）式可由s A 可求出
δ，即：
)101/(1020/20/A - S S A --=δ
（6.1）
S A =50dB ，则3
101723.3-⨯=δ。

由（6.2）式可得)]1/()1lg[(20δδ+--=p R =0.055dB,
由于题目中给出的0.1dB 的要求，故设计时直接采用所给阻带衰减的指标。

否则，若由S A 算
设计流程图
出的p R 不满足要求，则要利用通带p R 指标重新计算阻带所需衰减'
S A ，以此'
S A 作为设计的出发点。

)]1/()1lg[(20δδ+--=p R （6.2）
6.1采用海明窗
（1） 理想线性相位高通滤波器)(ω
j d e
H 及)(n h d 分别见于（6.3）、（6.4）两式，其中
2/)1(-=N τ。

ωτj e -， π
ωω≤≤c
)(ωj d e H =
0 ， c 0
ωω≤≤ （6.3）
[])
(n sin -
τπωτ--n c ）（
， τ≠n
=)(n h d
1-πω/c ， τ=n （6.4）
对于高通DF ，可直接利用（6.5）式得理想线性相位高通滤波器截止频率
2/)(c st p ωωω+= （6.5）
πωωωωωωωω3.02/2/)(2/)(c =∆-=∆-+=+=p p p st p
（2） 求窗函数
由阻带衰减dB A S 50=，查表海明窗阻带衰减为53dB ，满足要求，由过渡带宽度为
πω2.0=∆确定滤波器长度点数N ，而海明窗过渡带N /6.6πω=∆，则有332.06.66.6==∆=
π
π
ωπN ，由于是线性相位高通滤波器，[]偶对称)(n h ，只能取N=奇数，为了满足过渡带的要求，取大一点的N ，取N=35, 则172/1N =-=）（τ，于是海明窗
)()17cos(46.054.0)()12cos(
46.054.0)(35n R n n R N n n N ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=ππϖ （3） 求线性相位FIR 高通滤波器的h(n)。

先将参数带入上式（6.4）中的)(h n d 中，可
得=----=-----=
)
17()]
17(3.0sin[17n )17()17(3.0sin )17()17(sin )(n n n n n n n h d ππδππππ）（
，π
π)17()]
17(3.0sin[---n n 17≠n
0.7 , 17=n 则有：
==)()()(h n n h n d ϖ )()17cos(46.054.0)17(])17(3.0sin[35n R n n n ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡----
ππππ， 17≠n 0.7， 17=n （4） 求∑=-=34
0)()(H n n j j e n h e
ωω
，可得系统幅度响应如下图
（5） 检验)(H ω
j e 的各项指标，满足要求。

6.2 采用布莱克曼窗
（1） 理想线性相位高通滤波器)(ω
j d e
H 及)(n h d 分别见于（6.6）、（6.7）两式，其中
2/)1(-=N τ。

ωτj e -， π
ωω≤≤c
)(ωj d e H =
0 ， c 0
ωω≤≤ （6.6）
[])
(n sin -
τπωτ--n c ）（
， τ≠n
=)(n h d
1-πω/c ， τ=n （6.7） 对于高通DF ，可直接利用（6.8）式得理想线性相位高通滤波器截止频率
2/)(c st p ωωω+= （6.8）
πωωωωωωωω3.02/2/)(2/)(c =∆-=∆-+=+=p p p st p
（2） 求窗函数
由阻带衰减dB A S 50=，查表布莱克曼窗阻带衰减为74dB ，满足要求，由过渡带宽度为πω2.0=∆确定滤波器长度点数N ，而海明窗过渡带N /
11πω=∆，则有
552.01111==∆=
π
π
ωπN ，由于是线性相位高通滤波器，[]偶对称)(n h ，只能取N=奇数，为了满足过渡带的要求，取大一点的N ，取N=57, 则282/）1N （=-=τ，于是
海明窗)(n ϖ为
)()544cos(08.0)28cos(5.042.0)()14cos(08.0)12cos(5.042.0)(55n R n n n R N n N n n N ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+--=ππππϖ （3） 求线性相位FIR 高通滤波器的h(n)。

先将参数带入上式（6.7）中的)(h n d 中，可
得
=----=-----=
)
28()]
28(3.0sin[）28n （)28()28(3.0sin )28()28(sin )(n n n n n n n h d ππδππππ
，)28()]
28(3.0sin[π
π---n n 28≠n
0.7 , 28=n
则有：
==)()()(h n n h n d ϖ
))()544cos(08.0)28cos(5.042.0)28(])28(3.0sin[55n R n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+----πππππ， 28≠n 0.7 ， 28=n （4） 求∑=-=
56
)()(H n
n
j j e n h e
ωω
，可得系统幅度响应
（5） 检验)(H ω
j e 的各项指标是否满足要求。

理想单位秒冲响应 hd(n)
实际单位脉冲响应
h(n)
051015
20253035海明窗
w (n
)
00.20.4
0.60.81
高通滤波器的幅度响应曲线（dB ）d B
7、MATLAB 仿真
7.1 第一种滤波信号fn=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+sin(2*pi*f3*t) 7.1.1 采用海明窗函数
海明窗函数图形为：
(1).滤波器的幅度响应曲线：
00.10.20.30.40.50.6
0.70.80.91海明窗
n
w (n
)
海明窗的对数幅度响应曲线（dBb ）
w/pi
d B b
x 10
4
频率(Hz)
频率响
应
滤波后时域波
形
x 10
4
滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
(2).时域波形和频域波形：
(3).滤波后的时域和频域波形：
-3
-2-101
23噪声f(n)时域波形
x 10
4
20
406080100120140噪声f(n)频域波形
频率(Hz)
频率响应
-2
-1
1
2
滤波后时域波形
x 10
4
20
40
6080
100
120滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
总的效果图：
（4）滤波结果分析 由MATLAB 计算出： 海明窗的窗宽N=35 采样频率
通带截止频率为
阻带起始频率为
截止频率为
实际通带最大衰减Ap =0.0287dB 实际最小阻带衰减 As = 55dB
滤波效果来看，对比滤波前后信号频谱发现，频率小于截止频率15000Hz 的信号基本
n
w (n )
w/pi
d B b
理想单位秒冲响应 hd(n)
实际单位脉冲响应 h(n)
布莱克曼窗
w (n )
高通滤波器的幅度响应曲线（dB ）
d B
被滤去，通带截止频率以上的频率幅值稍微有所衰减，但整体效果达到了预期标准。

7.1.2 采用布莱克曼窗函数
布莱克曼窗函数为;
(1).滤波器的幅度响应曲线：
噪声f(n)时域波形
x 10
4
噪声f(n)频域波形
频率(Hz)
频率响
应
滤波后时域波
形
x 10
4
滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
(2).f(n)的时域波形和频域波形：
(3).滤波后的时域和频域波形：
-3
-2-101
23噪声f(n)时域波形
x 10
4
20
406080100120140噪声f(n)频域波形
频率(Hz)
频率响应
-2
-1
1
2
滤波后时域波形
x 10
4
20
40
6080
100
120滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
总的效果图：
(4)滤波结果分析： 由MATLAB 计算出： 布莱克曼窗的窗宽N=57 采样频率
通带截止频率为
阻带起始频率为
截止频率为
实际通带最大衰减Ap =0.003dB 实际最小阻带衰减 As = 76dB
滤波效果来看，对比滤波前后信号频谱发现，频率小于截止频率15000Hz 的信号基本
理想单位秒冲响应 hd(n)
实际单位脉冲响应
h(n)
海明窗
n
w (n
)
高通滤波器的幅度响应曲线（dB ）w/pi
d
B
海明窗
n
w (n
)
-120
-100
-80
-60
-40
-200
海明窗的对数幅度响应曲线（dBb ）
w/pi
d B b
被滤去，通带截止频率以上的频率幅值与采用海明窗相比衰减更大，但整体效果达到了预期标准。

7.2 第二种滤波信号fn=square(1:256,50)+randn(1,256) 7.2.1 采用海明窗函数
海明窗函数图形为：
(1).滤波器的幅度响应曲线：
x 10
4
频率(Hz)
频率响
应
x 10
4
频率(Hz)
响应
(2)时域波形和频域波形：
(3).滤波后的时域和频域波形：
100200300-4-2024噪声f(n)时域波形
2
46x 10
4
50100150噪声f(n)频域波形
频率(Hz)频率响应
100
200
300
-4-202
4滤波后时域波形
2
46x 10
4
50
100
滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
总的效果图：
（4）滤波结果分析 由MATLAB 计算出： 海明窗的窗宽N=35 采样频率
通带截止频率为
阻带起始频率为
截止频率为
实际通带最大衰减Ap =0.0287dB 实际最小阻带衰减 As = 55dB
滤波效果来看，对比滤波前后信号频谱发现，频率小于截止频率15000Hz 的信号基本被滤去，但大于10000Hz 小于20000Hz 的过渡带宽内仍存在少量的噪声信号，通带截止频率
n
w (n )
w/pi
d B b
理想单位秒冲响应 hd(n)
实际单位脉冲响应 h(n)
布莱克曼窗
n
w (n
)
高通滤波器的幅度响应曲线（dB ）
w/pi
d B
以上的频率幅值稍微有所衰减，但整体效果达到了预期标准。

7.2.2 采用海明窗函数
布莱克曼窗函数为;
(1).滤波器的幅度响应曲线：
(2).f(n)的时域波形和频域波形：
x 10
4
频率(Hz)
频率响
应
x 10
4
频率(Hz)
响应
(3).滤波后的时域和频域波形：
-4
-2
2
4
噪声f(n)时域波形
x 10
4
50
100
150
噪声f(n)频域波形
频率(Hz)
频率响应
-3
-2-101
23滤波后时域波形
x 10
4
2040
60
80
100滤波后频域波形
频率(Hz)
响应
总的效果图：
(4)滤波结果分析： 由MATLAB 计算出： 布莱克曼窗的窗宽N=57 采样频率
通带截止频率为
阻带起始频率为
截止频率为
实际通带最大衰减Ap =0.003dB 实际最小阻带衰减 As = 76dB
滤波效果来看，对比滤波前后信号频谱发现，频率小于截止频率15000Hz 的信号频谱比采用海明窗抑制得更厉害，噪声信号明显降低，过渡带宽与海明窗相比变宽，通带截止频
率以上的频率幅值与采用海明窗相比衰减更大，但整体效果达到了预期标准。

综上所述，对比布拉克曼窗与海明窗的对数幅度响应曲线可以看出，旁瓣衰减加大，但主瓣宽度也相应加宽了。

而且最小阻带衰减只由窗形状决定，不受N的影响；而过渡带的宽度则既和窗形状有关，且随窗宽N的增加而减少。

对于用窗函数法设计滤波器，可以总结一下几点：
1) 窗函数频谱的主瓣应尽可能地窄, 即能量尽可能集中在主瓣内, 以提高谱估计时的频域分辨率和减小泄漏, 在数字滤波器设计中获得较小的过渡带。

2) 尽量减少窗函数频谱的最大旁瓣的相对幅度, 以使旁瓣高度随频率尽快衰减，如这两条不能同时得到满足, 往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。

总之, 在应用窗函数时, 除要考虑窗函数频谱本身的特性外, 还应充分考虑被分析信号的特点及具体处理要求。

3)从上面的两个窗函数的仿真，可以明显看出用不同的窗函数设计的滤波器满足的指标相差很大，所以在设计滤波器时要根据具体的指标来选择相应的窗函数，而且要经过多次仿真验证，最后选最佳方案。

附件：MATLAB程序附录
1、freqz-m子函数定义
%freqz_m的定义：
function [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
%求取系统的绝对幅度响应、相对的db值幅度响应、相位响应和群延时响应的函数%
%db为相对振幅(dB)
%mag为绝对振幅
%pha为相位响应
%grd为群延时
%w为频率样本点向量
%b为Ha(z)分子多项式系数(对FIR而言，b=h)
%a为Hz(z)分母多项式系数(对FIR而言，a=1)
%
[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
%freqz显示数字滤波器频域中的图形
%[H,W]?=?FREQZ(B,A,N,'whole')uses N points around the whole unit circle.
H=(H(1:501))';
w=(w(1:501))';
mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
%dB=-20log10|H(ejw)|/|H(ejw)|max>=0
pha=angle(H);
grd=grpdelay(b,a,w);
2、ideal-lp子函数定义
function hd=ideal_lp(wc,M);
%Ideal Lowpass filter computation
%。