《第2课时 垂线及其性质》课件 (同课异构)2022年精品课件

× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
例1：：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. E
F
验证猜测 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A
D C
P
E
B
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
三角形的证明
角平分线
第1课时 角平分线
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会表达角平分线的性质及判定;〔重点〕 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;〔难点〕 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学 生的推理证明意识和能力．
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
二 角平分线的判定
思考：交换角的平分线性质中的和结论，你能得到什么结论，
这个新结论正确吗？
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
O
题
A
D C
P
E
B
思考：这个结 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平论分正线确上吗．？
EC
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝
90°，AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4,
AB=14.
4
〔1〕那么点P到AB的距离为_______.
B
D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900， AP平分∠BAC交BC于点P，假设PC＝4，AB=14.
OP= OP，
∴PD=PE.
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
2021 年 “精 英 杯〞 全国公开课大赛
获奖作品展示
教育部“精英杯〞公开课大赛简介
• 2021年6月，由教育学会牵头，教材编审委员会具体 组织实施，在全国8个城市，设置了12个分会场，范围从“ 小学至高中〞全系列部编新教材进行了统一的培训和指导 。每次指導，都輔以精彩的優秀示範課。在這些示範課中 ，不乏全國名師和各省名師中的佼佼者。
了任何一个.
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表： A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系，写 出猜结测：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
二 垂线的画法及基本事实
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如 何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
当堂练习
1.两条直线相交所成的四个角中，以下条件中能 判定两条直线垂直的是( C ) A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
2.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的选项 是〔C 〕
唯一性.
三 点到直线的距离
如图，从A点向直线 l 画一条垂直的线段和几条 不垂直的线段.
说一说：
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
A
2.你能用一句话表示这个结论吗？
B CD
l E
总结归纳
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂 线段最短.简单说成：垂线段最短.
A
特别规定：
l D
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
• 他们的课程，无论是在内容和形式上，都是经过认真 研判，把各学科的核心素养作为教学主线。既涵盖城市中 小学、又包括乡村大局部学校的教学模式。適合全國大局 部教學大區。本課件就是從全國一等獎作品中，优选出的 具有代表性的作品。示范性强，有很大的推广价值。
七年级数学下〔HK〕 教学课件
第10章 相交线、平行线 与平移
C m
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条
如图，直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
C m
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
如图，直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
B
2 D
E
课堂小结
1.垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是
直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
2.垂线的画法 3.垂线的性质 (1)过一点有且只有一条直线与直线垂直, (2)垂线段最短. 4.点到直线的距离
第一章
八年级数学下〔BS〕 教学课件
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm， 那么PE=_4_____cm.
B
D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
问题: (1)画直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
.B
.A l
如图，直线 l,作l的垂线.
A
O
1.放 2.靠 3.画
l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
②性质：∵ AB⊥CD ,〔〕
∴ ∠AOD=90° .〔垂直的定义〕
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
典例精析
例1(1)如图1，假设直线m、n相交于点O,∠1＝90°,m那⊥n 么；
(2)假设直线A9B0、°CD相交于点O，且AB⊥CD，那么 ∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠B7O2C°与∠BOA的度数之1比62° 为1∶5，m那么∠COA＝____B,∠BOCC的补角为 .
相交线
第2课时 垂线及其性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；〔重点〕 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
解决问题. 〔重点、难点〕
导入新课
情境引入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它
们有什么特殊的位置关系？
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见， 你能再举出其他例子吗？
〔2〕求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
S PDB
1 2
·AB·PD=28.
B
〔3〕求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
A D
B
C
6.：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直
线，那么∠1与∠2的关系一定成立的是〔 〕D
A.相等 C.互补
B.互余 D.互为对顶角
C E
1
A
2O
B
F D
7.如图，直线AB、CD都经过O点，OE为射
线，假设∠1＝35°,∠2＝55°，那么OE与AB的位
置关 垂直
系是 .
C
1O
A
O
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
C m
总结归纳
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线垂直于直线.
注意： 1.“过一点〞中的点，可以在直线上，也可
以在直线外； 2.“有且只有〞中，“有〞指存在，“只有〞指
讲授新课
一 垂线的概念
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
bbb
b
b
α 〕α
a
问题 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、 ∠BOC等于多少度？为什么？
C
AO
B
D
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时， ∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
把互相垂直的两条直线的 交点叫作垂足〔如图中的O点〕.
C l
O mB
D
垂线的根本性质
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°
时，AB⊥CD，垂足为O.
A
D
符号语言：
O
①判定：∵∠AOD=90°,〔〕
∴AB⊥CD.〔垂直的定义〕 C
B
反之，假设直线AB与CD垂直,垂足为O，那么 ∠符AO号D语=9言0°：.
A
B
C
D
3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短
的是 ( C )
C
A. AC
B. BC
C. CD
D. 不能确定
A
4.找出图中互相垂直的线段：
D
B
DC
A B
O
AO ⊥ CO BO ⊥DO
5.以下说法正确的选项是D〔 〕 A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
〔比例尺为1︰20000〕
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
知识要点 垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这 两条线段所在的直线互相垂直.
垂直的表示法 如果直线AB与直线CD垂直，那
么可记作：AB⊥CD〔或CD⊥AB〕.
如果用l、m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直，可记作： A l⊥m〔或m ⊥ l〕.
E
∴∠AOP=∠BOP 〔全等三角形的对应角相等〕.
A P
B
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识Байду номын сангаас结
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
1
O
n
O
A
图1
图2
活动1： 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂
直的直线吗？
活动2： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相
垂直的直线吗？
折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?
例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC， ∠BOE＝∠NOE，假设∠EON＝20°，求∠AOM和 ∠NOC的度数．
证明猜测 ：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP〔公共边〕， O PD= PE〔 〕，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO〔 HL〕.