高考数学集合与常用逻辑用语

第一单元集合与常用逻辑用语
第1讲集合
课前双基巩固
1.元素与集合
(1)集合元素的性质:、、无序性.
(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.
(3)集合的表示方法: 列举法、和.
(4)常见数集及其符号表示:
2.集合间的基本关系
A B
或B A 3.集合的基本运算
}
}
常用结论
(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.
(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;
②任何一个集合是它本身的子集;
③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);
④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.
(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.
(4)①并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A;
②交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B;
③补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=⌀;∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).
题组一常识题
1.[教材改编]已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,1,2,5},则集合A∩B所含元素之和为.
2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.
3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .
4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.
题组二常错题
◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;集合运算中端点取值致错;对子集的概念理解不到位致错.
5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B⊆A,则m= .
6.已知集合A={x|y=log2(x+1)},集合B=y y=,x>0,则A∩B= .
7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.
8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A B,则a的取值范围为.
9.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为.
课堂考点探究
探究点一集合的含义与表示
1 (1)设集合A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B中的元素有 ()
A.5个
B.4个
C.3个
D.无数个
(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值
为.
[总结反思] (1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数
集、点集,还是其他集合,然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握
集合的意义.
(2)依据元素与集合的关系确定参数时,往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论,并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
式题(1)设集合A={-1,0,2},集合B={-x|x∈A且2-x∉A},则B=()
A.{1}
B.{-2}
C.{-1,-2}
D.{-1,0}
(2)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()
A.-1∉A
B.-11∈A
C.3k2-1∈A
D.-34∉A
探究点二集合间的基本关系
2 (1)[2017·江西八校联考]集合M=x x=+1,n∈Z,N=y y=m+,m∈Z,则两集合M,N 的关系为()
A.M∩N=⌀
B.M=N
C.M⊆N
D.N⊆M
(2)[2017·大庆三模]已知集合A={y|0≤y<a,y∈N},B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},若A⫋B,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为()
A.2
B.4
C.8
D.16
[总结反思] (1)判断两集合之间的关系的方法:当两集合不含参数时,可直接利用数轴、图示法进行判断;当集合中含有参数时,需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法.
(2)要确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数,再求解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、图示法来解决这类问题.
式题(1)[2017·长沙一中月考]已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是()
A.a≥2
B.a>2
C.a<0
D.a≤0
(2)[2017·临川一中模拟]若集合A∪B=B∩C,则对于集合A,B,C的关系,下列表示正确的是()
A.A⊆B⊆C
B.C⊆B⊆A
C.B⊆C⊆A
D.B⊆A⊆C
探究点三集合的基本运算
考向1集合的运算
3 (1)[2017·保定二模]设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=()
A.{3,0}
B.{3,0,2}
C.{3,0,1}
D.{3,0,1,2}
(2)已知集合A={(x,y)|y=x+1,0≤x≤1},集合B={(x,y)|y=2x,0≤x≤10},则集合A∩B= ()
A.{1,2}
B.{x=1,y=2}
C.{(1,2)}
D.{x=1,x=2}
(3)[2017·河西五市二模]已知全集U=R,集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=},则A∩(∁
B)=()
U
A.[1,2]
B.[1,2)
C.(1,2]
D.(1,2)
[总结反思] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点:
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.
(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决.
(3)注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.
考向2利用集合运算求参数
4 (1)[2017·邯郸二模]已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B有三个元素,则实数m的取值范围是()
A.[3,6)
B.[1,2)
C.[2,4)
D.(2,4]
(2)[2017·泰安二模]设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()
A.p>1
B.p≥1
C.p<1
D.p≤1
[总结反思] 根据集合运算结果求参数,主要有以下两种形式:
(1)用列举法表示的集合,直接依据交、并、补的定义求解,重点注意公共元素;
(2)由描述法表示的集合,一般先要对集合化简,再依据数轴确定集合的运算情况,特别要注意端点值的情况.
考向3集合语言的运用
5 设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()
A.{x|0<x<1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|1≤x<2}
D.{x|0≤x<2}
[总结反思] 解决集合新定义问题,应做到:
(1)准确转化.解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.
(2)方法选取.对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.
强化演练
1.【考向1】[2017·资阳二模]设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|x-1≥0},则图1-1-1中阴影部分所表示的集合为()
图1-1-1
A.{x|x≤-1或x≥3}
B.{x|x<1或x≥3}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≤-1}
2.【考向1】[2017·汕头三模]已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},则A∩B=()
A.{1,2}
B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1}
D.{0,1,2}
3.【考向2】[2017·天津静海一中二模]设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a 的值为()
A.-2或-1
B.0或1
C.-2或1
D.0或-2
4.【考向2】[2017·厦门一中模拟]已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a 的取值范围是()
A.a≤1
B.a<1
C.a≥2
D.a>2
5.【考向3】若数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<…<a n,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),a i a j 与两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”.则()
A.{1,3,4}为“权集”
B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
课前双击巩固
1.命题
(1)命题概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.
(2)四种命题及其相互关系
图1-2-1
注:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.
2.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的条件;
(2)如果q⇒p,则p是q的条件;
(3)如果既有p⇒q又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.
常用结论
1.充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;
(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为B
B⊆A
A B
B A
题组一常识题
1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△
A'B'C';③x2+2x-3<0;④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)
2.[教材改编]下面有4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a ∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解可表示为.其中真命题的个数为.
3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.
4.[教材改编]已知集合M={x|1<x<a},N={x|1<x<3},则“a=3”是“M⊆N”的条件. 题组二常错题
◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.
5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.
6.已知命题“∀a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.
7.若命题“ax2-2ax-3≤0成立”是真命题,则实数a的取值范围是.
8.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的
条件.
课堂考点探究
探究点一四种命题及其相互关系
1 (1)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是()
①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;
②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;
③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.
A.①③
B.②
C.②③
D.①②③
(2) 给出以下五个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数;
⑤若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.
其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)
[总结反思] (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)当一个命题不易直接判断真假时,根据“互为逆否的命题同真同假”的结论,可转化为判断与其等价的命题的真假.
式题(1)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是()
A.若a,b,c成等比数列,则b2≠ac
B.若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac
C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列
(2)[2017·枣庄二模]已知命题“若x>1,则2x<3x”,则在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
探究点二充分﹑必要条件的判断
2 (1)[2017·北京卷]设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2017·天津卷]设θ∈R,则“θ-<”是“sin θ<”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[总结反思] 充要条件的三种判断方法:
(1)定义法.根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法.根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法.根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断,这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
式题(1)对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“-1<x-y<1”是“[x]=[y]”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2017·衡水一模]设p:<1,q:log2x<0,则p是q的 ()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
探究点三充分、必要条件的应用
3 (1)[2017·湖北新联考四联]若“x>2m2-3”是“-1<x<4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是()
A.[-1,1]
B.[-1,0]
C.[1,2]
D.[-1,2]
(2)已知条件p:
≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范
-
围是()
A.--
B.
C.[-1,2]
D.-∪[2,+∞)
[总结反思] (1)求解充分、必要条件的应用问题时,一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
(2)求解参数的取值范围时,一定要注意对区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现错误.
式题(1)[2017·武汉三模]下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是() A.a-1>b B.a+1>b
C.|a|>|b|
D.a3>b3
(2)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是()
A.-1≤k<3
B.-1≤k≤3
C.0<k<3
D.k<-1或k>3
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
课前双击巩固
1.简单的逻辑联结词
命题中的、、叫作逻辑联结词,用符号分别表示
为、、.
2.全称量词与存在量词
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.
(3)含有一个量词的命题的否定:
全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.
特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.
常用结论
1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.
2.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”.
3.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.
4.命题p∧q的否定是p∨q;命题p∨q的否定是p∧q.
题组一常识题
1.[教材改编]给出下列命题:①函数y=ln x是减函数;②2是方程x+2=0的根又是方程x-2=0的根;③28是5的倍数或是7的倍数.其中是“p或q”形式的命题的是.(填序号)
2.[教材改编]p∨q是真命题,q是真命题,则p是(填“真”或“假”)命题.
3.已知命题p:∃x0∈R,+x0-1<0,则命题p是.
4.[教材改编]命题“有的四边形是平行四边形”的否定是.
题组二常错题
◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;考查命题真假时忽视对参数的讨论.
5.[教材改编]命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.
6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是.(填序号)
①p∨q;②p∧q;③p∧q;④p∨q.
7.已知命题:若ab=0,则a=0或b=0,则其否命题为.
8.已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.
课堂考点探究
探究点一含逻辑联结词的命题及真假
1 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A.p∨q
B.p∨q
C.p∧q
D.p∨q
(2)给出下列两个命题:
命题p:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M,则|MA|≤1的概率为.
命题q:若函数f(x)=x+,则f(x)在区间1,上的最小值为4.
那么,下列命题为真命题的是()
A.p∧q
B.p
C.p∧q
D.p∧q
[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:
(1)判断复合命题的结构;
(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;
(3)依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可.
式题(1)[2017·惠州调研]设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则∀x∈R,f(-x)≠f(x),命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误
．．的是() A.p为假B.q为真
C.p∨q为真
D.p∧q为假
(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x<y,则x>y2.给出命题:①p∧q;②p∨q;③p∧q;④p ∨q.其中为真命题的是()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
探究点二全称命题与特称命题
2 (1)[2017·陕西师大附中二模]若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则p为
()
A.不存在x0∈R,使得-+1<0
B.存在x0∈R,使得-+1<0
C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0
D.存在x0∈R,使得-+1≥0
(2)下列命题中为假命题的是()
A.∃α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β
B.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
C.∃x0∈R,+a+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)
D.∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点
[总结反思] 全称命题与特称命题的真假判断及其否定:
∀x∈M,
p(x)
式题[2017·山东师大附中二模]已知f(x)=e x-x,g(x)=ln x+x+1,命题p:∀x∈R,f(x)>0,命题q:∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0,则下列说法正确的是()
A.p是真命题,p:∃x0∈R,f(x0)<0
B.p是假命题,p:∃x0∈R,f(x0)≤0
C.q是真命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0
D.q是假命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0
探究点三根据命题的真假求参数的取值范围
3 (1)[2017·南充一模]设p:∃x0∈1,,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t 的取值范围为.
(2)[2017·湖南十三校二联]已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点; 命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是. [总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
式题(1)[2018·衡水中学模拟]已知命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0,若p是真命题,则实数a 的取值范围为()
A.[0,4]
B.(0,4)
C.(-∞,0)∪(4,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
(2)[2017·太原二模]若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.。