高考数学(理)总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练(解析版)

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高考数学（理）总复习：

函数的图象与性质、函数与方程题型训练题型一函数的定义域、值域及解析式

【题型要点解析】

(1)函数定义域的求法

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略

①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

①求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

①解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

①求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．

奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．

(3)函数值和值域的求法：求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等，要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法．

例1．已知函数f(x2－3)＝lg

x2

x2－4，则f(x)的定义域为________．

【解析】设t＝x2－3，则x2＝t＋3，

则f(t)＝lg

t＋3

t＋3－4＝lg

t＋3

t－1，

由

t ＋3

t －1

>0得t >1或t <－3， ①t ＝x 2－3≥－3，①t >1，

即f (t )＝lg

t ＋3

t －1

的定义域为(1，＋∞)， 故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)

例2．设集合A ＝⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0，B ＝⎥⎦⎤

⎢⎣⎡1,21，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋12，x ①A ，2(1－x )，x ①B .若x 0①A ，且f [f (x 0)]①A ，

则x 0的取值范围是( )

A.⎥⎦

⎤ ⎝

⎛4

1,0

B.⎥⎦⎤

⎝⎛21,41 C.⎪⎭

⎫

⎝⎛21,41 D.⎥⎦

⎤⎢⎣⎡8

3,0

【解析】因为x 0①A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即1

2≤f (x 0)<1，即f (x 0)①B ，

所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0.

因为f [f (x 0)]①A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<1

2，故选C.

【答案】 C

题组训练一：函数的定义域、值域及解析式

1．函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)

lg (2－x )的定义域是________．

【解析】 ①函数f (x )的定义域是[0,3]，

①由⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤2x －1≤32－x >0

lg (2－x )≠0

得：⎩⎨⎧

1

2

≤x ≤2x <2

x ≠1

，

即1

2

≤x <2且x ≠1， 即函数的定义域为⎩

⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

12

≤x <2且x ≠1， 【答案】 ⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

12≤x ≤2，且x ≠1 2．设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a x

a x ＋1(a >0，

且a ≠1)，那么函数f (x )＝[g (x )－12]＋[g (－x )－1

2

]的值域为( )

A ．{－1,0,1}

B ．{0,1}

C ．{1，－1}

D ．{－1,0}

【解析】①g (x )＝a x a x ＋1，①g (－x )＝1

a x ＋1，

①0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<1

2，①f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时，1

2

<g (－x )<1，①f (x )＝－1.

当g (x )＝12时，g (－x )＝1

2，①f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.

【答案】 D

3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ①R 恒成立，当x ①[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－9

2

)＝( )

A.1

2 B.2 C.

2

2

D ．1

【解析】 ①f (x ＋2)＝f (x )对x ①R 恒成立， ①f (x )的周期为2，f (x )是定义在R 上的偶函数，

①f (－92)＝f (－12)＝f (12

)

①当x ①[0,1]时，f (x )＝2x ，①f (1

2)＝2，故选B.

【答案】 B

题型二 函数的图象及其应用 【题型要点解析】

(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．

(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．

(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．

例1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

ln x

1＋x (x >0)

ln (－x )

1－x (x <0)

的图象大致是( )

【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

ln x

1＋x

(x >0)ln (－x )

1－x (x <0)

，满足f (－x )＝f (x )，所以函数是偶函数，排除选

项B ，D ；当x ①(0,1)时，f (x )＝ln x

1＋x

<0，排除A.故选C.