2014年(大纲全国卷)数学(理科) 附答案解析

C=2ccos A,tan A=1,求 B.
3
18.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 18)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且
Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式;
1
(2)设 bn=
,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
+1
19.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
cos∠AF2F1=( ).
A.1
B.1
C. 2
D. 2
4
3
4
3
10.(2014 大纲全国,理 10)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( ).
A.6
B.5
C.4
D.3
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
7.【答案】C
【解析】∵y=xex-1,∴y'=ex-1+xex-1,∴k=y'|x=1=e0+e0=2,选 C.
8.【答案】A
-5-
【解析】由图知,R2=(4-R)2+2,
∴R2=16-8R+R2+2,∴R=9,
4
∴S 表=4πR2=4π×8116
81π,选 A.
4
9.【答案】A
【解析】∵双曲线的离心率为 2,∴ =2,
因为 tan A=13,所以 cos C=2sin C,tan C=12. 所以 tan B=tan[180°-(A+C)]
=-tan(A+C)=ttaann t+atnan-1=-1, 即 B=135°.
18.分析:(1)通过条件分析,a2 为整数,且 Sn≤S4,得到 a5≤0,a4≥0,把 a4,a5 用公差 d 和 a1 表
A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]
3.(2014 大纲全国,理 3)设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ).
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
4.(2014 大纲全国,理 4)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ).
二、填空题 13.【答案】70
8
【解析】设 - 的第 r+1 项中含有 x2y2,
则 Tr+1=C8
8-
-
C8·(-1)r· 8- - 2
-
82
,
因此 8-r-2=2,r-82- =2,即 r=4. 故 x2y2 的系数为C84×(-1)4=84××73××62××51=70. 14.【答案】5
【解析】画出 x,y 的可行域如图阴影区域. 由 z=x+4y,得 y=-14x+4. 先画出直线 y=-14x,再平移直线 y=-14x, 当经过点 B(1,1)时,
-3-
22.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 22)函数 f(x)=ln(x+1)- (a>1).
+
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)设
a1=1,an+1=ln(an+1),证明:
+2 2<an≤
3.
+2
-4-
参考答案
一选择题 1.【答案】D
【解析】z= 10i
3+i
10i(3-i) (3+i)(3-i)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷) 数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2014 大纲全国,理 1)设 z=10i,则 z 的共轭复数为( ).
3+i
A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i 2.(2014 大纲全国,理 2)设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( ).
角的正切值等于
.
16.(2014 大纲全国,理 16)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间
π,π
62
是减函数,则 a 的取值范围
是
.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)(2014 大纲全国,理 17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3acos
三、解答题 17.分析:通过 3acos C=2ccos A,借助于正弦定理把 a,c 转化成关于 A,C 的三角函数值,由
已知 tan A=1,从而求出 tan C,再利用公式 tan B=-tan(A+C)求出 B.
3
解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A.
故 3tan Acos C=2sin C,
示,得到公差的取值范围,从而确定公差,进而求出{an}的通项公式. (2)将(1)的结果代入 bn= 1 ,整理变形后利用裂项求前 n 项和 Tn.
+1
解:(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数,
-2-
(1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3,求二面角 A1-AB-C 的大小.
20.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 20)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概 率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.
3302i++1120=1+3i, =1-3i,选 D.
2.【答案】B
【解析】∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},
N={x|0≤x≤5},
∴M∩N={x|0≤x<4}=[0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ),选 B.
3.【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.
故共有C62·C51
6×5×5=75 种选法,选 C.
2×1
6.【答案】A
2
【解析】∵ 2 +
2
2=1(a>b>0)的离心率为
33,
∴
33.
又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,
△AF1B 的周长为 4 3,
∴4a=4 3,∴a= 3.
2
2
∴b= 2,∴椭圆方程为 3 + 2 =1,选 A.
A.2
B. 2
C.1
D. 2
2
5.(2014 大纲全国,理 5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗
小组,则不同的选法共有( ).
A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种
2
6.(2014 大纲全国,理 6)已知椭圆 C: 2 +
2
2=1(a>b>0)的左、右焦点为
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
-1-
12.(2014 大纲全国,理 12)函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反 函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
F1,F2,离心率为
3,过
3
F2
的直线
l
交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( ).
2
2
A. 3
+
=1 2
2
B. +y2=1 3
2
2
C. 12
+
=1 8
2
2
D. 12
+
=1 4
7.(2014 大纲全国,理 7)曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ).
A.2e
B.e
C.2
D.1
8.(2014 大纲全国,理 8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表
面积为( ).
81π A.
4
B.16π
C.9π
D.27π
4
9.(2014 大纲全国,理 9)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则
z=x+4y 取得最大值为 5. 15.【答案】4
3
【解析】如图所示,
设 l1 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 B, l2 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 C,
则 OB= 2,OA= 10,AB=2 2.
∴tan α=
2 1.
22 2
∴tan∠BAC=tan 2α=12-ttaann2α
2×12 1-14
而∠ACD=135°,CO⊥l,所以∠OCH=45°.
在 Rt△ECO 中,CO=CE·cos∠ECO=1·cos 60°=12.
在 Rt△COH 中,CH=CO·cos∠OCH=1·sin 45°= 2.
2
4
在 Rt△ECH 中,cos∠ECH=
2
4
1
42.
所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2.故选 B.
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
不妨取 CE=1,过 E 作 EO⊥β于 O.
在平面β内过 O 作 OH⊥CD 于 H,
连 EH,则 EH⊥CD.
因为 AB∥CE,AB⊥l,所以 CE⊥l.
又因为 EO⊥平面β,所以 CO⊥l.
故∠ECO 为二面角α-l-β的平面角,
所以∠ECO=60°.
14,选 A.
【解析】∵a4=2,a5=5,
∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,
∴lg a1+lg a2+…+lg a8=lg a1a2…a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,选 C.
11.【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
43.
-7-
16.【答案】(-∞,2]
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π 6
,
π 2
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1<t<1
2
,
由题意知-2×(-2) ≤ 12,∴a≤2,
∴a 的取值范围为(-∞,2].
4.【答案】B
【解析】∵(a+b)⊥a,|a|=1,
∴(a+b)·a=0,∴|a|2+a·b=0,∴a·b=-1.
又∵(2a+b)⊥b,∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.
∴|b|2=2.∴|b|= 2,选 B.
5.【答案】C
【解析】从 6 名男医生中选出 2 名有C62种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有C51种选法,
4
-6-
12.【答案】D 【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称, 而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称, 所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称. 设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y), 则其关于直线 x+y=0 的对称点 Q(-y,-x)在函数 y=g(x)的反函数的图像上, 又 Q(-y,-x)关于直线 y=x 的对称点 M(-x,-y)在函数 y=g(x)的图像上. 所以,-y=g(-x),即 y=-g(-x). 故函数 y=f(x)的反函数为 y=-g(-x).故选 D.
∴a∶b∶c=1∶ 3∶2.
又∵
| |
1|-|A 1A|
2| 2|
2a, 2A|,
∴|AF1|=4a,|AF2|=2a,
∴|F1F2|=2c=4a,
∴cos∠AF2F1=|
2|2+| 1 2|2-|A 1|2 2| 2|| 1 2|
10.【答案】C
4 2+16 2-16 2 2×2 ×4
42 16 2
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
8
13.(2014 大纲全国,理 13) -
的展开式中 x2y2 的系数为
.(用数字作答)
- ≥ 0,
14.(2014 大纲全国,理 14)设 x,y 满足约束条件 + 2 ≤ 3,则 z=x+4y 的最大值为
.
-2 ≤ 1,
15.(2014 大纲全国,理 15)直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹
21.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,理 21)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴 的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=5|PQ|.
4
(1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l'与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点 在同一圆上,求 l 的方程.