第三章线性系统的时域分析演示文稿

统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。
第二十六页，总共一百三十九页。
例如: RLC电路 微分方程式为：
RL
r(t
C c(t)
)
LC
d 2c(t) dt 2
RC
dc(t ) dt
c(t )
r(t)
Φ(s)
C(s) R(s)
零初条件
T 2s2
1
2Ts 1
s2
2 n
2
n
s
2 n
T LC
n 1/T
。
０ T 2T 3T 4T
t
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：︱c(ts) 1 ︱= ( 取5%或2%)
＝e
ts T
t t
s s
3T ( 4T (
5%) 2%)
T反映了系统的 惯性。
T越小惯性越小 ，响应快！
T越大，惯性越 大，响应慢。
第十五页，总共一百三十九页。
一阶系统阶跃响应：
1．T 与 c(t ) 有确定关系，是表征系统响应 特征的
Ue U
t
RC
U0
e
t
Ue RC
t RC
稳态分量
暂态分量
可见：不论哪种求解方法，也不论初始条件如何，
均有：系统响应=稳态响应+暂态响应
第四页，总共一百三十九页。
系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性能描述，而暂 态响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就由稳态性能指标和暂态性能
指标组成因。为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻的工作
R C
2L
对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是
s
C(s) s
c2(t) c(t)dt
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例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。
10KO
10 K O
(s) KOG(s) 0.2s 1 1 K HG(s) 1 10K H
sa
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3.3 典型二阶系统时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
2 n
闭环传递函数为
(s)
1
s(s
2n
2 n
)
s2
2 n
2n
s
2 n
s(s 2n )
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频率) 。二阶系
第三章线性系统的时域分析演 示文稿
第一页，总共一百三十九页。
优选第三章线性系统的时域分 析
第二页，总共一百三十九页。
分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获 得系统的数学模型，可以采用几种不同的方法去分析系统的性能 。
线性系统：
时域分析法ch3， 根轨迹法ch4， 频率法ch5 非线性系统： 描述函数法， 相平面法ch7
响应曲线在[0，） 的时
间区间中始终不会超过其稳态
值，把这样的响应称为非周期
响应。
０ T 2T 3T 4T
t 无振荡
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c(t)
1.0 0.865 0.632
t
c(t) 1 e T
t 0
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个重要 的特点： ①可以用时间常数T去度量系 统输出量的数值。 ②响应曲线的初始斜率等于1/T
t
s2 2
考查随动系统在波浪环境中的控制和跟随能力
第九页，总共一百三十九页。
二. 阶跃响应的时域性能指标
c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应 + 稳态响应
1. 暂态性能指标
非振荡阶跃响应过程
衰减振荡阶跃响应过程
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(1) 延迟时间td：c(t)从0到0.5c(∞)的时间。
系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与下
图的唯曲一线作参比数较。，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一
阶始数2.系到T初1。统达，始。稳所速此 态需度外值时：，的间d用63cd.正实(2tt%)验好所|t的为需0方T的。法T1时测，间定若，一就以阶系可T1统以的确等输定速出系上响统升应的到由时零间值常开
比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于
0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪
在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋
于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟
3.1.1典型输入信号
1. 阶跃函数（位置函数）
f(t) 1
A
r(t)
0
记为 1(t)
t0
令 A 1 称单位阶跃函数， t0
R(s) L1(t) 1
s
0
t
考查系统对恒值信号的跟踪能力
第五页，总共一百三十九页。
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0
r(t)
0
t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t·1(t)
3.2 一阶系统的时域分析
凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
T dc(t) c(t) r(t) dt
T＝RC，时间常数。 其典型传递函数及结构图为：
系统中只有一个参数T,
R r一(t)阶系统也叫惯C性环节。c(t)
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
R(s
1
C(s)
)
Ts+1
(2)上升时间tr：c(t)第一次达到c(∞)的时间。无超调时, c(t)从0.1 c(∞)到0.9
c(∞)的时间。
(3) 峰值时间tp： c(t)到达第一个峰值的时间。
(4)调节时间ts： c(t)衰减到与稳态值之差不超过±2%或±5%所需的时间 。通常该偏差范围称作误差带,用符号△表示，
即 △ =2%或 △ =5% 。 快速性
3.t p 和 %均 没 有 。t s 4T或t s 3T
T ts 快速性越好。
4、ess 1 c() 0
c(t)
1.0 0.865 0.632
0.95 0.982
０T
2T 3T
t 4T
第十六页，总共一百三十九页。
3.2.2 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1T T
C(s)
动态状性态能，需如要通果过系其统对在输阶入跃信信号号的响输应入过下程的来暂评态价性。因能此满在足分要析求和，设计 控制则系在统其时他，形需式要一下个的对输系入统信的号性下能进，行其比暂较态的性基能准也---典会型令输人入满信号 。统条运意件行。：在1最能不反利映实的际工输作入状；态2。在形式上尽可能简单，便于分析；3 使系
h(t ) 1 eat
解．
g(t) h(t) [1 eat ] aeat
(s) L[ g(t) ] a sa
(s) G(s) 1 G(s)
(s)[1 G(s) ] G(s)
G(s) (s)G(s) (s) G(s) (s)
1 (s)
a
G(s)
(s)
sa
a
1 (s) 1 a s
10KO
0.2s 1 10K H
1 10K H 0.2 s 1
0.2s 1
0.2
1 10K H 10 K O
T* 0.02 K* 10
1 10K H
KH KO
0.9 10
1 10K H
第二十四页，总共一百三十九页。
例2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求 s , g(t) , G(s) 。
d2 dt 2
c斜 (t)
d3 dt 3
c抛 (t)
★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任
何线性系统，但不适用于非线性系统。
第二十二页，总共一百三十九页。
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的 输出则为原来输出的导数。
C(s) GB (s)R(s)
C1(s)
Ts 1
s2
s2
s
s
1 T
c(t ) t T Tet /T
(t 0)
c(t)
稳态分量（跟踪
项+常值）
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了
一个时间常数T的斜坡函数。
c() t T
第十七页，总共一百三十九页。
表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置 上仍有误差，一般叫做跟踪误差。
t
lim[Tt
t
T2
T 2eT
]
1．一阶系统不能跟踪抛物线信号。
2．对抛物线响应求导：
dc(t )
t
t T Te T
斜坡响应。
dt
第二十一页，总共一百三十九页。
. (t) d 1(t) d 2 t 1(t) d 3 1 t 2 1(t)
dt
dt 2
dt3 2
g(t)
d dt
c阶
(t)
f(t)
L[t
1(t)]
1 s2
0
t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
第六页，总共一百三十九页。
3. 抛物线函数（等加速度函数）
r(t)
1 2
At
2
t0
0 t 0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 t 2 1(t ) 2
R(s)
L
1 2
t
2
1t
1 s3
0
t
考查系统的机动跟踪能力
第七页，总共一百三十九页。
t
1e T
c阶 (t)
即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。
第十九页，总共一百三十九页。
3.2.3 单位脉冲响应 [R(s)=1] C(s) 1 Ts 1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这时
0.368/T
输出称为脉冲（冲激）响应函数 ，以g(t)标志。
0.135/T 0.05/T
g (t )ຫໍສະໝຸດ GB( s ) L[ dr (t dt
)]
G
B(s)
sR( s )
sC ( s )
dc(t ) c1(t ) dt
2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的
积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零
初始条件决定。
R(s) 1
C2 (s) GB (s)L[ r(t )dt] GB (s)
第二十页，总共一百三十九页。
3.2.4、单位抛物线响应：
C(s) 1 1 T T 2 T 2 s3 (Ts 1) s3 s 2 s s 1
c(t )
1
t2
Tt
T
2 (1
t
eT
)
T
2
t
e(t) r(t) c(t) Tt T 2 (1 e T）
t
故e ss
lim e(t)
4. 脉冲函数
并有
t
0
t 0 t 0
(t)
及
t
dt
1
R(s) L (t) 1 0
t
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
第八页，总共一百三十九页。
各函数间关系：
t 积分1t 积分 t 1t 积分 1 t 2 1t
求导 求导
求导 2
（5）正弦函数
f(t)
rt Asint
R(s) LAsint A 0
R(s
) +﹣
1
C(s)
Ts
第十三页，总共一百三十九页。
3.2.1 单位阶跃响应
当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。
1 11 1
C(s) (s)R(s)
Ts 1 s s s 1
t
T
c(t) c(t) 1 e T
t 0
1.0
0.865
0.632
0.95 0.982
(5)超调量σp %：c(t) 最大峰值
偏离稳态值的部分，常用百分
数表示，描述系统的平稳性。
p%
c(tp ) c() c()
100%
第十一页，总共一百三十九页。
2. 稳态性能指标
稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即系统响应的实际 值与期望值（即输入量）之差。
ess
lim e(t)
t
lim
踪。
第十八页，总共一百三十九页。
斜坡响应（续）
2．初始速度：
dc(t dt
)
|t0
1
e
t T
|t0 11 0
t
3
e ss
lim[r(t) c(t)] lim(T Te
t
t
T )T
表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单
位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。
4．对斜坡响应求导：
dc(t) dt
s0
sE ( s )
最后一节细讲 。
上述各种性能指标中，t r、t p 描述系统起始段的快
慢； % 反映暂态过程振荡的剧烈列程度；
t s 表示系统过渡过程持续时间，总体上反映系统的
快速性；ess反映系统复现输入信号的最终精度。一 般以 % 、t s 和 ess 评价系统响应的稳、快、准。
第十二页，总共一百三十九页。
采样系统： Z 变换法ch8
多输入多输出系统： 状态空间法
第三页，总共一百三十九页。
▪ §3-1 典型输入信号和时域性能指标
分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。
稳态分量
暂态分量
以RC网络为例：
1.若u c (0) U0，则有u c (t 2.若u c (0) 0, 则有u
)
c
U (t)
C脉冲
(t)
1 T
t
eT
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出
系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
d C阶跃 (t ) dt C斜坡 (t )
d 对应 r阶跃 (t ) dt r斜坡 (t )
d C脉冲(t ) dt C阶跃 (t )
d r脉冲(t ) dt r阶跃 (t )