有理数(八)：乘方、科学计数法、近似数

乘方
【知识导学】
1. 一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a ⋅⋅⋅L 14
243个
，记作________，读作“____________”； 2.
求n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做________。

在n a 中，a 叫做________，n 叫做________，当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作“___________”； 3. 特别地，一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次幂，即155=，指数为1通
常不写；
4. 负数的奇次幂是_______，负数的偶次幂是________；
正数的任何次幂都是________，0的任何正整数次幂都是______。

5. 含乘方的有理数混合运算是运算顺序：
______________________________________
______________________________________
______________________________________
【课堂例题】
知识点一：乘方的意义与运算
例1： （1）12=（ ）22=（ ）32=（ ）42=（ ）52=（ ）……
（2）()12=-（ ）()22=-（ ）()3
2=-（ ） ()42=-（ ）()5
2=-（ ）……
例2： 10的n 次幂在1的后面有（）个0,0.1的n 次幂的小数部分1的前面有（）个0.
例3： ()23=-（ ）；23=-（ ）；2a =（ ）；()2
a -=（ ）；
例4： 平方等于本身的数是（），立方等于本身的数是（）。

知识点二：含乘方的有理数混合运算
例5： 计算。

（1）3114(2)11(2)425
⎡⎤-----⎢⎥⎣⎦×÷÷（2）2233311(12)674⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦÷×(-)
（3）3232333519143()2
(1)()()251949252⨯--⨯⨯-+⨯-(-)
例6：
x 、y 为有理数，且212(3)0x y -++=，求2232x xy y -+的值。

例7： 观察下面行数：
①－3，9，－27，81，－243，729，…
② 0，12，－24，84，－240，732，…
③－1，3，－9，27，－81，243，…
（1）请用含n 的代数式表示第一行数的规律？
（2）第②行数与第①行数有什么关系？请用含n 的代数式表示第二行数的规律？
（3）第③行数与第①行数有什么关系？请用含n 的代数式表示第三行数的规律？
（4）取每行数的第10个数，计算这三个数的和。

【课堂练习】
1. 、计算：
2010(1)-5(2)-383
(5)- 41()2-4(10)-3(2)--223-× 2. 已知n 是正整数，那么2(1)n -=___________，
21(1)n +-=____________。

3.
如果一个有理数的奇次幂是非负数，那么这个有理数是___________________。

4.
平方等于9的数是__________，立方等于27的数是___________。

5. 把333()444-××写成乘方形式为。

6. 下列运算正确的是。

A ．229()32=
B ．3327()22-=-
C ．239()24-=-
D ．3327()28
-=- 7. 若249
x =，则x =，若327x =-，则x = 8. 观察下列数，根据规律写出横线上的数
12；34-；58；716
-；______；______；……第2010个数是____________。

9. x 、y 为有理数，且24(2)0x y +++=，求222+x xy y -的值。

10.
20092010(0.25)4×。

11. 已知
22(1)0-+-=ab b ，试求1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)
+++++++++ab a b a b a b 的值。

科学计数法
【知识导学】
1. 110=_____，110=_____，110=_____……一般地，10的n 次幂等于_________，所以可
以用10的_______来表示一些大数，如：8
567 000 000=5.67100 000 000=5.6710⨯⨯，读作“_____________________”。

2.
把一个大于10的数表示成10n
a ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是________________。

3. 对于小于－10的数可以先不看负号，用科学记数法表示后可以再加上负号。

【课堂例题】
例1： 用科学记数法表示下列各数：
1000 000= 572 000 000= 123 000 000 000= －35400=
例2： 下列各数，属于科学记数法表示的是（）。

A ．53.7×105
B ．0.537×104
C ．537×102
D ．5.37×103 例3： 已知2.7310n ⨯是一个7位数，则原数为_______，n 为______。

【课堂练习】
1. 用科学记数法表示下列各数
60000=8769.5=
567000=－7 200 000=
2. 下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？ 7110×=4.5610×=
7.04510×=3.96410×=
3.
在比例尺为1：8000 000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4㎝，将实际距离用科学记数法表示为___________㎞。

4.
数5.23×103的整数位数是（） A ．3位B ．4位C ．5位，D ．6位 5.
第五次人口普查知山西省人口总数约为3297万人，用科学记数法表示是多少人?
6. 许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断。

根据测定，一般情况下一个水龙
头“滴水”个1小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头年可以流掉多少千克水？（用科学记数法表示，保留3个有效数字）
7.
某市2015年底机动车的数量是6210⨯辆，2016年新增5
310⨯辆，用科学记数法表示我市2016年底机动车的数量是多少？
近似数
【知识导学】
1. 与准确数字相近的数，叫做__________。

2. 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。

取近似数，一般用四舍五入的方法，四舍五
入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

【课堂例题】
例1： 用四舍五入的方法对圆周率π取近似数。

π≈3 （精确到个位）
π≈3.1 （精确到，或叫精确到十分位）
π≈3.14 （精确到，或叫精确到分位）
π≈3.142 （精确到，或叫精确到分位）
π≈3.1416 （精确到，或叫精确到分位）
例2： 按括号内的要求，对下列数取近似数
（1）0.0158（精确到0.001）≈（2）304.35（精确到个位）≈
（3）1.804（精确到0.1）≈（4）1.804（精确到0.01）≈
（5）67800（精确到万位）≈（6）67800（精确到千位）≈
例3： 下列近似数个精确到哪一位？
（1）3.14 （2）0.020 （3）9.72万（4）5
3.3010⨯
【课堂练习】
1. 用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似数：
（1）0.6328（精确到0.01）（2）7.9122（精确到个位）
（3）130.96（精确到十分位）（4）46021（精确到百位）
2. 实验中学九年级一班期末数学平均成绩约为90.1分，则该班数学平均成绩的范围是（）。

A ．大于90.05分且小于90.15分
B ．不小于90.05分且小于90.15分
C ．大于90分且小于90.05分
D ．大于90分且小于或等于90.1分
3. G20峰会期间，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们为世界展示了一个美丽、幸福、文明的
杭州．据统计，杭州市参与志愿行动的注册志愿者已超过9.17×105人，而这个数字，还在不断地增加，则近似数9.17×105精确到（）。

A ．百分位
B ．个位
C ．千位
D ．十万位
4. 由四舍五入法得到的近似数1.59的精确度为__________。

5. 对非负有理数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞。

例如，＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜
1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…
解答下列问题：
（1）＜π＞=_____（π为圆周率）；
（2）☆如果＜2x －1＞=3，那么有理数x 有最________（填“大”或“小”）值，这个值为______。

6. ☆用四舍五入法得到的近似数a ≈2.4，b ≈2.40，则a ，b 的关系是（）
A ．a=b
B ．a ＞b
C ．a ＜b
D ．以上都不对
7. 向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57 s ，已知无线电波每秒传播3×
105km ，求地球和月球之间的距离。

（结果精确到百分位）
8. 某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100 m 外的安全地带奔跑的速度为6m/s ，已知导火
索燃烧的速度为0.11m/s 。

问：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1 m ）
【课后作业】
1. 关于(－3)4的正确说法是（）。

A ．－3是底数，4是幂
B ．－3是底数，4是指数，－81是幂
C ．3是底数，4是指数，81是幂
D ．－3是底数，4是指数，81是幂
2. 下列各组数中,相等的是（）。

A ．()23-与23-
B ．()2
3-与23 C ．()32-与32 D ．()32-与3
2- 3. 下列说法正确的是（）。

A ．如果a b >，那么22a
b >B ．如果22a b >，那么a b > C ．如果
a b >，那么22a b > D ．如果22a b >，那么a b > 4.
下列各式：①－（－5）；②－|－5|；③（－5）2；④－52；⑤－（－5）4；⑥－（－5）3，其中结果为负数的序号为__________________。

5.
已知()219x +=，327y =-，求3x y -的值。

6.
已知()2210a b -++=，求()92010812a b a ⎛⎫--+⨯- ⎪⎝⎭的值。

7.
已知234a =-⨯，()234b =⨯，()234c =-⨯，则a,b,c 的大小关系是_________________。

8. 对于任意实数a ,下列各式一定成立的是（）。

A ．()22a a =-
B ．()3
3a a =- C ． 22a a -= D ．33a a =
9. ()()2211+1=n n +--____________(n 为正整数)。

10. 已知a 、b 、c 为有理数，5a =，29b =，()2
14c -=，且0ab >，0bc <，求式子ab bc ac --的值。

11. 观察下面三行数．并按规律填空：
2，－4，8，－16，32，－64，…；①
4，－2，10，－14，34，－62，…；②
1，－2，4，－8，16，－32，…；③
（1）第①行第8个数为_______；第②行第8个数为_______；第③行第8个数为_______。

（2）第③行中是否存在连续的三个数使得三个数的和为768？若存在，则求出第三个数；若不存在，则说明理由。

12.用科学记数法表示下列各数：
（1）3 560 000 000；
（2）300 000 000；
（3）－258.9；
（4）0.05×105．
13.在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100 m2，可以放置40个床
位（一人一个床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5 000 m2．要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
14.比较下列用科学记数法表示的两个数的大小：
（1）1.45×102 017与9.8×102 016；
（2）－3.65×106与－1.02×106．
15.四舍五入法按要求取近似值：
（1）0.9823(精确到0.1)（2）2.8201(精确到0.01)
（3）45.3973(精确到千分位)（4）99.5(精确到个位)
（5）310983(精确到千位) （6）283904(精确到百位)
16.下列说法正确的是（）。

A. 近似数18.0与近似数18的精确度相同
B. 我国领土960万平方千米中的960万是准确数
C. 近似数7百与近似数700的精确度相同
D. 近似数2.1万与近似数的精确度相同
17.把一个四位数x,先四舍五入到十位,得到的数为y,再四舍五入到百位,得到的数为z,再四舍五入
到千位,恰好得到3000。

（1）原四位数x的最大值为多少?最小值为多少?
（2）将x的最大值与最小值的差用科学记数法表示出来(精确到千位)。