近世代数复习

世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、10
3、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为
a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)
1、设G 是群。

证明：如果对任意的xG,有x 2e,则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题一参考答案
一、单项选择题
1、C;
2、D;
3、B;
4、C;
5、D; 二、填空题
1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构；
7、1、-;
8、S=I 或S=R;
9、域；
a
三、解答题
1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6) 可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：
(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)
1、设置换和分别为:
12345678 64173528
12345678 23187654
和的奇偶性,
11
2、解：设A 是任思万阵，令B —（AA ）,C —（AA ）,则B 是对称矩阵，而C 是22 反对称矩阵，且ABC 。

若令有AB 1c 1,这里B/口C 1分别为对称矩阵和反对称矩
阵，则BB i C i C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等 于0,即：BB i,CC i,所以，表示法唯一。

3、答：（M m,m ）不是群，因为M m 中有两个不同的单位元素0和也 四、证明题
1、证：对于G 中任意元x,y,由于（xy ）2e,所以xy （xy ）1y 1x 1yx （对每个x,从x 2e 可得xx 1）。

a
2、证：在F 里ab 1b 1a —（a,bR,b0）有意义，b
作F 的子集Q 所有—
（a,bR,b0）b Q 显然是R 的一个商域，证毕。

近世代数模拟试题二
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。

2、下面的代数系统（G,*）中，（）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。

2、一个有单位元的无零因子称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则a 4的阶等于
4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么AAB=。

6、若映射既是单射又是满射，则称为。

8、a 是代数系统（A,0）的元素，对任何xA 均成立xoa
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
A 、a
B 、a,e C
33
ea D 、e,a,a
a*b=a+2bD 、a*b=|a-b| 4、设1、2、 则3=（） A 、21B 、
5、任意一个具有 A 、不可能是群 3是三个置换，其中
1=(12)(23)(13), 12C 、）D
2个或以上元的半群，它（ B 、不一定是群C
21
)°
定是群D 二、填空题（本大题共10小题，每空 共30分） 2=(24)(14),
3=(1324),
是交换群
7、
叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的
%,a 1,L,a n 使得
a 。

a 1
n
La n 0。

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)},写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“？”是数的乘法，则“？”是E中的运算，(E,?)是一个代数系统，问(E,?)是不是群，为什么？
3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)
1、若<G,*>是群，则对于任意的a、bCG必有t一的xCG使得a*x=b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m|a-b。

近世代数模拟试题二参考答案
一、单项选择题
1、C;
2、D;
3、B;
4、B;
5、A
二、填空题
1、变换群；
2、交换环；
3、25;
4、模n乘余类加群；
5、{2};
6、一一映射；
7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题
1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}
H的3个左陪集为：{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}
2、答：(E,?)不是群，因为(E,?)中无单位元。

3、解：辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102b=3X102+85102=1X85+17
由此得到(a,b)=17,[a,b]=axb/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3x102)=4x102-b=4x(a-b)-b=4a-5b.
所以p=4,q=-5.
四、证明题
1、证：设e是群<G,*>的幺元。

令x=a—1*b,则a*x=a*(a—1*b)=(a*a—1)*b=e*b=b。

所以，x=a—1*b是a*x=b 的解。

若xCG也是a*x=b的解，则x=e*x=(a—1*a)*x=a—1*(a*x)=a—1*b=x。

所以，x=a—1*b是a*x=b的惟一解。

2、证：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合2记为Zm,
每个整数a所在的等价类记为[a]={xCZ；m|x-a}或者也可记为a,称之为模m剩余类。

若mIa-b也记为a=b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、6阶有限群的任何子群一定不是()。

A、2阶
B、3阶
C、4阶
D、6阶
2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。

A4个B、5个C、6个D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。

A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次募
4、下列哪个偏序集构成有界格()
A、(N,)
B、(Z,)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))
D、(P(A),)
5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A、(1),(123),(132)
B、12),(13),(23)
C、(1),(123)
D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
1、群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。

2、如果f是A与A间的映射, a是A的一个元，则f
3、区间［1,2］上的运算ab{mina,b}的单位元是。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。

5、环Z8的零因子有。

6、一个子群H的右、左陪集的个数。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为一RS匚。

9、设群G中元素a的阶为m,如果a n e,那么m与n存在整除关系为
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S I,S2是A的子环，则sns也是子环，S1+S2也是子环吗？
3、设有置换(1345)(1245),(234)(456)S6。

1.求和1；
2.确定置换和1的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题三参考答案
一、单项选择题
1、C;
2、C;
3、D;
4、D;
5、A
二、填空题
1、唯一、唯一；
2、a；
3、2;
4、24;
5、^<6.&相等；7、商群；8、特征；9、mn;
三、解答题
1、解：在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种
珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证：由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b£S1nS2有a-b,ab£S1nS2：
因为S1,S2是A的子环，故a-b,abCS1和a-b,abCS2,
因而a-b,abCS1AS2,所以S1AS2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：
曷见品与应均为子瓯但况中国-{口；|代人尺£卜是子环
3、解：1.(1243)(56),1(16524);2.两个都是偶置换。

四、证明题
1、证：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义a1a1,
因而R的任意元bb?1,这就是说=R,证毕。

2、证：必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,
ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1。

近世代数模拟试题四(无参考答案)
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有()个元素。

A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A=B=R(实数集)，如果A到B的映射：x-x+2,xCR,
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设4={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在&中可以与(123)交换的所有元素有()
A.(1),(123),(132)
B.(12),(13),(23)
C.(1),(123)
D.S3中的所有元素
4.设乙5是以15为模的剩余类加群，那么，乙5的子群共有()个。

A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体M(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“"：m^n€Z,mn=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法""：mnCZ,mn=1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
6.设“〜”是集合A的一个关系，如果“〜”满足，则称“〜”是A的一个等价关系。

7.设(G,•)是一个群，那么，对于a,bCG,则abCG也是G中的可逆元，而且(ab)t=
8.设b=(23)(35),T=(1243)(235)C包那么°=(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a€G,则元素a的阶只可能是
5,15,1,3,。

10.在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}是S的一个不变子群，则商群G/H中的
元素(12)H=。

11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因
子是2,3,4。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是。

13.设Z[x]是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)=。

14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,bCZ},其中i2=—1,则Z[i]中的所有单位是
15.有理数域Q上的代数元V2+<3在Q上的极小多项式是。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
16.设Z为整数加群，Z m为以m为模的剩余类加群，是Z到Z m的一个映射，其中
:k-[k],k€Z,
验证：是Z到Z m的一个同态满射，并求的同态核Ker。

17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题(本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分)
19.设G={a,b,c},G的代数运算"”
由右边的运算表给出，证明：(G,)作成一个群。

20.设Ra,b,c,dZ,Ia,cZ,
cdc0
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。

证明：I是R的一个子环，但不是理想。

21.设（R,+,•）是一个环，如果（R,+）是一个循环群，证明：R是一个交换环。

近世代数试卷（选择题有误，已经删去）
一、判断题（每小题1分，共10分）
1、设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。

（）
2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。

（）
3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。

（）
4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。

（）
5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

（）
6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH o（）
7、如果环R的阶2,那么R的单位元10。

（）
8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。

（）
9、F（x）中满足条件p（）0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。

（）
10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z/p同构的子域，这里Z是整数环，p
是由素数p生成的主理想。

（）
二、填空题（每空2分，共20分）
1、设集合A1,0,1；B1,2,则有BA。

2、如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f1fa。

3、设集合A有一个分类，其中A与A j是A的两个类，如果AA j,那么
AA j。

4、设群G中元素a的阶为m,如果a n e,那么m与n存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。

6、给出一个5-循环置换（31425）,那么1。

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么%是一个域当且仅当I
是O
9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果。

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。

三、改错题（每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a1a2a n里，元
的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果?t足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0。

d和d都是a和b的最大公因4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若子，那
么必有dd。

叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元a 0,a 1,,a n 使得
n
a n 0。

四、计算题（共15分）
1、给出下列四个四元置换
f （x ）
g （x ）以及它们的次数。

五、证明题（每小题10分，共40分） (m,n)1,证明：ab 的阶abmn 。

2、设R 为实数集，a,bR,a0,令f (a ,b):R 这样的变换构成一个集合Gf （ab ）a,bR,a
（a,u ）
作成一个群。

3、设I 1和I 2为环R 的两个理想，试证I 1I 2和I 1想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1,证明：
近世代数试卷参考解答
一、判断题12345678910
xx ，，x ，，，XX
二、填空题
1、 1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1。

2、a 。

3、。

4、mn 。

5、变换群。

6、13524。

7、x i ay i ,x i ,y i R 。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

三、改错题
1、如果一个集合A 的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a 1a 2a n 里，元 的次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果?黄足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么S0。

S=I 或S=R 八.*・一._...…・一'
4、唯一分解环I 的两个兀a 和b 不一TE 会有取大公因子，右d 和d 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d'。

一定有最大公因子；d 和d'只能差一个单位因子
22 叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元a 0,a 1,,a n 使得
a 0a 1a n n 0。

不都等干零的元
四、计算题：五、证明题（略）
5、
123412
1,
2
123412
组成的群G,试写出G 的乘法表,群。

2、设Z 60,1,2,3,4,5
一3
f(x)3x5x2、g(x)
341234
,3,4
432134
并且求出G 的单位元及11,2 1234 2143
11_一,,~. 3,4和
G 的所有子 是模6的剩余类环，且f(x),g(x) 2 4x5x3,计算f(x)g(x)、
Z 6x 。

如果
f(x)g(x)和
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ab
ba,又设a 的阶am,b 的阶bn,并且
R,xaxb,xR,将R 的所有
0，试证明：对于变换普通的乘法，G I 2abaI 1，b12都是R 的理
R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

基础测试题
一、填空题(42分)
1、设集合M 与M 分别有代数运算与一，且M~M,则当—满足结合律时, 也满足结合律；当—满足交换律时，一也满足交换律。

2、对群中任意元素a,b,有(ab)1=；
3、设群G 中元素a 的阶是n,n|m 则a m =;
4、设⑻是任意一个循环群，若|a|,则网与同构；若|a|n, 则(a)与同构；
5、设G=⑻为6阶循环群，则G 的生成元有;子群 有
6、n 次对称群S n 的阶是；置换(1378)(24)的阶是 8、设(14)(235),(136)(25),则
9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= 10、任意一个群都同一个同构。

二、证明题(24)
1、设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程x n e o
2、叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的 交HK 仍然是G 的一个子群。

3、证明：如果群G 中每个元素都满足方程x 2e,则G 必为交换群。

三、解答题(34)
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算abab4作成群。

2、写出三次对称群S 3的所有子群并写出S 3关于子群H={(1),(23)}的所有左陪集和所有 右陪集。

基础测试参考答案
一、填空题
1、满足结合律；满足交换律；
2、b 1a 1;
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群;
7、设
1234 2341
_53242345
5、a,a；e,e,a,e,a,a,e,a,a,a,a,a；
6、n!；47
8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、(双射)变换群；
二、证明题
1、已知G|n|,|a|=k,则k|n,令n=kq,则a n a kq(a k)q e
即G中每个元素都满足方程x n e
2、充要条件：a,bH,abH;aHa1H；
证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交
设a,bH，则a,bH,a,bK
H是G的子群，有abH
K是G的子群，有abK
abQ
aH,则aH且aK,由定理1,可知a1H
综上所述，H也是G的子群。

3、证：
a,bG;
abG
12
aaaaa
由消元法得
1
aa
ab(ab)1b1a1ba
G是交换群。

三、解答题
1、解：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件:
(1)结合律成立，即对G中任意元素a,b,c,有(aob)ocao(boc)
(2)G中有元素e,它对G中每个元素a,都有eaa
(3)对G中每个元素a,在G中有元素a1,使a1oae
则G对代数运算作成一个群。

对任意整数a,b,显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。

(ab)c=(a+b+4)c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
a(bc)=a+b+c+8
即(ab)c=a(bc)满足结合律1234 4132
a均有(-4)a=-4+a+4=a
故-4为G的左单位元。

(-8-a)a=-8-a+a+4=-4
故-8-a是a的左逆元。

2、解：IS3|6其子群的阶数只能是1,2,3,61阶子群{(1)} 2阶子群{(1)(12)}{(1)(13)}{(1)(23)}
3阶子群{(1)(123)(132)}
6阶子群S3
左陪集：(1)H={(1)(23)}=(23)H
(12)H={(12)(123)}=(123)H
(13)H={(13)(132)}=(132)H
右陪集：H(1)={(1)(23)}=H(23)
H(13)={(13)(23)}=H(123)
H(12)={(12)(132)}=H(132)
10。