高一数学人教A版必修4学案：142正弦函数、余弦函数的性质二含答案1.doc

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）
［学习目标］1•掌握y=sin x, y=cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值2掌握j；=sinx, j/=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin（^x+（p）及y=A cos（ex+卩）的单调区间.
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［知识链接］
1.怎样求函数fix）=Asin（cox+（/））（或./（x）=/cos（亦+卩））的最小正周期
答由诱导公式一知：对任意xGR,都有Asin［（a）x+（p） + 2TI］=Asin（cox+（p）,
所以./W=A sin（cox+（p）（co0）是周期函数，方就是它的一个周期.
由于兀至少要增加两个单位，/（X）的函数值才会重复出现，因此，两是函数/（x）=/sin（ex+°）的最小正周期.
同理，函数/（x）=/cos（砂+卩）也是周期函数，最小正周期也是壽.
2.观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和一1.
［预习导引］
正弦函数、余弦函数的性质
函数y=sinx y=cosx
图象-i-TT \J/
定义域R R
值域[-1,11[-1,11
对称性
对称轴：兀=航+畝WZ）；
对称中心：伙兀，0）伙EZ）
对称轴：x=k7t（k^Z）；
对称中心：仏+号’0）
所以Asin=Asin（cox+
（p）,
(©)
奇偶性 奇函数 偶函数 周期性
最小正周期：2兀
最小正周期：2K
单调性
JT
TT
在［一㊁+2ht,㊁+2加］伙GZ ）
上单调递增;在奇+2fac,夢+
在［—TT +2E, 2E ］伙WZ ）上单
调递增；在［2/CTT , n + 2/m ］ 伙WZ ）上单调递减
最值
71 当 X —2 + 2加伙GZ)时，Jniax =1；当x=—号+2加伙丘Z)
时'J^min — — 1
当x=2刼伙WZ)时，亦=1；
当 X = 7t + 2kjt(k^Z)时，加n =
-1
歹课堂讲义 /重点难点，个个击破 _____________________________________________________________
要点一 求正弦、余弦函数的单调区间
兀 则y =—2si n z .
因为z 是x 的一次函数，所以要求y=-2sinz 的递增区间, 即求sinz 的递减区间， 即2航+号壬冬2加+守伙丘2）. TT
兀 3TT
•: 2A TT +，W X —玄冬2航十㊁伙G Z ）,
3兀 7兀 2£兀+才WxW2加十才伙G Z ）,
求函数y=2sin
卜x)
的单调递增区间. 例1 的递增区间为
2&兀+乎,2£兀+晋
伙UZ).
规律方法用整体替换法求函数y=Asin（cox+（p）或y=Acos（ojx+（p）的单调区间时，如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将兀的系数变为正数再求其单调区间.再将最终结果写成区间形式.
跟踪演练1求下列函数的单调递增区间:
(l”=l+2sin(£-"；
(2)尹=lo#cos x.
令u=x-^则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是^=sin U 的单调递 减区间，
即2加+㊁尹仇GZ),
IT
Jr
3兀
亦即2刼+㊁Wx —&W2A TT +亍伙WZ).
2 S 亦即2£兀+尹冬兀冬2加+尹伙丘乙)，
故函数y=l+2sin(?—x)的单调递增区间是2加+|兀，2刼+刍:伙WZ). 兀 兀 (2)由 cosx>0,得 2«兀一㊁<x<2hr+㊁，k^Z.
・・・*< 1，・・・函数尸log|cos X 的单调递增区间即为 w = cosx, x^\2kit —y 2航+办圧Z)的递减区间,
故函数J*=log|cosx 的单调递增区间为
2H, 2加+引伙GZ).
要点二正弦、余弦函数的单调性的应用
例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(2)sin 196。

与 cos 156°；
解⑴・・・—券—齐 •I sin (—妙sin 〔—韵.
(2)sin 196°=sin( 180° +16°) = - sin 16°,
cos 156°=cos(l 80° — 24°) = — cos 24° = — sin 66°,
71
. 71
(l)sin
(—令)与sin (—制 解 (3)cos
T 0°<16°<66°<90°, .•- sin 16°<sin 66° ；
从而一sin 16°>—sin 66。

，即 sin 196°>cos 156°.
规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单 调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪演练2比较下列各组数的大小.
(2)cos 870。

与 sin 980°.
(2)cos 870° = cos(720°+ 150°)=cos 150% sin 980° = sin(720°+260°)=sin 260° = sin(90°+170°) =cos 170°,
V00<150°<1700<180°,
/• cos 150°>cos 170°,即 cos 870°>sin 980°. 要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)
例3 (1)求函数y=3 — 2sinx 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、 最小值；
(2)求函数/(.¥)=2sin 2x+2sinx —xe 殳，普 的值域.
解(l)・・・一lWsin xWl, J 当sinx= — l,即x=2加+亍，时，y 取得最大值5,相应
的自变量兀的集合为“兀=2刼+号，kwZ 当sin x=l,即x = 2M +务kEZ 时，y 取得最小值1,相应的
自变量x 的集合为
V 且y=cosx 在［0, TT ］上是减函数,
(l)sin
与 sinfyA
解
sin Vy=sinx 在 Tl Tl T 2 上是增函数,
71 5兀
⑵令r=sinx, y=f⑴,y
.•.*Wsiri 兀W1,即*W/Wl.
.•・y=2『 + 2/_*=2(z+*)2_ ],
—7-
・•・函数/(x)的值域为[1, 2
规律方法（1）形如y=asinx+b（或尹=acosx+b）的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性（一lWsinxWl, —lWcosxWl）求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.
⑵求解形如y=Qsi『x+bsinx+c（或jpacos'x+bcosx+c）, xWD的函数的值域或最值时，通过换元，令z=sin x（或cosx）,将原函数转化为关于/的二次函数，利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意r=sin x（或cosx）的有界性.
跟踪演练3已知O0W号，求函数y=cos2x—26rcosx的最大值M（a）与最小值m（a）.
TT
解设cosx=t, TOWxW刁•••()£(£ 1.
••了="一2加=(/一0)2—/,
当a<0时，/«(6/)=0, M(a)= 1 —2a；
当0时，加(a)=—M(a)=l—2G；
当时，加(a)=—/，M(a)=0;
当Q$1时，加(a)=l—2a, M(a)=0.
戸当堂检测全当堂训练，体验成功_____________________________________________________________ 答案D 解析由申Wx+賽器解得扌WxW$故选D.
2.下列不等式屮成立的是（）x %=2航+刁
C.
)
兀2 n
29 311
D.
故选D.
3. 函数尸cos(x+?), xe[o,刖的值域是() A ，[-爭'£ B
[~T 爭]
C.爭,1
D. I ，1
答案B
解析 TOW 兀W 号，••冷Wx+》w|n.
・・cos
.故选 B.
4. 求函数 j/=/(x) = sin 2x —4sinx+5 的值域. 解设 Z=sinx,则|f|Wl, >W=g(/)亠 4汁5(-1木1), g(/) = /2—4/+5 的对称轴为 1=2.
开口向上，对称轴t =2不在研究区间［-1,1］内.
g(/)在[一1,1]上是单调递减的， .•.g(/)max =g(-l) = (-l)2-4X(-l)+5=10, g(0min=g(l)=l 2-4X 1+5 = 2,
即 g(f)W[2,10]・
••y=f{x)的值域为[2,10].
「课堂小结 ------------------------------------- 1
1. 求函数y=/sin(ex+°)(/>0, e>0)单调区间的方法是：
JT 7? 把a)x+q)看成一个整体，由2航一㊁(k Z)解出x 的范围, 区间，由2肮+賽ex+°W2肮+|兀（圧Z ）解出x 的范围，所得区间即为减区间.若e<0,先 利用诱导公式把少转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2. 比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值 的
大小比较，再利用单调性作出判断.
3. 求三角函数值域或最值的常用求法：
将尹表示成以sinx （或cosx ）为元的一次或二次等复合函数再利冃换元或配方或利用函数的单 调
答案D
解析 ,即 sin 2>cos 1.
7t
6'
所得区间即为增 7T
*.* sin 2 =
cos (号 |j>cos 1 7T
2
D. sin 2>cos 1
性等来确定尹的范围.
戸分层训练昼 解疑纠偏，训练检测 ____________________________________________________________
一、基础达标
1. 若y=sinx 是减函数，y=cosx 是增函数，那么角兀在（） A. 第一彖限 B.第二象限
C.第三彖限
D.第四象限
答案C
2. 若a, 0都是第一象限的角，且a 邙,那么（ ）
A. sin a>sin 0
B. sin 炉sin a
C. sin a^sin^
D. sin a 与 sin0 的大小不定
答案D
3. 函数y=2si 『x+2cosx —3的最大值是（ ）
A. -1
B. 1
C. —*
D. —5
答案C
解析 由题意，得y=2sin 2 .x+2cos x —3 = 2(1—cos 2x)+2cos
3 = —2^cosx —
1 WcosxWl,
・••当cosx=*时，函数有最大值一*.
4. 设 a = sin33°, ft=cos 55°, c=tan 35°,贝9( )
A. a>b>c
TT IT
5. 下列函数中，周期为兀，且在k ，寸上为减函数的是（）
答案 C
解析 sin 35°
• a —sin 33°
, b —cos 55°—sin 35°, c —tan 35°— 輕。

，又 0<cos 35°<1, . .c>h>a. COS 3 D
C. c>h>a
D. c>a>b
B. b>c>a
兀
B. y=cos(2x+㊁)
解析 因为函数周期为兀，所以排除C 、D.又因为y=cos(2x+^)=-sin 2x 在甘, 数，故B 不符合.故选A.
6. ____________________________________________ 若|x|W|,则函数/(x)=cos 2x+sinx 的最小值是 _______________________________________________ 答案一*(迈一1)
解析 S cos 2x= 1 — sinL,故7(工)=1—sin 2x+sinx,
号上为增函
令 sinx=f,又|x|W 子,
A. y=sin(2r+㊁)
由图象知［―
答案A
故函数化为 y=—t z
+t+1 = —1)2+4»
7.求下列函数的单调增区间.
X 71 H •e
. 2kn W ㊁一§<2 A TT +尹 G Z).
得4加+兀0兀04斤兀+3兀，kWZ.
.*.y=l —sin 申的增区间为［4换+兀，4加+3兀］伙WZ). 71 X 3_
2 =log)COS
2
要求原函数的增区间，即求函数y=cosg
的减区间，且cosg
0.
(2)y= log 丄 COS
2
⑴由 7T X
2后+㊁W ㊁W2ht
2 5
整理得 4hr+m7cWx<4ht+〒7t （£WZ ）・
二、能力提升 8. 函数尹=2血、的单调增区间是（
71 71
A. [2加一刁2加+刁伙GZ ）
7T Sir B. [2kn+y 2加+三]伙WZ ）
C. [2&兀—71, 2加]伙UZ ）
D. [2刼，2枕+兀]（PWZ ）
答案A
解析 函数y=2v 为增函数，因此求函数y=2血”的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区 间
9. N 是曲线y=7isinx 与曲线y=7tcosx 的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（
） A. 71 B.、/㊁兀
C. A /3K D . 2兀
答案C
解析在同一坐标系中画出函数尹= 7TSin 兀与y = 7tCOSX 的图象，如图所示，
pG-普）2+（字+字）「伍.
10. sin 1, sin 2, sin 3按从小到大排列的顺序为
sin （兀—2） = sin 2, sin （7i —3） = sin 3.
/.sin （7c —3）<sin l<sin （7u —2）, 即 sin 3<sin Ksin 2.
11. 己知血是正数，函数,/(x) = 2sin cox 在区间［—务为上是增函数，求0的収值范围. 解白一号+2A TT W 亦W 号+2EPWZ),得 的单调递增区间是4加+器，4后+孝）伙GZ ）.
y=smx 在（0,号）上递增 1 兀
,且 0<兀一
•••函数丿=log
[COS
则MN]的最小值为|PQ. 解析 ・.・1<^<2<3<
兀, 故 \PQ\ =
2kit
0J
・・・/(x)的单调递增区间是［-金+警，金+警］'曰. 根据题意，得［-务沪［—金+警金+警］•
从而有S
leo>0,
3
故e的取值范围是(0, |］.
12.定义在R上的函数/(Q既是偶函数又是周期函数，若./(X)的最小正周期是兀,且当xe［o,号时，/(x)=sinx.
(1)当xe［—TT, 0］时，求/(x)的解析式；
⑵画出函数几兀)在［一IT, TI］上的函数简图；
⑶当/(x)2为寸，求X的取值范围.
解(l)・・V(x)是偶函数，・・・/(—x)=/(x).
兀
而当兀丘0, 2时，./(x)=sinx.
・••当兀丘—2»时，
f{x)=代—X)— sin(—x) = — sin x.
又当xW —兀，一㊁时，X+TC W 0, 2 ,
的周期为71,
."./(x)=/(7t+x)=sin(7t +x) = — sin x.
・••当xE ［—TI, 0］时，y(兀)=—sin兀.
(2)如图・
y
F O x
(3)由于.ZU)的最小正周期为兀,
由周期性知，
「 5 7iT 1
当xW k7i_E , kwz时，/(x)>2-
三、探究与创新
13.设函数—2cos(*x+^, xW［警，订，若该函数是单调函数，求实数a的最大值.
1 JT
解由2航£尹+亍冬2加+7r(ZrWZ)得
・••函数的单调递增区间是4H—|n, 4加+务伙WZ),
同理函数的单调递减区间是,4&兀+〒71 (MZ).
即罰場
又kwz,•••«不存
在.
这表明y=—2cos 「28兀22
町5 ' 3
22兀
上是减函数，•：Q的最大值是竽.
因此先在［―TT, 0］上来研究/⑴鼻*,。