证明π是无理数的简单方法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
证明π是无理数的简单方法
证明π是无理数的简单方法
引言
π是数学中一个非常重要的常数,它是圆周长与直径的比值,也被称为圆周率。
π的精确值无法用有限个数字表示,因此它被认为是一个无理数。
本文将介绍一种简单的方法来证明π是无理数。
证明过程
1. 假设π是有理数
假设π可以表示为两个整数m和n的比值,即:
π = m/n
其中m和n互质。
2. 推导出矛盾
根据π的定义可知:
C = πd = 2rπ
其中C为圆周长,d为直径,r为半径。
因此有:
C = 2rπ = 2nr
又因为m和n互质,所以m和n必定至少有一个是奇数。
假设m是奇数,则可将上式改写成:
C = 2nr = m/n * d
移项得到:
d = 2nr/m * n
由于m和n互质,所以2nr/m必定不是整数。
但d是整数,因此n 必定包含一个大于1的因子p。
又因为p能够整除n和d,所以p也能够整除r。
但这与r和d互质相矛盾。
3. 得出结论
由于假设π是有理数推导出了矛盾,因此π必定是无理数。
结论
综上所述,我们通过假设π是有理数并推导出矛盾的方法证明了π是
无理数。
这个简单的证明方法已经被人们广泛应用于教学和科研领域。