不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题
典型例题一
解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。

例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。

对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。

下面分别解两个例题：
例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜23
1）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。

然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。

∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二
解分式不等式时，要注意它的等价变形。

当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋
6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无
理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

对于(1)，移项整理得到2ax+x>a2+1，即x>(a2+1)/(2a+1)。

因为a>0，所以分母2a+1>0，所以x的解集为x>(a2+1)/(2a+1)。

对于(2)，移项整理得到2ax+x0，所以分母2a-1>0，所以
x的解集为x<(a2+1)/(2a-1)。

综上所述，原不等式的解集为x(a2+1)/(2a+1)。

说明：在解题过程中，要注意将不等式移项整理后再按照无理不等式的解法进行分类讨论，以避免出现错误的解法。

同时，要注意分母的正负性，以确保解集的正确性。

根据a的取值范围，分为两种情况讨论：
当a≤0或a≥2时，方程x2-(a+a2)x+a3=0的两根都小于等
于0或大于等于a2，即x1,x2≤0或x1,x2≥a2.因此，不等式的
解为x∈(0,a2)∪(a2,∞)。

当0<a<2时，方程x2-(a+a2)x+a3=0的两根一个小于a，
一个大于a2，即x1<a<x2.因此，不等式的解为
x∈(0,x1)∪(x2,∞)。

说明：解含有参数的不等式需要分类讨论，但解题思路与一般的一元二次不等式的解法相同。

需要注意的是，方程的根含有参数，可能会引出讨论。

在解题时，需要将根的大小进行比较，从而确定不等式的解集。

当$a1$或$aa_2$；
当$a>a_2$（即$0a$；
当$a=a_2$（即$a=0$或$a=1$）时，不等式的解集为$x\in
R$且$x\neq a$。

说明：为了求解不等式，需要先求出方程的根$x_1=a$和$x_2=a_2$，因此不等式的解就是$x$小于小根或$x$大于大根。

但是$a$和$a_2$两根的大小不能确定，因此需要讨论$aa_2$，$a=a_2$三种情况。

例10已知不等式$ax+bx+c>0$的解集是$x\beta$。

分析：
按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数$c$的正负，然
后求出方程$cx^2+bx+a=0$的两根即可解之。

解：（解法1）由题可判断出$\alpha$，$\beta$是方程$ax^2+bx+c=0$的两根，$bc\beta$。

又$ax^2+bx+c>0$的解集是$x\beta$，说明$a\beta$，$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$，
$\alpha\beta=\frac{c}{a}$。

因此，$c0$，
$\frac{c}{a}=\alpha\beta0$。

所以，$cx^2+bx+a>0\iff
x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta>0\iff(x-\alpha)(x-\beta)<0$。

又$0<\alpha-\beta$，所以解集为$\alpha<x<\beta$。

解法2）由题意可判断出$\alpha$，$\beta$是方程
$ax^2+bx+c=0$的两根，$a0$。

因此，$\alpha+\beta=-
\frac{b}{a}>0$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}>0$。

令
$t=\frac{1}{x}$，则方程化为$at^2+bt+c=0$，它的两根为
$t_1=\frac{1}{\alpha}$，$t_2=\frac{1}{\beta}$。

因此，
$ct^2+bt+a>0\iff t^2+\frac{b}{c}t+\frac{a}{c}>0\iff\left(t-
\frac{1}{\alpha}\right)\left(t-\frac{1}{\beta}\right)0$，所以解集为$\alpha<x<\beta$。

当$a\neq0$时，原不等式变为$(ax-1)(x-1)<\frac{1}{a}$。

分类讨论：
①当$a0$，解得$x1$。

②当$a>0$时，将不等式变形为$(x-\frac{1}{a})(x-1)<0$，解得$1<x<\frac{1}{a}$。

③当$a=0$时，原不等式变为$-x0$。

综上，当$a1$；当$a>0$时，解为$10$。

例15 解不等式$x^2-3x-10>8-x$。

将不等式变形为$x^2-4x-18>0$，解得$x6$。

因此，原不等式的解集为$x6$。