大学物理5.3波动方程与波速

−
x) u
一维波动方程
∂ 2ξ
∂x 2
+
∂ 2ξ
∂y2
+
∂ 2ξ
∂z 2
= u12 ∂
2ξ (t,
∂t 2
r)
波动方程的三维形式
注意：
（1）此方程不限于简谐波
（2）任何一个物理量ξ，只要满足此方程，则该物
理量一定以波的形式传播，且波速为u 。
分析杆上传播的纵波
纵波传播时，杆中不同部位被拉伸和压缩
u= T
η
弦上的横波波速
弹性弦上的横波 固体中的横波
u= T
η
u=
G
ρ
T-弦中张力， G- 切变模量
η-单位长质量 ρ-体密度
流体中的声波
u= k
ρ 0
k-体积模量, ρ0-无声波时的流体
密度
杆上传播的纵波
Y
u = ρ Y-杨氏模量,ρ-材料密度
波速由媒质的性质决定!
∆x段的平均长应变: ∆l = ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t)
l
∆x
x
x+∆x
杆中纵波 o
∆x
x
x截面
x+∆x截面
∆l = ξ (x + ∆x, t) −ξ (x, t)
l
∆x
ξ (x,t)
ξ (x+∆ x, t)
令∆x → 0
lim ∆x → 0
ξ(x
+
∆x, t ) − ξ ( x, t )
∂ t2
∆x
F = Y ∂ξ
S ∂x
∆ x→0，得
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
= ∂x2 Y ∂t2
与标准波动方程比较
∂ 2 y( t , x ) =
1
∂ 2 y( t , x )
∂x 2
u2 ∂t 2
u= Y
ρ
杆中的纵波波速
分析弦上传播的横波
设弦中的张力为T，单位长
度质量为η，质元沿y向振动，
加速度为a .
∆x
=
∂ξ
∂x
x处截面 t 时刻 : 应变为 ∂ξ/∂x, 应力为 F(x,t)/S
由胡克定律 F = Y ∂ξ
S ∂x
比例系数Y叫做该材料的杨氏模量或弹性模量
∂ξ
F1
=
SY ( ∂x
) x1
∂ξ
F2
=
SY ( ∂x
) x2
杆上各处 x不同，线应变、应力不同，各质元作加速运动
杆中纵波
x1
x
x2
o
∆x
x
x+∆x
o
∆x
x
自由状态
t 时刻
x截面
x+∆x截面
变形后的长度
ξ (x,t) ξ (x+∆ x, t)
l' = [ x + ∆x + ξ ( x + ∆x, t)] − [ x + ξ ( x, t)]
= ∆x + ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t)
∆l = l'−l = ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t) = ∆ξ
x
截面S
F1 x1截面
··
ξ ( x,t)
F2 x2截面
设质心坐标为x，位移为ξ ac = ∂ 2ξ

∂ 2ξ
∂ t=2
F2 − F1
ρ ∂2ξ = F2 − F1 / ∆x
∂t2 S S
代入应力与应变的关系式
ρ ∂ 2ξ = Y ( ∂ξ / ∂x )x 2 − ( ∂ξ / ∂x )x1
§3 波动方程与波速
平面简谐波-----一维情形
= y(t, x) Acosω( t − x )
u
∂2 y(t, x) 1 ∂2 y(t, x) ∂x2 = u2 ∂t 2
∂2
y(t, ∂t 2
x)
= − Aω 2 cosω( t
−
x) u
∂2
y(t, ∂x 2
x)
= − A ωu22 cosω(
t
ηdx a =T(sinθ2-sinθ1)
y
T
质元振动方向
θ2
θ1
T
O
x1 x2
x
切变
a
=
∂2 y ∂t 2
，
sinθ2≈tgθ2，sinθ1≈tgθ1，而
η
∂2 y ∂t 2
=
T
∂2 y ∂x 2
tgθ2
=
∂y ( ∂x )x2
tg θ1
=
∂y ( ∂x )x1
∂2 y ∂x 2
=
1 u2
∂2 y ∂t 2