高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用
必备知识基础练
1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1
a －1
有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋
16
x ＋2
(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 6
3．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4
y
的最值( )
A ．最大值9
B ．最小值9
C ．最大值4
D ．最小值4
4．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )
A ．20
B ．10 2
C ．40
D ．102＋20
5．若正实数m ，n 满足2m ＋1
n
＝1，则2m ＋n 的最小值为( )
A ．4 2
B ．6
C ．2 2
D ．9
6．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1
x
(x >0)的最小值是2
B ．x 2＋2
x 2＋2的最小值是 2
C ．x 2＋5
x 2＋4
的最小值是2
D ．2－3x －4
x
的最小值是2－4 3
7．若x >－1，则x ＋
1
x ＋1
的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．
关键能力综合练
1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋
1a －2
(a >2)，q ＝－b 2
－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．p <q
2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c
的最小值是( )
A ．3＋2 2
B ．3－2 2
C ．6－4 2
D ．6＋4 2
3．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥5
2
)有( )
A ．最大值52
B ．最小值5
2
C ．最大值2
D ．最小值2
4．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋
，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9
5．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )
A ．m 1＝m 2
B ．m 1>m 2
C ．m 2>m 1
D ．m 1，m 2的大小无法确定
6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )
A ．n m ＋2
n
的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2
＋n 2
的最小值为2
7．函数f (x )＝4x 2
＋1
x
(x >0)取得最小值时x 的取值为________．
8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝
x
x 2＋1
的最大值为________．
9．已知x ，y ∈R ＋
，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？
10．做一个体积为48 m 3
，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？
核心素养升级练
1．已知a >0，b >0，1a ＋1
b
＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．2＋ 3
B ．3＋ 2
C ．3＋2 2
D ．5
2．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(
v
20
)2
km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要
________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.
3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋1
2y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y
≥22x ·y ，得xy ≤
24，所以1x ＋1
2y
≥2 1x ·12y ＝2xy
≥4，所以1x ＋1
2y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <2
3)的最小值．
第2课时 基本不等式的应用
必备知识基础练
1．答案：A
解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋
1a －1＝a －1＋1a －1
＋1≥2（a －1）·
1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1
a －1
即a ＝2时取等号，
∴a ＋
1
a －1
有最小值为3. 2．答案：B
解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋
16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2
－2≥2 （x ＋2）·
16
x ＋2
－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16
x ＋2
且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B
解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4x
y
≥5＋2
y x ·4x
y
＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4
y 有最小值9.
4．答案：D
解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2
＋b 2
， 所以该直角三角形的面积为S ＝1
2ab ＝50，则ab ＝100，
周长为a ＋b ＋a 2
＋b 2
≥2ab ＋2ab ＝20＋102，
当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D
解析：正实数m ，n 满足2m ＋1
n
＝1，
2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n
m
≥5＋4＝9，
等号成立的条件为：m n ＝n m
⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB
解析：当x >0时，x ＋1
x
≥2
x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2
＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2
＝x 2
＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2
＋4
，即x 2
＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；
当x ＝1时，2－3x －4
x
＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．
7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋
1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1
－1≥2 （x ＋1）·
1
x ＋1
－1＝1， 当且仅当x ＋1＝
1
x ＋1
，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π
解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，
所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．
关键能力综合练
1．答案：A
解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1
a －2
＋2≥2 （a －2）·
1
a －2
＋2＝4， 当且仅当a －2＝
1
a －2
时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2
－2b ＋3＝－(b ＋1)2
＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D
解析：1a ＋1b ＋1c
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b
c ≥4＋2
2b
a
·a b
＋
2
c a ·a c
＋2c b ·2b
c ＝6＋42， 当且仅当2b a
＝a b ，c a ＝a c ，c b
＝2b
c
时，等号成立， 即a 2
＝c 2
＝2b 2
时，等号成立． 3．答案：D
解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2
－4x ＋5x －2＝（x －2）2
＋1x －2＝(x －2)＋1
（x －2）≥
2，当且仅当x －2＝
1
x －2
，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥1
2
，∴x ＝t ＋2.
将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2
－4（t ＋2）＋5t ＝t 2
＋1t ＝t ＋1
t
≥2
t ·1
t
＝2，
当且仅当t ＝1
t
，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.
4．答案：A
解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1
b
＝3，
故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥1
3(5＋4)＝3，
当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C
解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋
20b
＝2ab a ＋b ≤2ab
2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，
m 2＝
6a ＋6b 12＝a ＋b
2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD
解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m
＋m ＋n n
＝n m ＋m n
＋1≥2
n m ·m
n
＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n
且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；
对于选项B, (m ＋n )2
＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；
对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n
2
)2
＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C
正确；
对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2
－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n
2
)2
＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，
等号成立，则D 正确．
7．答案：1
2
解析：x >0，f (x )＝4x ＋1
x
≥2
4x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝1
2
时取“＝”．
8．答案：1
2
解析：∵x >0，∴f (x )＝
x
x 2
＋1
＝1x ＋1
x
≤1
2
x ×1x
＝12
， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝
x
x 2
＋1的最大值为1
2
. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋1
2y
＝1，
故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x
2y 即x ＝22y 时
等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.
又1x ＋1
2y ＝1≥2 1
2xy
，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.
10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16
a
，
总造价为y 元，
则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16
a
)＋640≥300×2
a ·16
a
＋640＝3 040，
当且仅当a ＝16
a
，即a ＝b ＝4时等号成立，
∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．
核心素养升级练
1．答案：C
解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b
＝1，
可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2a
b
≥3＋2
b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b
时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.
2．答案：8 100
解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，
因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v
20
)2
千米时，时间最快．
则y ＝（v
20）2
×16＋400v ＝v 25＋400
v
≥2
v
25
×400
v
＝8，
当且仅当v 25＝400
v
即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．
3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．
正确的解法如下：
因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )
＝52＋y x ＋x y ≥52
＋2 y x ·x y ＝92
， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝1
3
时取“＝”，
所以1x ＋12y 的最小值为9
2
.
(2)因为0<x <2
3，所以0<2－3x <2，
所以y ＝1x ＋1
2－3x
＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥1
2
(4＋2 3x 2－3x ·2－3x
x
)
＝2＋3，
当且仅当3x 2－3x ＝2－3x
x ，
即x ＝1－
33∈(0，2
3
)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <2
3
)的最小值为2＋ 3.。