长沙市一中教案-高二理科数学《4.3.1空间直角坐标系》

4.3.1 空间直角坐标系（1）
教材分析：
解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．
教学要求：
使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．
教学重点：
在空间直角坐标系中，确定点的坐标
教学难点：
通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标
教学过程：
一.提出问题：
问题1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？ 问题２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？
问题３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）
二、讲授新课：
1.空间直角坐标系：
如图４.3-1(课本), ,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以O 为原点，分别以射线OA,OC,O 'D 的方向为正方向，以线段OA,OC,O 'D 的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Ｏxyz.其中点Ｏ叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为ｘＯｙ平面、ｙＯｚ平面、ｚＯｘ平面．
将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等．
2. 右手直角坐标系：
在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指指向z 轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．
３．空间直角坐标系中的点与有序数组之间的关系：
1）已知M 为空间一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ．这样空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x ，y ，z ．这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．
2）反过来，一个有序数组x ，y ，z ，我们在x 轴上取坐标为x 的点P 在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P 、Q 、R 分别作x 轴，y 轴，z 轴的垂直平面．这三个平面的交点M 即为有序数组x ，y ，z 为坐标的点．数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y ，z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
3）坐标为x ，y ，z 的点M 通常记为M （x ，y ，z ）．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M 和有序数组x ，y ，z 之间的一一对应关系
4.例题1（课本例1）：在长方体,,,,OBCD D A B C -中，,3,4, 2.OA oC OD ===写出,,,,,,D C A B 四点坐标.（建立空间直角坐标系→写出原点坐标→各点坐标）
讨论： 若以C 点为原点，以射线BC 、CO 、C 'C 方向分别为ox 、oy 、oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？
（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．）
问题4。

坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标有何特点？
x 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m ，０，０），纵坐标和竖坐标都为零．
y 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，m ，０），横坐标和竖坐标都为零．
z 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，０，m ），横坐标和纵坐标都为零．
x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，n ，０），竖坐标为零．
x Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（m ，０，n ），纵坐标为零．
y Ｏz 坐标平面内的点的特点：Ｐ（０，m ，n ），横坐标为零．
问题5。

已知两点，怎样求中点坐标？
平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设Ａ（1x ，1y ， 1z ），Ｂ（2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（211212,,222
z z x x y y +++）. 问题6。

怎样求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标？
点P （x ，y ，ｚ）关于坐标原点的对称点为1P （-x ，-y ，-z ）；
点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P （x ，-y ，-z ）；
点P （x ，y ，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P （-x ，y ，z ）；
点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P （-x ，-y ，-z ）；
点P （x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为5P （x ，y ，-z ）；
点P （x ，y ，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为6P （-x ，y ，z ；）
点P （x ，y ，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为7P （x ，-y ，z ）．
5．例题2（课本例2）
说明： 学生阅读，思考与例1的不同，教师引导学生解题的方法，图中没有坐标系，这给我们解题带来了难度，同时也给我们的思维提供了空间，如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单？一般来说，以特殊点为原点，我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同．因此解题时要慎重建立空间直角坐标系．
三、巩固练习：
1．练习：课本练习 1, 2，3.
2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．
3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标．
4. 已知点Ｂ（１，１，１），分别求出该点关于ｘ轴、ｚ轴、原点和ｘＯｙ坐标平面的对称点的坐标．
5．在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，关于点（０，2
2m +，ｍ）一定有下列结论（ ）
Ａ．在ｘＯｙ坐标平面上
Ｂ．在ｘＯｚ坐标平面上
Ｃ．在ｙＯｚ坐标平面上
Ｄ．以上都不对
四．课堂小结：
1．空间直角坐标系的建立．
2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
3．空间直角坐标系中点的位置的确定．
4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点
5．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点
五．课后作业：
习案与学案。