浙江省一级重点中学嘉兴一中06-07学年高三第一次月考数学试卷(答案)

嘉兴一中2007届高三年级第一次月考数学试卷(答案)命题时间：2006-9-27 命题人：计振明本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 满分50分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，请考生将自己的姓名、班级、学号用钢笔（或圆珠笔）填在答题卷上；2．每小题选出答案后，用钢笔（或圆珠笔）把答案填在答题卷相应位置上；不能答在试卷上； （一）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的）1． “)(B A x ∈”是“A x ∈且B x ∈”的 （ B ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 （ A ）． A ．M 中每一个元素在N 中必有象 B ．N 中每一个元素在M 中必有原象 C ．N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D ．N 是M 中所在元素的象的集合3． 函数1221-+-=x x y （ C ）． A ．是奇函数，不是偶函数 B ．是偶函数，不是奇函数 C ．既不是偶函数，也不是奇函数 D ．既是偶函数，又是奇函数4．（理科）已知z 1=2－i,z 2=1+3i ，则复数5i 21zz +的虚部为 （ A ）．A ．1B ．－1C ．iD ．－i （文科）已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ A ）． A ．15 B ．30C ．31D ．645．为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况,以某天销售的40双皮鞋为一个样本,把它按尺码分成5组,第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9．若第5组表示的是40~42码的鞋子,则售出的200双皮鞋中含40~42码的鞋子为______． （ B ）． A ．50 B ．40 C ．20 D ．306．如果函数(1)y f x =-的反函数是1(1)y f x -=-，则下列等式中正确的是 （ B ）．A ．()(1)f x f x =-B ．()(1)1f x f x --=-C ．()(1)1f x f x --=D ．()(1)f x f x =--7．函数(),0)(2≠++=a c x b ax x f 其定义域R 分成了四个单调区间，则实数c b a ,,满足 （ B ）．A ．0042>>-a ac b 且B ．02>-a b C ．042>-ac b D ．02<-ab8．已知奇函数)(x f 在)0,(-∞为减函数，且0)2(=f ，则不等式0)1()1(>--x f x 的解集为A ． {}13-<<-x x B ．{}213>-<<-x x x 或 （ D ）． C ．{}303><<-x x x 或 D ．{}3111<<<<-x x x 或9． 已知y =f (x )与y =g (x )的图象如图所示，则函数F (x )=f (x )·g (x )的图象可以是 （ A ）．10． 已知定义在R 上的函数y=f (x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的12,x x R ∈，且1202x x ≤<≤，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y=f (x+2)的图象关于y 轴对称 则下列结论中正确的是 （ A ）． A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5) B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）（二）填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m ，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数31log 2100Qv =，单位是/m s ，其中Q 表示鱼的耗氧量的单位数．则一条鱼静止时耗氧量的单位数为 100 ．12．（理科）1lim →x 54222-+-+x x x x =12．（文科）等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =210()n n N *+∈．13．（理科）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M {(2,2)}--．（文科）已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U {1,3,5}．14．若集合,),(,325),3(1)3(),(M b a y y y y x y x M ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-++-⋅+==且对M 中其它元素),(d c ，总有,a c ≥则=a 94．（三） 解答题（本大题共6小题,共84分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） (解答题见答题卷)15．记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：（Ⅰ）集合M ，N ；（Ⅱ） 集合N M ，N M解：（Ⅰ）};23|{}032|{>=>-=x x x x M}13|{}0)1)(3(|{≤≥=≥--=x x x x x x N 或（Ⅱ）};3|{≥=⋂x x N M3{|1}2M N x x x ⋂=≤>或．16．（理科）已知2:290p x x a -+<，22430:680x x q x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩且p ⌝是q ⌝的充分条件，求a 取值范围．xA ．B ．C ．D ．解:9≤a （文科）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式； 解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d ．由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1．所以2log (1)1(1)1,n a n n -=+-⨯=即21()n n a n N *=+∈17．（理科）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0．8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．分析：本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用统计知识解决实际问题的能力．求解的关键是搞清随机变量ξ的可能取值，即所得分数．其中，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分．总分不为负共包括：总分为100分，总分为300分两种情况． 解：（1）ξ的可能取值为－300，－100，100，300． P （ξ=－300）=0．23=0．008， P （ξ=－100）=3×0．22×0．8=0．096， P （ξ=100）=3×0．2×0．82=0．384， P （ξ=300）=0．83=0．512．Eξ=（－300）×0．008+（－100）×0．096+100×0．384+300×0．512=180． （2）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0．384+0．512=0．896．（文科）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，22{|0}(1)x aB x x a -=<-+． （1）当2a =时，求A B ； （2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5） （2）∵ B ＝（2a ，a 2＋1）， 当a ＜13时，A ＝（3a ＋1，2）要使B ⊆A ，必须223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝－1； 当a ＝13时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在； 当a ＞13时，A ＝（2，3a ＋1）要使B ⊆A ，必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3．综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}18．已知奇函数)(x f 在(,0)(0,)-∞+∞ 上有意义，且在（+∞,0）上是增函数，0)1(=f ，又有函数]2,0[,2c o s s i n )(2πθθθθ∈-+=m m g ，若集合}0)(|{<=θg m M ，集合}.0)]([|{<=θg f m N（1）求0)(<x f 的解集．（2）求.N M ⋂（1） )(x f 为奇函数且0)1(=f 0)1()1(=-=-∴f f 又)(x f 在（1，+∞）上是增函数 ∴)(x f 在（－∞，0）上也是增函数 故0)(<x f 的解集为}101|{<<-<x x x 或（2）由（1）知}1)(01)(|{<<-<=θθg g m N 或}1)(|{-<=⋂∴θg m N M由)(θg <－1得θθ2cos 2)cos 2(->-m即]cos 22)cos 2[(4cos 2cos 22θθθθ-+--=-->m ]2,1[cos 2]2,0[∈-∴∈θπθ22cos 22)cos 2(≥-+-∴θθ，等号成立时.22cos -=θ故4－θθcos 22)cos 2[(-+-]的最大值是.224-从而224->m ，即}.224|{->=⋂m m N M19．定义在定义域D 内的函数y =f (x ),若对任意的x 1、x 2∈D ,都有|f (x 1)－f (x 2)|＜1,则称函数y =f (x )为“Storm 函数”．已知函数f (x )=x 3－x +a (x ∈［－1,1］,a ∈R )．（1）若2a =，求过点(1,2)处的切线方程；（2）函数()f x 是否为“Storm 函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由． 分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值． 解：（1）2()31f x x '=- ，2k ∴=，∴切线方程为2y x =． （2）函数f (x )=x 3－x +a (x ∈［－1,1］,a ∈R )的导数是f ′(x )=3x 2－1,当3x 2－1=0时,即x =±33, 当x ＜33时,f ′(x )=3x 2－1＜0;当x ＞33时,f ′(x )=3x 2－1＞0, 故f (x )在x ∈［－1,1］内的极小值是a －932．同理,f (x )在x ∈［－1,1］内的极大值是a +932．∵f (1)=f (－1)=a ,∴函数f (x )=x 3－x +a (x ∈［－1,1］,a ∈R )的最大值是a +932,最小值是a －932,因为|f (x 1)－f (x 2)|＜|f max －f min |,故|f (x 1)－f (x 2)|＜|f max －f min |=934＜1．所以函数f (x )=x 3－x +a (x ∈［－1,1］,a ∈R )是“Storm 函数”．20．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（1）求0x 的值；（2）若0()1f x =，且对任意正整数n ，有11,()1()2n n n a b f f n ==+， 记1223112231,n n n n n n S a a a a a a T bb b b b b ++=+++=+++ ，比较43n S 与n T 的大小关系，并给出证明；（3）（理科做，文科不做）在（2）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+ 对任意不小于2的正整数n 都成立，求x 的取值范围． 解：（1）令120x x ==，得0(0)()2(0)f f x f =+，0()(0)f x f ∴=- ①令121,0x x ==得00()()(1)(0)f x f x f f =++(1)(0)f f ∴=- ②由①、②，得0()(1)f x f ∴= ()f x 为单调函数，01x ∴=（2）由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++ (1)()(1)1()2f n f n f f n +=++=+ ，(1)1f =()21()f n n n N *∴=-∈，121n a n ∴=-． 又1111(1)()()()(1)2222f f f f f =+=++ ．111()0,()1122f b f ∴==+=．又11111111111()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+111122()2()122n n n n b f f b ++∴=+=+=11()2n n b -∴=11111111111(1)(1)1335(21)(21)23352121221n S n n n n n =+++=-+-++-=-⨯⨯-⨯+-++0112132111[1()]1111111112124()()()()()()()()[1()]12222222223414n n n n n n T ---=+++=+++==-- 42121211(1)[1()][()]3321343421n n n n S T n n ∴-=---=-++． 11104(31)3333121n n n n n n n n n n C C C C n n --=+=++++≥+>+ 4211[()]033421n n n S T n ∴-=-<+43n n S T ∴< （3）令122()n n n F n a a a ++=+++ ．则21221111(1)()0414321n n n F n F n a a a n n n ++++-=+-=+->+++ ∴当2,n n N *≥∈时，3412()(1)(2)35F n F n F a a >->>=+=． 21122124[log (1)log (91)1]3535x x ∴>+--+，即21122log (1)log (91)2x x +--< 221091011914x x x x ⎧⎪+>⎪∴->⎨⎪+⎪>-⎩，解之，得5193x -<<-或113x <<．。