第7章 形态学图像处理(08) 数字图像处理课件

第七章 形态学图像处理
S＋x3 x
S＋x1
S＋x2
图7-6 S+x的三种可能的状态
第七章 形态学图像处理 第一种情形说明S+x与X相关最大，因而满足式(7-1)的点x的
全体构成结构元素与图像最大相关点集，这个点集称为S对X的 腐蚀(简称腐蚀，有时也称X用S腐蚀)，记为X S。
腐蚀定义
XS {x | S x X}
即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到 一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被 b平移的结果，记为A+b，或(A)b如图7-4（a-c）所示。 反射：A关于图像原点的反射结果为
Av={－ a∣a∈A}
即将A中的每个点取相反数后所得的:如果两个物体之间有细小的连通，那 么当结构元素足够大时， 通过腐蚀可以将两个物体分开。
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7.2.2 膨胀(Dilation)——最基本的一种运算
腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的子集S+x 收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩大为S+x，这就
结构元素的原点：实际上结构元素本身也是一个图像集合。对 每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运 算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不 包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。
以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区域，运 算是对值为1的区域进行的。二值形态学中两个最基本的运算— —腐蚀与膨胀。
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b a
A (a)
B
A
(b)
图7-1 元素与集合间的关系 (a) a∈A, b∈A, (b)B A, B是A的子集
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2. 交集、 并集和补集
交集：两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的 交集， 记为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。 并集：两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并 集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。 补集：对一幅图像A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称 为A的补集，记为AC，即AC={a｜a ∈ A}。 差集：A-B={x∣x ∈A且x∈B}= A∩Bc
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1.定义：对图像X及结构元素S
开运算： 闭运算：
X○S = (X S) S X●S = (X S) S
（7.13） （7.14）
•开运算是先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果； •闭运算是先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果；
•不过这一恢复不是信息无损的，即它们通常不等于原 始图像X。
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7. 3 开运算与闭运算
•膨胀可填充图像中的小孔及图像边缘处的小凹陷部分；
•腐蚀可以消除图像边缘小的成分，并将图像缩小。
•但是，膨胀和腐蚀并不互为逆运算，因此它们可以级连 结合使用。
形态学运算族：在腐蚀和膨胀两个基本运算的基础上，可 以构造出形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合 与集合操作（并、交、补等）组合成的所有运算构成。开 运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。
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7.1 数学形态学基本概念 7.2 腐蚀与膨胀 7.3 开运算与闭运算 7.4 击中击不中变换 7.5 形态学的应用 7.6灰度图像的形态学简介
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7.1数学形态学基本概念
7.1.1
•形态学（ Morphology ）：生物学的一个分支，研究 动植物的形态和结构的学科。
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2.开运算的几何解释：
由开运算的定义式，可以推得
X S {S x | S x X}
X○S是所有X与结构元素S全等的子集的并组成的。这 一几何描述说明，X○S是一个基于几何结构的滤波器。
图8-10给出了两个开运算的例子，其中图8-10（a）是结构元 素S1和S2， 图8-10（b）是用S1对X进行开运算的结果，图8-10（c） 是用S2对X进行开运算的结果。
形态学方法已成为图像应用领域工程技术人员的 必备工具。
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7.1.2 基本符号和术语 1. 元素和集合
集合：在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅 图像称为一个集合。
元素与集合间的关系：考虑所有值为1的点的集合为A， 则A与图像是一一对应的。对于一幅图像A，如果点a 在A的区域以内， 那么就说a是A的元素，记为a∈A， 否则，记作a∈A， 如图7.1（a）所示。
交集、并集和补集运算是集合最基本的运算，如7-2所示。
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A∩B A
B
A∪B
B A
AC
B A
图7-2 集合的交集、并集和补集
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3.平移和反射（应用于形态学的附加定义）
平移：设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被b平移后 的结果为
(A)b ＝A＋b＝{a＋b| a∈A}
成功的应用： •计算机文字识别、计算机显微图像分析(如定量颗粒 分析)； • 医学图像处理（例如细胞检测、自动数量描述）； • 图像编码压缩； • 工业检测(如食品检验和印刷电路自动检测)； •机器人视觉； • 汽车运动情况监测
另外，数学形态学在指纹检测、合成音乐和断层X光照像等 领域也有良好的应用前景。
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7.2.1 腐蚀(Erosion)——最基本的一种运算
对一个给定的目标图像X和一个结构元素S， 想象一 下将S在图像上移动, 在每一个当前位置x， S+x只有三 种可能的状态（见图7-6）：
(1) S+x X；
(7-1)
(2) S+x XC ；
(3) S+x∩X与S+x∩XC均不为空。
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• 形态学算子：基本运算有膨胀、腐蚀、开启和闭合。
基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算 法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分 割、特征抽取、边界检测、 图像滤波、图像增强和恢复等。作 为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰 度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。
• 数学基础和所用语言是集合论。
它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、 形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
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与图像处理的关系：数学形态学的基本思想及方法适 用于与图像处理有关的各个方面，如
• 基于击中/击不中变换的目标识别；
• 基于流域概念的图像分割；
图8-11给出了两个闭运算的例子， 其中，图8-11（a）是结构 元素S1 和S2，图8-11（b）是用S1对X进行闭运算的结果，图8-11 （c）是用S2对X进行闭运算的结果。
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y
S1 O
y
x
S1 X
X● S1
X● S2
O S2
x
X
S1
(a)
(b)
(c)
图8-11 (a) 结构元素S1和S2
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• 数学形态学的基本思想：是用具有一定形态的结构 元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分 析和识别的目的。 • 结构元素：设计的一种收集图像信息的“探针”。 结构元素通常比处理的图像简单，尺寸上也小，如圆 形、正方形、线段的集合。
观察者在图像中不断移动结构元素，便可以考察图像中各 个部分之间的关系，从而提取有用的信息进行结构分析和描述。 观察者与目标之间通过结构元素相互作用，相互作用的模式用 形态变换来表示，使用不同的结构元素和形态学算子可以获得 目标图像的大小、形状、连通性和方向等许多重要信息。
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• 用腐蚀和膨胀运算还可以实现图像的平移。如果在 自定义结构元素时选择不在原点的一个点作为结构元 素，则得到的图像形状没有任何改变， 只是位置发生 了移动。
• 结构元素S被看为卷积模板时有更加直观的概念。 尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于算术运算， 但是S关于原点的映射及连续的平移，使它滑过集合 （图像）X的过程类似于卷积过程。
第七章形态学图像处理721erosion第七章形态学图像处理图76sx的三种可能的状态第七章形态学图像处理第一种情形说明sx与x相关最大因而满足式71的点x的全体构成结构元素与图像最大相关点集这个点集称为s对x的腐蚀简称腐蚀有时也称x用s腐蚀记为x式72表明x用s腐蚀的结果是所有使s平移x后仍在x中的x的集合
y 5 4 3 2 1
0 1 2 3 4x
(a)
y 3 2 1b 0 1 2 3 4x
(b)
y 5
x 4 321 0
4
1
3
2
2
3
1
4
0 12 3 4x
y
(c)
(d)
图7-4 平移与反射
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7.2 腐蚀与膨胀
二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结 构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。
＋
(a)
(b)
(c)
图7-7 腐蚀运算示例
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实例
(a)
(b)
(c)
图8-9 用3×3 (a) 原始二值图像； (b) 3×3结构元素； (c) 腐蚀结果
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腐蚀的作用:
•消除物体边界:点腐蚀在数学形态学运算中的作用是消 除物体边界点。如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将 使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结 构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，这样选取不同大小 的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。
• 基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像编码压缩；
• 基于测地距离的图像重建；
• 基于形态学滤波器的颗粒分析等。
迄今为止， 还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚实的理论基础， 有简洁、 朴素、 统一的基本思想，又有如此广泛的实用价值。有人称数学 形态学在理论上是严谨的，在基本观念上却是简单和优美的。
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是膨胀运算，记为X S。若用集合语言
膨胀定义
X S = {x| S+x ∩ X≠ } （7-4）
与式（7-4）等价的膨胀运算定义形式还有：
（1） X S = ∩{X+s| s∈S}
（7-5）
（2） X S = ∩{S+x| x∈X}
（7-6）
式（7-4）和式（7-5）在算法设计中更有用些， 而式（7-6）便 于刻画算法的几何特性。
• 而X－X○S给出的是图像的凸出特征。
•可见，不同的结构元素的选择导致了不同的分割， 即提取出不同的特征。
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3.闭运算的几何解释：
由腐蚀和膨胀的对偶性，可知开、闭变换也是一对对偶变换，
(XC○S)C =X●S；
(XC●S)C = X○S
（7.19）
因此，闭运算的几何意义可以由补集的开运算的几何意义导出。
(b) X●S1； (c) X●S2
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闭运算的效果： • 闭运算通过填充图像的凹角来平滑图像； • 而X●S－X给出的是图像的凹入特征。 • 开启和闭合不受原点是否在结构元素之中的影响。
例9.3：形态学开运算与闭运算举例。冈p429
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图8-12 开、 (a) 原图像； (b) 结构元素S； (c) 结构元素S腐蚀图像X； (d) 结构元素S腐蚀X的结果； (e) 对腐蚀的结构再膨胀； (f) 再膨胀（开运算）的结果X○S； (g) 结构元素S膨胀X；
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例7-2 膨胀运算图解。
£«
(a)
图像
(b)
结构元素
(c)
膨胀结果
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膨胀的作用:
•将裂缝连接起来:如果两个物体之间有裂缝，那么当结 构元素足够大时， 通过膨胀运算可以将两个物体连接起 来。
•例9.1 将裂缝桥接起来的形态学膨胀的应用。（冈p425）
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y
S1
O
x
y
X
X○ S1 X○ S2
O S2
x
(a)
(b)
X (c)
图8-10 (a) 结构元素S1和S2
(b) X○S1
(c) X○S2
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开运算的效果：
•当使用圆盘结构元素时， 开运算对边界进行了平 滑，去掉了凸角；当使用线段结构元素时，沿线段 方向宽度较大的部分才能够被保留下来，而较小的 凸部将被剔除。
•数学形态学(Mathematical Morphology)：作为工具从 图像中提取对于表达和描绘区域形状有用处的图像分 量，比如边界、骨架等等。
诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra) 和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采 价值的研究中提出“击中/击不中变换”， 并在理论层面上第一 次引入了形态学的表达式。
（7-2）
式(7-2)表明，X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的 集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S 的原点位置的集合。
第七章 形态学图像处理
例7-1 腐蚀运算图解。图(a)中的阴影部分为集合X， 图 (b)中
的阴影部分为结构元素S，“＋”代表参考点。 而图(c)中黑色部 分给出了X S 的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小 了。不能容纳结构元素的部分都被腐蚀掉了。