2020年上海市高考数学模拟试卷(7)

2020年上海市高考数学模拟试卷（7）
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）已知集合A ＝{x |x ﹣1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝ ． 2．（4分）若复数z =3−i
1+i （i 为虚数单位），则|z |＝ ．
3．（4分）若直线l 的方程为：x −√3y +3＝0，则其倾斜角为 ，直线l 在y 轴上的截距为 ．
4．（4分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2（n ∈N *），S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 10＝12，则S 10＝ ．
5．（4分）已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 6．（4分）如果（√x −
1x 2）n
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 ． 7．（5分）若实数x ，y 满足{x −y +1≥0
x +2y −2≤0x −2y −2≤0
，则z ＝3x +2y 的最大值为 ．
8．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−1
2
，1
3
，1
2
，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝
x k 为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．
9．（5分）无穷等比数列{a n }的通项公式a n ＝（sin x ）n ，前n 项的和为S n ，若lim n→∞
S n =1，x ∈
（0，π）则x ＝ 10．（5分）已知函数f(x)={2x −1，x ≥0
−(12
)x
+1，x ＜0，若f （a 2）＞f （2a +3），则实数a 的取值范围是 ．
11．（5分）已知单位向量e →
，平面向量a →
，b →
满足|a →
|=2，|b →
|=4，a →⋅b →
−e →
⋅(a →
+b →
)+1=0，则|a →
−b →
|取值范围为 ．
12．（5分）已知函数f(x)={x 2−4，x ≤a e x
−1，x ＞a ，若函数g （x ）＝f [f （x ）]在R 上有三个不同
的零点，则实数a 的取值范围是 ． 二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知直线a ∥平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（5分）已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）
A．26B．27C．28D．29
15．（5分）抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其周长为（）
A．√2B．2C．3√2D．6
16．（5分）设f（x）＝|sinπx|+（x﹣a）2，已知m，n是实数，那么对于某个正整数a，关于x的方程f2（x）+mf（x）+n＝0的解不可能等于（）
A．{1}B．{1，2018}
C．{1，2，2818，2019}D．{1，2018，2019}
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M 为A1B1的中点．N为BB1上一点．
（1）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（2）若CN⊥BM，求三棱锥C﹣ABN的体积．
18．（14分）已知函数f（x）=√3sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，f（C）＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值．
19．（14分）为了美化校园，要对校园内某一区域作如下设计，如图，已知AB ＝1000m ，BC ＝1000m ，∠ABC =2
3π，在边BC 上选一点P ，沿着AP 和CP 重新栽种花木，图中阴影部分铺上草坪AP 段极种花木贵用是每米3a 元，CP 段裁种花木费用是每米2a 元，其中a 是正常数设∠P AB ＝θ．
（1）求栽种花木费用y 关于θ的函数表达式； （2）求sin θ的值，使得栽种花木费用y 最小．
20．（16分）设椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，
右焦点为F （c ，0），已知|A 2F |＝1． （1）证明：b 2﹣2c ＝1．
（2）已知直线BF 的倾斜角为120°，设P 为椭圆C 上不同于A 1，A 2的一点，O 为坐标原点，线段OA 2的垂直平分线交A 2P 于M 点，过M 且垂直于A 2M 的直线交y 轴于Q 点，若FP ⊥FQ ，求直线A 2P 的方程．
21．（18分）（1）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1+a n ＝n ，求{a n }通项公式； （2）若数列{b n }满足b 1＝2，b n +1=n
b n
，求{b n }通项公式．
2020年上海市高考数学模拟试卷（7）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）已知集合A ＝{x |x ﹣1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝ {1，2} ． 【解答】解：∵A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故答案为：{1，2}． 2．（4分）若复数z =
3−i
1+i
（i 为虚数单位），则|z |＝ √5 ． 【解答】解：复数z =3−i
1+i （i 为虚数单位），
则|z |=|3−i||1+i|=√2
2
√1+1
=√5．
故答案为：√5．
3．（4分）若直线l 的方程为：x −√3y +3＝0，则其倾斜角为 π6
，直线l 在y 轴上的截距
为 √3 ．
【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=√3
3
，
又0≤θ＜π，∴θ=π6
． ∴其倾斜角为π
6；
由直线l 的方程为：x −√3y +3＝0，令x ＝0，解得y =√3． ∴直线l 在y 轴上的截距为√3． 故答案为：π
6；√3．
4．（4分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2（n ∈N *），S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 10＝12，则S 10＝ 30 ．
【解答】解：数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2（n ∈N *），可得数列{a n }为等差数列，公差为d ＝2，
∵a 10＝12，∴a 1+18＝12，解得a 1＝﹣6， 则S 10＝﹣60+45×2＝30． 故答案为：30．
5．（4分）已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 3
【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，截去小棱锥的高为h ，底面半径为r ， 则
r R
=ℎ
6
，
13πR 2⋅6=8，13
πr 2⋅ℎ=1，
∴
ℎr 26R =（ℎ
6
）3=1
8，
∴h ＝3． 故答案为：3．
6．（4分）如果（√x −1x 2
）n
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 5 ． 【解答】解：T r +1=∁n r (√x)n−r
(−12)r =（﹣1）r ∁n r
x n−5r
2．
令
n−5r 2
=0，可得n ＝5r ．
∵（√x −
1x 2
）n
的展开式中含有常数项，∴正整数n 的最小值是5． 故答案为：5．
7．（5分）若实数x ，y 满足{x −y +1≥0
x +2y −2≤0x −2y −2≤0，则z ＝3x +2y 的最大值为 6 ．
【解答】解：由实数x ，y 满足{x −y +1≥0
x +2y −2≤0x −2y −2≤0作出可行域如图，
联立{x +2y −2=0x −2y −2=0，解得B （2，0），
化目标函数z ＝3x +2y 为y =−32x +z
2，
由图可知，当直线y =−32x +z
2过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为z ＝3×2+2×0＝6．
故答案为：6
8．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−1
2，1
3
，1
2
，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝
x k 为偶函数的概率为
14
（结果用数值表示）．
【解答】解：集合A ＝{﹣2，﹣1，−1
2
，13
，12
，1，2，3}，任取k ∈A ， 基本事件总数n ＝8，
幂函数f （x ）＝x k 为偶函数包含的基本事件个数m ＝2， ∴幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为P =m n =28=14
． 故答案为：1
4．
9．（5分）无穷等比数列{a n }的通项公式a n ＝（sin x ）n ，前n 项的和为S n ，若lim n→∞
S n =1，x ∈
（0，π）则x ＝
π6
或
5π6
【解答】解：无穷等比数列{a n }的通项公式a n ＝（sin x ）n ， 可得首项为sin x ，公比为sin x ，且|sin x |＜1， 即有lim n→∞S n =sinx
1−sinx =1，
可得sin x =1
2
， 由x ∈（0，π）， 则x =π
6或
5π6，
故答案为：π
6
或
5π6
．
10．（5分）已知函数f(x)={
2x −1，x ≥0
−(1)x
+1，x ＜0
，若f （a 2）＞f （2a +3），则实数a 的取值范
围是 {a |a ＜﹣1或a ＞3} ．
【解答】解：∵y ＝2x ﹣1在[0，+∞）上是增函数，y =−(1
2)x +1在（﹣∞，0）上是增函数，且20−1=−(1
2
)0+1， ∴f （x ）在R 上是增函数，
∴由f （a 2）＞f （2a +3）得，a 2＞2a +3，解得a ＜﹣1或a ＞3， ∴a 的取值范围是{a |a ＜﹣1或a ＞3}． 故答案为：{a |a ＜﹣1或a ＞3}．
11．（5分）已知单位向量e →
，平面向量a →
，b →
满足|a →
|=2，|b →
|=4，a →⋅b →
−e →
⋅(a →
+b →
)+1=0，则|a →
−b →
|取值范围为 [√19−1，√19+1] ．
【解答】解：由a →
⋅b →
−e →(a →
+b →
)+1=0可得（a →
−e →
）•
（b →
−e →
）＝0，如图所示：
则|OE |≥|OD ﹣DE |＝|OD −AB 2|＝||a →+b →2|﹣|a →−b →
2
||，即﹣1≤|OD |﹣|AD |≤1， 又因为|OD |2+|OA |2=
(a →+b →)2
4+(a →−b →)2
4=a →2+b
→
2
2
=10， 则问题转化为x 2+y 2＝10且|x ﹣y |≤1，求x 的范围， 如图所示：
易求得x A =
√19−1
2
，x C =
√19+1
2
，
所以AD ∈[√19−12，√19+12
]，即|a →
−b →|取值范围为[√19−1，√19+1]，
故答案为：[√19−1，√19+1]．
12．（5分）已知函数f(x)={x 2−4，x ≤a
e x −1，x ＞a ，若函数g （x ）＝
f [f （x ）]在R 上有三个不同
的零点，则实数a 的取值范围是 [−√2，0)∪[2，√6) ． 【解答】解：令f （x ）＝t ，则g （x ）＝f （t ）． ∵g （x ）＝f [f （x ）]在R 上要有三个零点， ∴g （x ）＝f （t ）＝0必有两解， ∴a ＜0或a ≥2．
当a ＜0时，f （x ）的大致图象如图所示， y ＝f （t ）必有两个零点t 1＝﹣2，t 2＝0． ∵f （x ）＝t 2有两个解，
∴f （x ）＝t 1有一个解，a 2﹣4≤﹣2，−√2≤a ＜0． 同理当a ≥2时，需满足a 2﹣4＜2，a ＜√6， ∴2≤a ＜√6．
综上a ∈[−√2，0）∪[2，√6]， 故答案为：[−√2，0）∪[2，√6]．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知直线a ∥平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线a ∥平面α，平面α⊥平面β，此时直线a 与平面β可能平行，所以充分性不成立；
若直线a ∥平面α，直线a ⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立， 故选：B ．
14．（5分）已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）
A．26B．27C．28D．29
【解答】解：样本间隔为48÷4＝12，
则3+12＝15，15+12＝27，即另外一个学生编号是27，
故选：B．
15．（5分）抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其周长为（）
A．√2B．2C．3√2D．6
【解答】解：如图所示：
∵△FPM为等边三角形，∴PM垂直于抛物线C的准线于M，且∠MFO＝60°，
∴|PM|＝4|OF|，又∵|OF|=1 2，
∴|PM|＝2，
所以△FPM的周长为3×2＝6，
故选：D．
16．（5分）设f（x）＝|sinπx|+（x﹣a）2，已知m，n是实数，那么对于某个正整数a，关于x的方程f2（x）+mf（x）+n＝0的解不可能等于（）
A．{1}B．{1，2018}
C．{1，2，2818，2019}D．{1，2018，2019}
【解答】解：∵f（x）＝|sinπx|+（x﹣a）2，
∴函数f（x）关于直线x＝a对称，则方程的解也有对称性，其中选项D不存在对称性，故选：D．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M
为A 1B 1的中点．N 为BB 1上一点．
（1）求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值； （2）若CN ⊥BM ，求三棱锥C ﹣ABN 的体积．
【解答】解：（1）以C 为原点建系，CA ，CB ，CC 1为x ，y ，z 轴， 则C （0，0，0），B （0，1，0），A 1（1，0，2），B 1（0，1，2）． BA 1→
=(1，−1，2)，CB 1→
=(0，1，2)， cos ＜BA 1→
，CB 1→
＞=
BA 1→⋅CB 1→
|BA 1→
|⋅|CB 1→
|
=
3
√6×√5
=√3010，
故异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值是
√30
10． （2）设BN ＝a ，则N （0，1，a ），M(12
，12
，2)， CN →
=(0，1，a)，BM →
=(12，−1
2，2)，
∵CN ⊥BM ，∴CN →
⋅BM →
=0，即−1
2+2a =0，解得a =14
． 故BN =1
4．
∴三棱锥C ﹣ABN 的体积V C−ABN =V N−ABC =1
3⋅S △ABC ⋅BN =1
3×1
2×1×1×1
4=1
24．
18．（14分）已知函数f（x）=√3sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，f（C）＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=√3sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=√3sin2x﹣cos2x﹣2＝2sin（2x−π6）
﹣2，
∵ω＝2，﹣1≤sin（2x−π
6）≤1，
∴f（x）的最小正周期T＝π；最小值为﹣4；
（Ⅱ）∵f（C）＝2sin（2C−π
6）﹣2＝0，
∴sin（2C−π
6）＝1，
∵C∈（0，π），∴2C−π
6
∈（−π6，
11π
6
），
∴2C−π
6
=π2，即C=π3，
将sin B＝2sin A，利用正弦定理化简得：b＝2a，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，
把c=√3代入得：a＝1，b＝2．
19．（14分）为了美化校园，要对校园内某一区域作如下设计，如图，已知AB＝1000m，
BC＝1000m，∠ABC=2
3
π，在边BC上选一点P，沿着AP和CP重新栽种花木，图中阴
影部分铺上草坪AP段极种花木贵用是每米3a元，CP段裁种花木费用是每米2a元，其
中a 是正常数设∠P AB ＝θ．
（1）求栽种花木费用y 关于θ的函数表达式； （2）求sin θ的值，使得栽种花木费用y 最小．
【解答】解：（1）在△P AB 中，∵∠PBA =23π，∠P AB ＝θ（0＜θ＜π
6）， ∴∠APB =
π
3
−θ， AB ＝1000m ，由正弦定理得：1000
sin(π
3
−θ)
=
PA sin 23
π
，
PB sinθ
=
1000sin(π3
−θ)
，
∴P A =
500√3sin(π
3−θ)，PB =1000sinθ
sin(π3
−θ)． ∴栽种花木费用y 关于θ的函数表达式y =1500√3a sin(π
3−θ)+(1000−1000sinθ
sin(π3−θ)
)×2a =2000a +
1500√3a−2000a⋅sinθ
sin(π3
−θ)；
（2）y =2000a +1500√3a−2000a⋅sinθsin(π3−θ)=2000a +500a ⋅3√3−4sinθ
sin(π
3
−θ)， 令z =
3√3−4sinθ
sin(π3
−θ)，
则z ′=−4cosθsin(π3−θ)+(3√3−4sinθ)cos(π3−θ)sin 2(π3−θ)=3√3cos(π3−θ)−2√3sin 2(π3
−θ)． 由z ′＝0，得cos （π
3
−θ）=2
3．
∵0＜θ＜π
6，∴π3
−θ∈（π6
，π3
），则cos （π3
−θ）∈（1
2
，
√3
2
）， 则当cos （π
3
−θ）=2
3
时，z 有最小值，即y 有最小值，
此时sin θ=sin[(θ−π3)+π3]=sin （θ−π3）cos π3+cos （θ−π
3）sin π3
=−√53×12+23×√3
2=
2√3−√5
6
．
20．（16分）设椭圆C ：
x 2a +
y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，上顶点为B ，
右焦点为F （c ，0），已知|A 2F |＝1． （1）证明：b 2﹣2c ＝1．
（2）已知直线BF 的倾斜角为120°，设P 为椭圆C 上不同于A 1，A 2的一点，O 为坐标原点，线段OA 2的垂直平分线交A 2P 于M 点，过M 且垂直于A 2M 的直线交y 轴于Q 点，若FP ⊥FQ ，求直线A 2P 的方程．
【解答】解：（1）证明：因为|A 2F |＝1，所以a ﹣c ＝1，即a ＝c +1，两边平方得：a 2＝c 2+2c +1，而a 2＝b 2+c 2， ∴b 2﹣2c ＝1；
（2）因为直线BF 的倾斜角为120°，所以b
c =
√3，∴b =√3c ，又由（1）得：3c 2﹣2c
﹣1＝0，c ＞0，
解得：c ＝1，b =√3，a 2
＝4，所以椭圆的方程为：x 24
+y 23
=1；所以可得：A 1（﹣2，0），
A 2（2，0），
F （1，0），设P 的坐标（m ，n ），设直线A 2P ：y ＝k （x ﹣2），线段OA 2的中垂线为x ＝1， 所以由题意得M （1，﹣k ），k MQ =−1
k ，直线MQ 的方程：y +k =−1
k （x ﹣1），令x ＝0得点Q 坐标（0，1
k −k ），
联立直线A 2P 与椭圆的方程{y =k(x −2)x 24
+y 23
=1
，整理得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0，
∴2m =16k 2
−123+4k 2
，
即m =
8k 2
−63+4k
2，
n ＝k （m ﹣2）=−123+4k
2，
所以点P （8k 2−63+4k
，−123+4k
2）
，∴k FP =−12k
3+4k 28k 2−6
3+4k
2−1=
−
12k 4k 2
−9
，k FQ =1
k
−k −1=k −1
k ，
因为FP ⊥FQ ，∴（−
12k 4k 2
−9
）⋅(k −1k )=−1，解得：k =±√6
4， 所以直线A 2P 的方程为：y =±√6
4（x ﹣2）．
21．（18分）（1）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1+a n ＝n ，求{a n }通项公式； （2）若数列{b n }满足b 1＝2，b n +1=
n
b n
，求{b n }通项公式． 【解答】解：（1）数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1+a n ＝n ①， ∴a n +a n ﹣1＝n ﹣1（n ≥2）②， ①﹣②得：a n +1﹣a n ﹣1＝1（n ≥2）， 又a 1+a 2＝1，故a 2＝0，
∴奇数项与偶数项均构成以1为公差的等差数列， ∴a 2n ﹣1＝n ，a 2n ＝n ﹣1（k ∈N *）， ∴当n （k ∈N *）为奇数时，a n =
n+12；当n （k ∈N *）为偶数时，a n =n
2
−1； 即a n ={n+1
2，n 为奇数
n 2
−1，n 为偶数；
（2）数列{b n }满足b 1＝2，b n +1=n
b n
，
∴b n +1b n ＝n ③，
∴b 2=1
2，b n +2b n +1＝n +1④，
④③
得：
b n+2b n
=
n+1n
，
当n （k ∈N *）为奇数时， b n =
b n b n−2•b n−2b n−4•…•b 3b 1•b 1=n−1n−2•n−3
n−4•…•21•2＝2•(n−1)!!(n−2)!!
； 当n （k ∈N *）为偶数时，b n =b n
b n−2
•
b n−2b n−4
•…•
b 4b 2
•b 2=n−1n−2•
n−3
n−4•…•32•12=12•(n−1)!!(n−2)!!
； ∴b n ={2⋅(n−1)!!
(n−2)!!，n 为奇数12⋅(n−1)!!(n−2)!!，n 为偶数。