苏教版中考复习：《二次函数的图象与性质》课件

例11.已知,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0). ⑴求该二次函数的关系
式.
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使
平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的
坐标.
解: ⑴设二次函数关系式为
y=a(x-1)2-4∵二次函数图象 过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1. ∴二次函数关系式为y=(x-1)2-4 即y=x2-2x-3.
y
0
-1
3x
⑵ 令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. ∴图象与x (-1,0) ∴二次函数图象向右平
轴的两个交点坐标分别为(3,0) 移1个单位长度后经过坐标
原
点，平移后所得图象与x轴的y
另一个交点坐标为(4,0).
0 -1
34 x
点评:这是一个平移的变形题,求出已知抛物线与x轴的交点坐标,再将其中在原点 左侧的交点平移到原点即可.这样的题目最好的解决办法是画出草图,利用图象解 决,既快有准.
y=2x2-4x+5=2(x2-2x&1,3),对称轴是直线x=1.
点评:配方法是解二次函数问题中常用的 思想方法,利用配方法可将二次函数的一 般式化为顶点式, 从而为进一步利用二次 函数的性质解题奠定基础.
例5.(x1,y1)、(x2,y2)是抛物线y=2x2-4x-1上的 两点,且x2＜x1＜0,那么,y1、y2的大小关系是 y1 ＜ y2.
⑵ y=-x2+4x-3=-(x2-4x+4-4)-3=-(x-2)2+1 抛物线顶点为(2,1),对称轴为直线x=2,∴当 -1≤x≤0时,y随x的增大而增大. y
∴当x=-1时,y最小=-(-1-2)2+1=-8 , -1 0 当x=0时, y最大=-(0-2)2+1=-3.
2 x
? ?? 思考:当-1≤x≤4时,求二 y
例6.已知二次函数y=-x2+4x-3 ⑴求二次函数图象与坐标轴的交点坐标. ⑵当-1≤x≤0时,求二次函数y=-x2+4x-3的最大 值和最小值.
解:⑴令x=0,得y=-3;令y=0由-x2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3,即函数图象与y轴交于点(0,-3),与x 轴交于点(1,0),(3,0).
3
y 1 x2 8 x 7 3 33
请同学们比较哪一种方法更简捷？
误点剖析：不能根据题目中的条件灵活选择 二次函数关系式的形式,导致计算繁琐而出现 错误. 点评:用待定系数法求抛物线关系式时,若已 知条件是图象上的三个点宜采用一般式;
若题目提供的条件含有顶点或对称轴或最大 (小)值时,宜采用顶点式; 若题目提供的条件和x轴的交点有关时,宜采 用两根式.
次函数y=-x2+4x-3的最大-1 0 2
值和最小值.
x
(甲生)解:当x=-1时y=-8 ∴y最小=-8, 当x=4时y=-3∴y最大=-3 错误
(当乙x生=4)时解y:由=-于3,当x=x2=在-1-时1≤yx=≤-48的∴范y最围求 注小内=意最-,8什值∴.y么时最正,?大确应=1 而
误点剖析:确定二次函数的最值时,容易忽
例10.已知函数y=2x2的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位长度,那么在新坐标下抛物线的关系式是 ( )
A. y=2(x-2)2+2 B. y=2(x+2)2-2
C. y=2(x-2)2-2 D. y=2(x+2)2+2
B
y
x 0
y 0
x 0
解抛物线的平移问题时应该注意什么？ 1、注意平移的规律：左加右减，上加下减. 2、若对称轴移动，实际上可以看作对称轴不动而抛物线向相反方向移动.
()
y
0
x
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，有下列结论：(1) a+b+c<0；(2)a－ b+c>0；(3)abc>0；(4)b=2a 其中正确的结论有 ( )
y
0
x
向下
( -k , h )
直线x=-k 当x<-k时，y随x的 增大而增大 当x>-k时，y随x的 增大而减小
x=-k时，y最大=h
3.二次函数的图象和性质
y=ax2+bx+c (a≠0)
配方 y a(x b )2 4ac b2 (a 0)
2a
4a
对称轴：直线 x b
2a
顶点坐标：
误点剖析:本题的易错点是没有检验而直接得 出m=±2.
点评:判断一个函数是否是二次函数,应根据 以下三条: 1.函数关系式是整式;
2.化简后自变量的最高次数是2; 3.二次项的系数不为零.
1.下列函数中,是二次函数的是( )
A. y 3x 1 y x2 (x 1)2 C.
B. y x2 1 2 x
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
3.二次函数的图象和性质 y=ax2±c (c>0) “上加下减”
y=ax2
y=a(x±k)2 (k>0) “左加右减”
1. 二次函数的概念
例1.下列函数是二次函数的是 ( )
A. y=(x-3)2-x2 B.
y C. 2x2D. 3
y3 x
y
1 x2
1
分析:C是反比例函数, D中含有分式,而A化简
3.将函数y=-x2-2x化为y=a(x-h) 2+k的形式为
.
4.抛物线y=x2 +kx+k－1，若它经过原点，则k=____； 若它的顶点在y轴上，则k=___.
5.抛物线y=x2-bx+2的顶点在x轴的负半轴上，则 b=____.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x轴分别交于
(－l，0)、(5，0)两点,当自变量x=1时,函数值为y1 ; 当x=3时,函数值为y2 .则下列结论正确的是 ( )
D. y 2t 2 t 1
2. 已知函数 y＝(m-3) x m2-3m+2是二次函数，
则 m 等于
.
2.用待定系数法求二次函数的关系式
例3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=4时取 得最小值-3,且它的图象与x轴一个交点的横坐 标为1，求此二次函数的关系式. 分析:因为二次函数当x=4时取得最小值-3,所 以图象的顶点顶为点(坐4,标-3是),什对么称?轴为直线x=4，开 口称向性上知，另图一象交对x轴与点称的为x轴轴另(是一7一,什个0交)么交.点?点呢图为象 ? (与1,0),根据对
x=1
分析:在对称轴的左侧,y随x的增大而减小, 条件x2＜x1＜0,显然,点(x1,y1)(x2,y2)在对称 轴的左侧,所以容易判断y1与y2的大小.
误点剖析:1.不能正确判断点在对称轴的哪一侧. 2.没有理解函数的增减性与判断大小的联系.
点评:判断两函数值大小的方法： 1.根据对称轴和开口方向判断函数的增减性; 2.判断两个函数值对应点的位置.
1.函数y=3(x－2)2－4的图象可由函数y=3x2的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿 y轴向 平移 个单位得到.
2.将抛物线y= x2向___平移___个单位，再向___平移___个单位，就可得y= x2 －4x-4.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则 A.a>0,b>0 B.b>0,c>0 C.a>0,c>0 D.a,b,c都小于0
解一:设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵图象经过点(4,-3)、(1,0)和(7,0)
∴ 16a+4b+c=-3
易得：
y
1
x2
8
x
7
a+b+c=0
3 33
49a+7b+c=0
解二：∵抛物线的顶点为(4,-3)∴设其关系式为y= a(x-4)2-3.∵抛物线与x轴一个交点
为(1,0),∴0=9a-3
3.二次函数的图象及性质
例4.求抛物线y=2x2-4x+5的对称轴和顶点坐标.
解:利用公式法:a=2,b=-4,c=5
你还有其他方
∴ b 4 1, 4ac b2 4 2 5 (4)2 3 法吗?
2a 2 2
4a
42
∴顶点坐标是(1,3),对称轴是直线x=1.
解法2:将一般式化为顶点式.
你有何
收获-1 ?O 1 x
点评:此题是图象题,不仅考查了a、b、c的含义,还结合图象上特殊点 提供的信息判断代数式的符号,充分体现了数形结合的思想.
例9在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b 和二次函数 y ax2 bx 的图象可能为 ( D )
y y
y
y
0x
0x
0
x0
x
A
B
C
D
解该类题目时,一般分别根据图象求出两关系式中系数的符号,然后看是 否一致.
二次函数的图象与性质
学习目标 知识回顾 典型例题和及时反馈
1.明确二次函数的定义,善于辨析二次函数与 其它函数的区别.
2.会用配方法和公式法求出二次函数图象 的顶点坐标、对称轴和二次函数的最大值 或最小值.
3.会根据二次函数关系式中字母系数来确 定抛物线顶点的位置、对称轴的位置等， 根据抛物线的位置和形状确定字母系数的 值或取值范围. 4.会用待定系数法求二次函数的关系式.
1.已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2),且过点(1,10),求此抛 物线的关系式.
2.已知抛物线过点(0,-2),(1,0),(2,3),求此抛物线的关系 式.
3.已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8), 求此抛物线的关系式.
4.请写出一个二次函数关系式,使其图象与y轴的交 点坐标为(0, 2),且图象的对称轴在y轴的右侧.
b2-4ac的符号：
a＜0、b＞0、c＜0、b2-4ac＜0.
a＜0、b＜0、c＜0、b2-4ac ＞0.
y
通过学习，你知道如何结合图象判断 a,b,c及b2-4ac的符号吗？
o
x
点评:结合草图判断a、b、c、b2-4ac符号的依据分别是: 1. a决定抛物线的开口方向及大小. 2. a,b决定对称轴的位置. 3. c决定抛物线与y轴交点的位置. 4. b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数.
例8.如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各
式的符号：abc ＜ 0 、 2a－b= 0
a+b+c＞ 0 、 a－b+c＜ 0
y
分析:同例7容易得出abc＜0,由于对称轴为x=-1,可以 判断2a-b=0;
当x=1时，y＞0，所以a+b+c＞0. 当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0.
视自变量的取值范围即端点的位置从而导
致错误.
1.抛物线y=(x－4)2的开口方向 ,对称轴是
，顶点坐标为
;在对称轴
左侧，即x 时，y随x增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随x增大
而 ;当x= 时，y有最 值为 .
2.抛物线y=x2－2x－3的开口______，顶点坐标为________，对称轴为直线 ________，与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为_______，
1.二次函数的定义
一般地，形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是 常数，且a≠0）的函数称为二次函数，其 中x是自变量，y是x的函数.
2.二次函数的关系式
关系式
使用范围
一般式 顶点式 两根式
y=ax2+bx+c (a≠0)
已知任意三个点
y=a(x+k)2+h (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)
∴a=
∴
即
1
y 1 (x 4)2 3 y 1 x2 8 x 7
3
3
3 33
解三：∵抛物线与x轴的两个交点为(1,0)、(7,0)
∴设二次函数关系式为y=a(x-1)(x-7).
又∵抛物线经过点(4,-3),∴-3=a(4-1)(4-7) ∴a=
∴二次函数关系式为
即
1
y 1 (x 1)(x 7) 3
(a≠0)
已知顶点(-k,h)
及另一个点
已知与x轴的两个交点 及另一个点
ｙ=a(x+k)2+h
a≠0
图象（草图）
a>0
y
0 x
开口方向 顶点坐标 对称轴
增减性
最值
向上
( -k , h )
直线x=-k 当x<-k时，y随x的 增大而减小 当x>-k时，y随x的 增大而增大
x=-k时，y最小=h
a<0
A.y1＞ y2 C.y1＜ y2
B.y1＝ y2 D.不能确定
. 例7 抛物线y=ax2+bx+c如图1所示，试确定a、b、c、
b2-4ac的符号： y
a＞0、 b＜0、c＞0、 b2-4ac ＞0.
a＞0、 b ＞ 0、c=0、 b2-4ac ＞0.
o
x
. 例7 抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、
后是一次函数,有因的而同根学据选二次函数的定义可以 判断B正确. A，你认为 误点剖析:本题的正易确错吗点？是将A作为二次函数，
注意必须先化简,然后根据定义做出判断.
例2.已知函数y＝(m＋2)x|m|是二次函数，则 m 等于 2 分析:根据二次函数的定义,只要满足|m|=2且 m＋2≠0就是二次函数.