大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案

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第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案
1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。

用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。

忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。

试证
明：R
r =21
s s。

证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以
半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为
R R V 02
1
1π4e p s =0
14e s R =
半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为
r r V 02
22π4e p s =0
24e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以
R
r
=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3
s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得
S S d E S
D +==×ò)(10320
s s e
故
+2
s 0
3=s
上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即电平面产生的场强叠加而成的，即
0222204030201=
---e s e s e s e s
又
+2
s 03=s 故 1s 4s =
3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。

，试求：金属球上的感应电荷的电量。

解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q ¢，金属球接地时电势0=V
由电势叠加原理，球心电势为由电势叠加原理，球心电势为
=
O V R
q
dq
R 3π4π41
00e e +
ò
03π4π400=+¢=R
q R q e e
故
-=¢q 3
q
4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。

（1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ；
（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。

解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。

）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。

半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为的均匀带电球面产生的电势分布为
ïïîïïíì
>£=)( 4)( 400
R r r
q R r R q
V pe pe
导体球外表面均匀带电q ；导体球壳内表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠
加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。

的代数和。

导体球是等势体，其上任一点电势为导体球是等势体，其上任一点电势为
)(
413
210
1R Q
q R q R q V ++-=
pe
球壳是等势体，其上任一点电势为球壳是等势体，其上任一点电势为
+=
r q
V 024pe r q 04pe -304R Q q pe ++3
04R Q q pe += （2）球壳接地0π43
02
=+=R Q q V e ，表明球壳外表面电荷Q q +入地，入地，球壳外表面不带电，球壳外表面不带电，球壳外表面不带电，导体导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以球外表面、球壳内表面电量不变，所以
)11(42
101
R R q V -=
pe
（3）导体球接地01=
V ，设导体球表面的感应电荷为q ¢，则球壳内表面均匀带电q ¢-、外表面均匀带电Q q +¢，所以，所以
0)(41
32
101=+¢+
¢-¢=R Q q R q R q V pe 解得解得 21313221R R R R R R Q
R R q +--=¢
3024R Q q V pe +¢=)
(4)(213132012R R R R R R Q R R +--=
pe 5. 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电的同心薄金属球壳，现给内球壳带电++q ，试求：，试求：
(1) (2) (3) 解：解：(1)(1)(1)内球壳外表面带电内球壳外表面带电q +；外球壳内表面带电为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，外球壳上电势为球壳上电势为
òò
¥
¥
=
=×=
2
2
202
0π4π4d R
R R q
dr r
q
r E
V e e
(2)(2)外球壳接地时，外表面电荷外球壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -。

所以球壳电势由内球q +与外球壳内表面q -产生，其电势为产生，其电势为
0π4π42
020=-=R q
R q V e e
(3)(3)如图所示，设此时内球壳带电量为如图所示，设此时内球壳带电量为q ¢
；则外壳内表面带电量为q ¢
-，外壳外表面带电量为
+-q q ¢ (
电荷守恒电荷守恒电荷守恒))，此时内球壳电势为零，且，此时内球壳电势为零，且 0π4'π4'π4'2
02010=+-+-=R q q R q R q V A e e e 得 q R R
q 2
1=¢ 外球壳的电势为外球壳的电势为
()2
2
021202020π4π4'
π4'
π4'
R q R R R q q R q R q V B e e e e -=
+-+
-
=
6. 设一半径为R 的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为r ，球体内的介
电常数为1e ，球体外充满介电常数为2
e 的各向同性均匀电介质。

求球内外任一点的场强大小和电势
(设无穷远处为电势零点)。

解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由介质中的高斯定理得为半径作同心球面为高斯面。

由介质中的高斯定理得
=×òS S d D i q r D S =×24p
当R r <时，334
r q i p r ×=S ，所以，所以
3r D r =，1113e r e r
D E =
= 当R r >时，3
3
4R q i p r ×=S ，所以，所以
233r R D r =，2
23
223r R D E e r e ==
球内（R r £）电势为）电势为
ò¥×=r
r d E V
1dr r R r ò=
13e r dr r R R ò¥+2233e r 222
213)(6e r e r R r R +-=
球外（R r >）电势为）电势为
ò¥×=r r d E V
2dr r R r ò¥=
2233e r r R 233e r =
7. 如图所示，一平行板电容器极板面积为S ，两极板相距为d ，其中放有一层厚度为t 的介质，相对介电常数为r e ，介质两边都是空气。

设极板上面电荷密度分别为，介质两边都是空气。

设极板上面电荷密度分别为++s 和s -，求：，求：
（1）极板间各处的电位移和电场强度大小；）极板间各处的电位移和电场强度大小；
（2）两极板间的电势差U ； （3）电容C 。

解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得
S S D S d D
S D ×=D ×=×òòs
∴
s =
D
ïïîïïí
ì==（介质内）（空气中） 00
0r r D
E e e s
e s e e （2）ò
®×=B
A l d E U
t
t d r
e e s e s 00+
-=）（
（3）U S C s =t
d S r r r )1(0--=
e e e e 8. 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r e 的电介质，设极板面积为S ，两极板上分别带电荷为Q +和Q -，略去边缘效应。

试求：，略去边缘效应。

试求：
（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值；）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值；
（2）两极板间的电势差U ； （3）电容C 。

解：（1）充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E
，有电介质部分和无电介质部分极板
上自由电荷面密度分别为2s 和1s 。

取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆
在两极板之间）为高斯面，由å
ò
=×0d q S D
得
11s =D ，22s =D
d U
D E ===01
011e s e
① d U
D E r
r ===e e s e e 02022 ②
由①、②解得由①、②解得
r e s s =1
2
（2）由电荷守恒定律知，Q S =+2
)(21s s ③
由①由① 、②、②、② 、③、③、③ 解得解得
解得 S Qd
U r 0)1(2e e +=
（3）d
S
U Q C r 2)1(0e e +=
= 9. 半径为1R 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R 和3R ，当内球带电荷Q 时，求：时，求：
(1)(1)整个电场储存的能量；整个电场储存的能量；整个电场储存的能量；
(2)(2)将导体壳接地时整个电场储存的能量；将导体壳接地时整个电场储存的能量；将导体壳接地时整个电场储存的能量； (3)(3)此电容器的电容值。

此电容器的电容值。

此电容器的电容值。

解：如图所示，内球表面均匀带电Q ，外球壳内表面均匀带电Q -，外表面均匀带电Q (1)(1)由高斯定理得由高斯定理得由高斯定理得
当1R r <和32R r R <<时，0=E
t
r e
s + s
-
当21R r R <<时，201π4r
Q E e =
当3R r >时，2
02π4r Q
E e =
所以，在21R r R <<区域区域
ò=21d π4)π4(212
2
2001R
R r r r
Q W e e
ò-==2
1
)1
1(π8π8d 21022
02R R
R R Q r
r Q e e 在3R r >区域区域
ò¥
==32
302
220021π8d π4)π4(21R R Q r r r Q W e e e
总能量为总能量为
)1
11(
π83
210
221R R R Q W W W +-=
+=e
(2)(2)导体壳接地时，只有导体壳接地时，只有21R r R <<时2
0π4r Q
E
e =,其它区域0=E ，所以
02
=W
)1
1(
π82
10
21R R Q W W -=
=e
(3)(3)电容器电容为电容器电容为电容器电容为
)11/(π422
102R R Q
W C -==e 10. 一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为1R ，外圆柱面半径为
2
R ，长为L (
)12R R L ->>，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为1r e 和2r e 的各向同性均匀电介质，的各向同性均匀电介质，其分界面半径为其分界面半径为R ，如图所示。

设内、外圆柱面单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为l 和l -，求：，求：
（1）电容器的电容；）电容器的电容；
（2）电容器储存的能量。

）电容器储存的能量。

解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为r 。

由介质中的高斯定理得由介质中的高斯定理得
i S
q rl D S D S =×=×òπ2d
当21R r R <<时，
l q i l =å，r D π2l
=
两圆筒间场强大小为两圆筒间场强大小为
ïïîïïí
ì
<<<<==)(
2)( 22201100R r R r R r R r
D E r r r e pe l
e pe l e e 两圆筒间的电势差为两圆筒间的电势差为
ò×=2
1
d R R
r E U ò=R
R
r r r 1
d π210
e e l ò+2
d π22
0R R r r r e e
l
R 2
R
R 1
e r 1
e r 2
L
11
0ln 2R R r e pe l =
R R r 22
0ln 2e pe l + 电容器的电容为电容器的电容为
U L C l =()()
R R R R L r r r r /ln /ln 22112210e e e e pe +=
（2）电容器储存的能量）电容器储存的能量
C Q W 2
21=2
102112
2
4ln ln r r r r R R R R
L e e e e e l π÷÷øöççèæ+=
11．如图所示，一充电量为Q ±的平行板空气电容器，极板面积为S ，间距为d ，在保持极板
上电量Q ±不变的条件下，平行地插入一厚度为2/d ，面积S ，相对电容率为r e 的电介质平板，在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？
解：插入电介质平板之前，d
S
C 0
0e =
，电容器储存的能量为，电容器储存的能量为
S
d
Q C Q W 0
20
20221e =
= 插入电介质平板之后，由本章习题7的解法可得到的解法可得到
d
S
C r r )1(20+=
e e e
电容器储存的能量为电容器储存的能量为
S d Q C Q
W r r e e e 02
2
4)1(21+==
由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为
0W W A -=S
d Q r r
e pe e 024)
1(-=
12. 一球形电容器，内球壳半径为1R ，外球壳半径为2R ，两球壳间充有两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ，相对介电常数分别为1r e 和2r e ，如图所示。

设在两球壳间加上电势差12U ，
求：求：
(1) 电容器的电容；电容器的电容；
(2) 电容器储存的能量。

电容器储存的能量。

解：（1）设球内球壳和外球壳分别带电Q 、Q -，电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。

由介质中的高斯定理得面为高斯面。

由介质中的高斯定理得 =×ò
S
S d D i q r D
S =×2
4p
当21R r R <<时，
Q q i =å，2
π4r Q D =
内球壳和外球壳之间场强大小为内球壳和外球壳之间场强大小为
ïï
îïïí
ì<<<<==)( 4)( 422
20121
00R r R r
Q R r R r Q D
E r r r e pe e pe e e 内球壳和外球壳之间电势差为内球壳和外球壳之间电势差为
R R O R 1
R 2
e r 1
e r 2
Q -
2/d
r e
Q +
d
ò
×=2
112
R
R r d E U dr r Q R R r ò=12104e pe dr r Q R
R r ò+22
204e pe )11(4110R R Q r -=e pe )11(4220R R Q r -+e pe 2
1210212111224)]
()([R RR R R R R R Q r r r r r r e e pe e e e e -+-=
电容为电容为
12U Q C =
()()
212111222
12104r r r r r r R R R R R R RR e e e e e e pe -+-= （2）电容器储存的能量为）电容器储存的能量为
21221CU W =()()2
12111222
12
212102r r r r r r R R R R R U R RR e e e e e e pe -+-=。