2013-2014线性代数(A)题山东科技大学

山东科技大学2013—2014学年第一学期
《线性代数》考试试卷（A 卷）
班级 姓名 学号 一、填空题（每小题5分，共30分）
1、设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=311121111A ，则1
A -=__________________。

2、设A 均为3阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，2A =，则*2A =__________________。

3、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，1a ，2a
为它的两个线性无关的解向
量，则该方程组的通解为__________________。

4、若()T
a a 1,1,1=，()T
a a 1,,
12=，()T
a a ,1,13=线性相关，则a 为
________。

5、设矩阵2)(,3651230221=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=A R A μλ，则=λ_____,=μ__________.
6、已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2，3，4，1，则____B E -=。

三、解答题（每小题12分，共60分）
1、计算下列行列式：
（1）2151130602121476D ---=--，（2）()()()()()()()()()()()()2
222
2222
2222
222
2111321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 。

2、设111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求解矩阵方程2
A AX E -=。

3、设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++
+=+++=+++,
1,31,
01321321321λλλλx x x x x x x x x ）（）（）（问λ取何值时，次方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解.
4、求矩阵12
1421
03001111
11A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭
的列向量组的秩以及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。

5、设二次型22
123121223(,,)244T f x x x x Ax x x x x x x ==+-- ，
（1）写出二次型f 的矩阵；
（2）求正交变换x Py =
，把二次型f 化为标准型；
（3）判断f 是否为正定二次型。

四、证明题（每小题5分，共10分）
1、设A 为n 阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-===.2)(,0,1)(,1,)(,
)(*n A R n A R n A R n A R
2、设A 满足,,0342
A A E A A T
==+- 证明：E A -为正交矩阵。