2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十六)解三角形理+Word版含答案

专题强化训练(十六) 解三角形
1．[2019·天津卷]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .
(1)求cos B 的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b
sin B ＝c
sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝
4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23
a .由余弦定理可得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49
a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝
154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158
， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78
， 故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．[2019·石家庄一模]已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．
(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；
(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．
解：(1)∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，
∴B ＝60°.
设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
由△ABC 的面积S ＝33＝12
ac sin B 可得ac ＝12. ∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，
∴a ＝2，c ＝6.
在△ABC 中，由余弦定理可得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝28，
∴b ＝27，即AC 的长为27.
(2)∵BD 是AC 边上的中线，
∴BD →＝12
(BC →＋BA →)， ∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14
(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，
∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3.
3．[2019·合肥质检二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2
A ＋sin 2
B ＋sin A sin B ＝2c sin
C ，△ABC 的面积S ＝abc .
(1)求角C ；
(2)求△ABC 周长的取值范围．
解：(1)由S ＝abc ＝12
ab sin C 可得2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，
由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，
由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3
. (2)由(1)知2c ＝sin C ，同理可知2a ＝sin A ，
2b ＝sin B .
△ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝12
(sin A ＋sin B ＋sin C )
＝12[sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－A ]＋34 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＋34
＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤32，1， ∴△ABC 周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32
，2＋34.
4．[2019·武汉4月调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝104
，B ＝2A ，b ＝15. (1)求a ；
(2)已知M 在边BC 上，且CM MB ＝12
，求△CMA 的面积． 解：(1)由0<A <π，cos A ＝104，知sin A ＝64
， ∴sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝2×
64×104＝154， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C 可知， a ＝b sin A sin B
＝ 6. (2)cos B ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1042－1＝14， sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
64×14＋104×154＝368， △ABC 的面积S △ABC ＝12ab ·sin C ＝12×6×15×368＝9158
， 又CM MB ＝12，∴S △CMA ＝13S △ABC ＝13×9158＝3158
. 5．[2019·济南模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，B ＝
2π3
，c ＝ 3. (1)求角C ； (2)若点E 满足AE →＝2EC →，求BE 的长．
解：(1)解法一：由题设及正弦定理得
2sin B sin C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，
又sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，
所以2sin B sin C ＝sin B .
由于sin B ＝32≠0，所以sin C ＝12
. 又0<C <π3，所以C ＝π6
. 解法二：由题设及余弦定理可得
2b sin C ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 2
2bc
， 化简得2b sin C ＝b .
因为b >0，所以sin C ＝12
. 又0<C <π3，所以C ＝π6
. 解法三：由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，
结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .
因为b >0，所以sin C ＝12
. 又0<C <π3，所以C ＝π6
. (2)解法一：由正弦定理易知b sin B ＝c
sin C ＝23，解得b ＝3. 又AE →＝2EC →，所以AE ＝23AC ＝23
b ，即AE ＝2. 在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6
， 所以A ＝π6
， 所以在△ABE 中，A ＝π6
，AB ＝3，AE ＝2， 由余弦定理得
BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos π6＝ 3＋4－2×3×2×
32＝1， 所以BE ＝1.
解法二：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6
，a ＝c ＝ 3. 由余弦定理得
b ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×co s 23
π＝3. 因为AE →＝2EC →，所以EC ＝13
AC ＝1. 在△BCE 中，C ＝π6
，BC ＝3，CE ＝1，
由余弦定理得BE ＝BC 2＋EC 2－2BC ·EC cos π6＝3＋1－2×3×1×32
＝1， 所以BE ＝1. 解法三：在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6
， 所以A ＝π6
，a ＝c ＝ 3. 因为AE →＝2EC →，所以BE →＝13BA →＋23
BC →. 则|BE →|2＝19(BA →＋2BC →)2＝19(|BA →|2＋4BA →·BC →＋4|BC →|2)＝19(3－4×3×3×12
＋4×3)＝1，
所以BE ＝1.
6．[2019·太原一模]如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62
.
(1)求B ；
(2)求△ABC 的面积．
解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，
∴由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得a 2＋c 2－ac ＝b 2
， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12
， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.
(2)如图，连接CE ，∵D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，
∴AE ＝CE ，
∴CE ＝AE ＝DE
sin A ＝62sin A . 在△BCE 中，由正弦定理得
CE
sin B
＝BC sin ∠BEC ＝BC sin2A ， ∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22
， ∵0°<A <180°，∴A ＝45°，
∴∠ACB ＝75°，
∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，
∠BEC ＝90°，
∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1，
∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32
. 7．[2019·长沙一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C
2.
(1)求A ；
(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .
解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2
， 由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2
，∵sin C ≠0， 所以sin A ＝cos A 2
， 所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，又cos A 2≠0， 所以sin A 2＝12
， 故A ＝60°.
(2)由题设得12
bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
得a 2＝(b ＋c )2－12.
又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，
解得a ＝134
. 8．[2019·福州质检]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32.
(1)求△ABC 的外接圆直径；
(2)求a ＋c 的取值范围．
解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，
所以2B ＝A ＋C ，
又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3
. 根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径
2R ＝b sin B ＝3
2sin π3
＝1. (2)解法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3
， 可得0<A <2π3
. 由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C
＝sin A ＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin A ＋12cos A ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6
. 所以12<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1， 从而32<3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤32，3. 解法二：由(1)知，B ＝π3
， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(a ＋c )2
－3ac
≥(a ＋c )2－3⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)， 因为b ＝32
，所以(a ＋c )2≤3，即0<a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边， 所以32
<a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤32，3.。