概率论与数理统计及其应用_习题答案_(浙大_盛骤谢式千版本)

《概率论与数理统计》
习题解答
教材：《概率论与数理统计及其应用》，浙江大学盛骤、谢式千编，高等教育出版社，2004年7月第一版
目录
第一章随机事件及其概率1
第二章随机变量及其分布9
第三章随机变量的数字特征25
第四章正态分布33
第五章样本及抽样分布39
第六章参数估计42
第七章假设检验53
第一章 随机事件及其概率
1、解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =
（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =
2、设A , B 是两个事件，已知8
1
)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，
)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：8
1
)(,21)(,41)(===
AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 8
5
812141=-+= )()()(AB P B P B A P -=838121=-=
8
7
811)(1)(=-=-=AB P AB P
)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=
)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂
2
18185=-=
3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”
25
18
900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P
4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”
(1) 4554
43)(2
5
15141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 4554
21452)(2
5
151
4122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48
5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球
解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”
（1）4
12
1
31425)(C C C C A P ==495120=338
（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”
16567
)(4
12
4
418342824=++=C C C C C C B P 或41248381
41)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”
99
7
49535)(4124
7=
==C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”
n
k
n k n M
M C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”
（1）3212313)(=⨯⨯+=
A P 或32
1231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31
123112)(=⨯⨯⨯⨯=
B P 8
、
（
1
）
设
1
.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求
(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B
(),()P AB A B P A AB ；
（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P （1）3
1
3.01.0)()()(===
B P AB P B A P ， 5
15.01.0)()()(===
A P A
B P A B P 7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P
)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P =
==
7
57.05.0== 7
1
7.01.0)()()()])([()(====
B A P AB P B A P B A AB P B A AB P
1)
()()()]([)(===
AB P AB P AB P AB A P AB A P
（2）设{}1,2,3,4i A i i ==第次取到白球，B = {第一、二次取到白球且第三、四次取到红球则}，1234B A A A A =
12341213124123()()()()()()
6754840
0.04081112131220592
P B P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ===⨯⨯⨯==
9、解： 用A 表示事件“取到的两只球中至少有1只红球”，B 表示事件“两只都是红球”
方法1 651)(2422=-=C C A P ，6
1
)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P
51
6
561
)()()(===A P AB P A B P
方法2 在减缩样本空间中计算
5
1
)(=A B P
10、解：A 表示事件“一病人以为自己患了癌症”，B 表示事件“病人确实患了癌症”
由已知得，()0.05,()0.45,()0.10,()0.40P AB P AB P AB P AB ==== （1）B A AB B A AB A 与,
=互斥
5.045.005.0)()()()(=+=+==∴B A P AB P B A AB P A P 同理 15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05
.005
.0)()()(===
A P A
B P A B P
（3）2.05
.01
.0)()()(,5.05.01)(1)(===
=-=-=A P B A P A B P A P A P （4）17
9
85.045.0)()()(,85.015.01)(1)(===
=-=-=B P B A P B A P B P B P （5）3
1
15.005.0)()()(===
B P AB P B A P 11、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ”
∴92401
)(6
11
1
3131222==A A A A A A P 12、据统计，对于某一种的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状
A ，有30%的人只有症状
B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有，在患这种疾病的人群中随机的选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。

解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，B 表示事件“B 该种疾病具有症状
” 由已知2.0)(=B A P ，3.0)(=B A P ，1.0)(=AB P （1）设C = {该人两种症状都没有}， ∴C A B =
,S AB AB AB AB =且B A AB B A B A ,,,互斥
()()1()()()10.20.30.10.4P C P A B P AB P AB P AB ∴==---=---= 或
A B AB AB AB =，AB AB AB 且、、互斥
()()()()0.20.30.10.6P A B P AB P AB P AB ∴=++=++= 即 ()()()1()10.60.4P C P AB P A B P A B ===-=-= （2）设D = {该人至少有一种症状}，∴D A B =
A B AB AB AB =，AB AB AB 且、、互斥
即 ()()()()()0.20.30.10.6P D P A B P AB P AB P AB ==++=++=
（3）设E = {已知该人有症状B ，求该人有两种症状}，∴E AB B =
B A AB B =， B A AB ,互斥
4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P 即 [()]()()()()()
P AB B P AB P E P AB B P B P B ==
=
41
4.01.0== 13、解：用B 表示“讯号无误差地被接受”
i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i ;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P
9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得
4
1()()()0.40.99980.30.99990.10.99970.20.99960.99978
i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑
14、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患有关节
炎的病人，有85%给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎，已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节炎的概率。

解：用A 表示事件“确实患有关节炎”
，B 表示事件“检验患有关节炎的人”
C 表示事件：“一名被检验者经检验，认为它没有关节炎，而他却患有关节
炎”
所求为()()P C P A B =，由已知 1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P 则 9.0)(=A P ，()0.15P B A =，96.0)(=A B P 由贝叶斯公式得
017.096
.09.015.01.015
.01.0)
()()()()()()(=⨯+⨯⨯=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
15、解：用D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”
A B C 、、分别表示事件“程序交与打字机A B C 、、打字”
由已知得 6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ；
01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P
由贝叶斯公式得
)
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=
24.025
6
04.01.005.03.001.06.001.06.0==⨯+⨯+⨯⨯=
)
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=
6.05
3
04.01.005.03.001.06.005.03.0==⨯+⨯+⨯⨯=
)
()()()()()()
()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=
16.025
6
04.01.005.03.001.06.004.01.0==⨯+⨯+⨯⨯=
16、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息” 由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P
由贝叶斯公式得
999947.0001
.005.0195.01
95.0)
()()()()
()()(≈⨯+⨯⨯=
+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
17、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”，
C 表示事件“两次得同一面”
则 11()()22P A P B ==，，,21
211)(2=+=C P
211()24P AB ==，211()24P BC ==，211
()24
P AC ==
()()()()()()()()()P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ∴===，， C B A ,,∴两两独立
而4
1
)(=
ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ≠ C B A ,,∴不是相互独立的
18、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”，
C 表示事件“运动员C 进球”，
由已知得 5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则 5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P
（1）设{}1D =恰有一人进球，则1D ABC
ABC ABC =且C B A C B A C B A ,,互斥
1()P D P ABC
ABC ABC ∴=()
)()()(C B A P C B A P C B A P ++=
)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）
C B A ,,( 29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（2）设{}
2D =恰有二人进球，则2D ABC ABC ABC =且C B A BC A C AB ,,互
斥
2(()P D P ABC
ABC ABC ∴=)
)()()(C B A P BC A P C AB P ++=
)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）
C B A ,,( 44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（3）设{}3D =至少有一人进球，则3D A B C =
3()()P D P A B C ∴=
)(1C B A P -= 1()P A BC =-
)()()(1C P B P A P -=(,,A B C 相互独立）
10.50.30.40.94=-⨯⨯=
19、解：设B 表示事件“病人能得救”
i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RH A 血型”， ,3,2,1=i 则 1
121231234,B A A A A A A A A A A =
且1121231234,,,A A A A A A A A A A 互斥，1234,,,A
A A A 相互独立 ()()(1P A P
B P +=∴+)21A A 1231234()()P A A A P A A A A +
230.40.60.4(0.6)0.4(0.6)0.40.8704=+⨯+⨯+⨯=
20、一元件（或系统）正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联后并联的方式联接（称为串并联系统），设元件的可靠性为p ，求系统的可靠性。

解：设{}B =系统可靠，{},1,2,3,4,5i A i i ==元件可靠
由已知得()(1,2,3,4,5)i P A p i ==54321,,,,A A A A A 相互独立
法1：54321A A A A A B =
)()(54321A A A A A P B P =∴
12345123345124512345()()()()()()P A A P A P A A P A A A P A A A P A A A A P A A A A A =++---+（）
543322p p p p p p p +---++=()相互独立54321,,,,A A A A A 543222p p p p p +--+= 法2：12345()1()P B P A A A A A =-
)()()(154321A A P A P A A P -=()相互独立54321,,,,A A A A A 123451[1()][1][1]P A A P A P A A =----（）（）
123451[1()()][1][1]P A P A P A P A P A =----（）（）（）()相互独立54321,,,,A A A A A 2223451(1)(1)(1)22p p p p p p p p =----=+--+
21、用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下，若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；根据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6 。

今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。

解：用A 表示事件“真含有杂质”,
用B 表示事件“3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而有1次检验认为不含有杂质”
由已知得 4.0)(=A P ，6.0)(=A P ，2
23()(0.8)0.2P B A C =⨯⨯，
223()(0.1)0.9P B A C =⨯⨯
由贝叶斯公式得
223222233()()()()()()()
0.4(0.8)0.21536
0.9050.4(0.8)0.20.6(0.1)0.91698
P A P B A P A B P A P B A P A P B A C C C =
+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
第二章 随机变量及其分布
1、设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。

解：{}()1
10.40.41,2,k P Y k k -==-⨯=⋅⋅⋅
2
、
解
：
用
1231,2,3),,i A i i A A A =表示第个阀门开(,且相互独立
，
()0.8(1,2,3)i P A i ==
12
312323{0}()()[()()()()]P X P A A A P A P A P A P A P A ⎡⎤===+-⎣⎦
072.0)2.02.02.02.0(2.0=⨯-+=
212
3123{1}[()
]0.8(0.20.20.04)0.2(0.8)P X P A A A A A A ===+-+⨯
416.0=
3123{2}()(0.8)0.512P X P A A A ====
3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X 表
示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X 服从什么分布，写出X 的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率 （1）恰有3人；（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：()~15,0.2X B
{}1515(0.2)(0.8)k
k k P X k C -==⨯k =0,1,2,……,15 （1）{}3
312153(0.2)(0.8)0.2501P X C ==⨯=
（2）{}0015114151521(0.2)(0.8)0.2(0.8)0.8329P X C C ≥=-⨯-⨯=
（3）
{}11142213331215151513(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)0.6129P X C C C ≤≤=⨯+⨯+⨯=
（4）{}5
15150
51(0.2)(0.8)0.0611k k k k P X C -=>=-⨯=∑
4、解：用X 表示5个元件中正常工作的元件个数
33244555(3)(0.9)(0.1)(0.9)0.1(0.9)0.9914P X C C ≥=⨯+⨯+=
5、某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次品率为p = 0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。

解：设X 表示8000件产品中的次品数，则~(8000,0.001)X B
由于n 很大，P 很小，利用)8(π近似地
～X ，所以{}3134.0!876
8
==<∑=-k k k e X P
6、解：（1）~(10)X π
{}{}0487.09513.01!1011511515
10
=-=-=≤-=>∴∑=-k k k e X P X P
（2）∵~()X πλ
{}{}!01010210λ
λ--==-=>=∴e X P X P {}2
1
0==∴X P 2
1
=
∴-λe 7.02ln ==∴λ
{}{}0.7
1
(0.7)211110.84420.1558!k k e P X P X k -=∴≥=-≤=-=-=∑
或{}{}{}2ln 21
21!12ln 21110122ln -=-
-==-=-=≥-e X P X P X P 7、解：（1） )2(~πX 1353.0!
02}0{20
2====--e e X P （2）设Y 表示一分钟内，5个讯息员中未接到讯息的人数，则2~(5,)Y B e -
4
2425{4}()(1)0.00145P Y C e e --∴==-=
（3） ()25
500
2{}()!k k k e P X k k -∞
∞
==∴==∑∑
8、一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内，以X 表示响铃至结束讲解的时间，设X 的概率密度为
2
01()0
kx x f x ⎧≤≤=⎨
⎩其它
（1）确定k ；（2）求13P X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）求1142P X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（4）求23P X ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭
解：（1）由11
2
3
001()3
3
k
k
f x dx kx dx x +∞
-∞
====⎰
⎰3=∴k （2）()11
1323
330
11
3327
P X f x dx x dx x -∞
⎧
⎫≤====
⎨⎬⎩
⎭⎰
⎰ （3）111223
2211144
4
1
1117()34
286464
P X f x dx x dx x ⎧⎫≤≤====-=⎨⎬⎩⎭⎰⎰ （4）1123
222
33
3
2819
()3132727
P X f x dx x dx x +∞⎧
⎫>====-
=
⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 9、解：方程有实根04522=-++X Xt t ，即 0)45(4)2(2≥--=∆X X
得41X X ≥≤或，所以有实根的概率为 {}{}{}
1
10
2
2
4
(4)(1)410.0030.0030.937
P X X P X P X x dx x dx ≥≤=≥+≤=+=⎰⎰
10、解：：（1）22
11
1
1
200
200
200
00
{1}()10.005100
x x
x P X f x dx e dx e
e
---
-∞
<===-=-≈⎰⎰
（2）22252200
200
20052
52
52
{52}()0100
x x x P X f x dx e dx e
e +∞-
-
-
+∞
+∞
>===-=-≈⎰
⎰
（3）2226200
20200
{26}{2620}0.25158{20}P X e
P X X P X e -
-
>>>=
==>
11、设实验室的温度X （以︒C 计）为随机变量，其概率密度为
()21(4)129
x x f y ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
（1）某种化学反应在温度X > 1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；
（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y 表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律； （3）求{}{}2,2P Y P Y =≥。

解
：
（
1）
{}222
31
1
1
141884151()(4)()992792792727P X f x dx x dx x x +∞>==-=-=--+=
⎰
⎰
（2）5~(10,)27Y B ，{}10105220,1,2,,102727k
k
k P Y k C k -⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）{}228
10
5222()()0.29982727
P Y C ==⨯= {}{}{}20101
19101052252221011()()()()0.577827272727
P Y P Y P Y C C ≥=-=-==-⨯-=
12、（1）设随机变量Y 的概率密度为
()0.2100.2010y f y Cy
y -<≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪⎩
其它
试确定常数C ，求分布函数()F y ，并求{}00.5P Y ≤≤，{}0.50.1P Y Y >> （2）设随机变量X 的概率密度为
112()8
240y f x x y <<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩
其它
求分布函数()F y ，{}13P X ≤≤，{}13P X X ≥≤ 解：（1）由()()01
1
10.20.2f y dy dy Cy dy +∞-∞
-==++⎰
⎰⎰
1210
0.2(0.2)0.422C C
y y y -=++=+ 1.2C ∴=
()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+≤<-=∴其它
0102.12.0012
.0y y
y y f ()()12010
1
01010.2100.20.2
10()()0.60.20.2
010.20.2 1.20111
0.2 1.21y y
y
Y y
dt y y dt y y y F y f t dt y y y dy y dy y y y dy y -∞
--∞
-⎧<-⎪<-⎧⎪⎪-≤<+-≤<⎪⎪===⎨⎨++≤<⎪⎪++≤<⎪⎪≥⎩⎪+≥⎩⎰⎰⎰
⎰⎰⎰{}()()200.50.500.20.20.50.6(0.5)0.20.25P Y F F ≤≤=-=+⨯+⨯-= {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=⨯-⨯--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=⨯-⨯+-=-=>F Y P
{}{}{}{}{}0.5,0.10.50.550.50.10.71060.10.10.774
P Y Y P Y P Y Y P Y P Y >>>∴>>====>>
（2）()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤+<≤<==⎰⎰⎰⎰
∞
-414288
1208
10
02200x x dt
t dt x dt x dt t f x F x x x
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=4
142162
081
002
x x x
x x
x
{}()()917133116816
P X F F ≤≤=-=-= {}()16
9
33=
=≤F X P {}{}{}
97
169167
33131==≤≤≤=≤≥∴X P X P X X P
13、解：{}1
1
1,-⨯===n n j Y i X P
{}0,===i Y i X P n j i j i ，⋯⋯=≠,2,1,,
当n =3
14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A 是加油站工作人员操作的，设备B 是顾客自己操作的，A ，B 均装有两根加油软管，随机取一时刻，A ，B 正在使用软管数分别为X ，
Y 。

X ，Y 的联合分布律为
（1）求{1,1}{1,1}P X Y P X Y ==≤≤， （2）至少有一根软管在使用的概率； （3）{}{2}P X Y P X Y =+=， 解：（1）2.0}1,1{===Y X P ，
{1,1}{0,0}{0,1}{1,0}{1,1}
0.100.080.040.200.42
P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤===+==+==+===+++=
（2）设C = {至少有一根软管在使用}
(){(1)
(1)}1{0,0}10.100.90P C P X Y P X Y =≥≥=-===-=
（3）{}{0,0}{1,1}{2,2}P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==
0.100.200.300.60=++=
{2}{0,2}{1,1}{2,0}
0.060.200.020.28
P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+===++=
15、设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
()240,0(,)0
x y Ce
x y f x y -+⎧>>⎪=⎨
⎪⎩其它
是确定常数C ；并求{}2P X >；{}{}1P X Y P X Y >+<；
解：()()
24240
1()
8
8
x y x
y
C
C
f x dx Ce
dxdy e e
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
-+---∞
===-⋅-=
⎰
⎰
⎰
，8C ∴= {}()()
242442
2
2,8()
x y x
y
x P X f x y dxdy dx e
dy e
e
e +∞
+∞
+∞
+∞
-+--->>===-⋅-=⎰⎰⎰⎰
00x y x
≤<∞
≤≤
{}()()
240
,8x
x y x y
P X Y f x y dxdy dx e
dy +∞-+>>=
=⎰⎰
⎰⎰
246200
(2)(22)x y x
x x e e dx e e dx +∞
+∞
----=⋅-=-+⎰⎰ 6201
2()3
3
x x e e +∞--=-= 01
01x y x
≤≤≤≤-
{}11(24)0
1
1(,)8x
x y x y P X Y f x y dxdy dx e dy --++<+<=
=⎰⎰⎰⎰
11
1
242240
2()
(22)x
x
y
x x e
e
dx e e dx -----=-=-⎰⎰
1
224
220
()(1)x
x e
e
e ---=--=-
16、设随机变量（X ，Y ）在由曲线2
2
,,12
x y x y x ===所围成的区域G 均匀分布
（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度(),()
X Y
f x f y
解：（1）
2
12
1
()
26
G
x
S x dx
=-=
⎰，6(,)
(,)
x y G
f x y
∈
⎧
=⎨
⎩其他
（2）
2
2
11
01
01
22
1
2
x
y y
x
y x
x x
≤≤
≤≤≤≤
≤≤
≤≤
或
2
2
2
1
2
601301 ()(,)
x
x
X
dy x x x
f x f x y dy
+∞
-∞
⎧⋅<<
⎧<<
⎪
===
⎨⎨
⎩
⎪
⎩
⎰
⎰
其它
其它
1
11
00
22
11 ()(,)16(11
22
00
Y
dx y y
f y f x y dx dy y y
+∞
-∞
⎧⎧
⋅≤≤≤≤
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
==⋅≤≤=-≤≤
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎩
⎰
其它其它
17、（1）在14题中求边缘概率密度；
解：（
（2）
000x y x y x y
≤<+∞≤<+∞
≤<+∞≤<或
()()00
,00
0y x x X e dy x e
x f x f x y dy x x +∞
--+∞
-∞
⎧⎧>>⎪∴===⎨⎨
≤⎩⎪≤⎩⎰⎰
()()000
,00
0y
y y Y e dx y ye
y f y f x y dx y y --+∞
-∞
⎧⎧>>⎪===⎨⎨
≤⎩⎪≤⎩⎰⎰ 22、（1
又Y 1，Y 212Y 1与Y 2的联合分布律，并求P{Y 1 = Y 2}。

（2）在14题中X 与Y 是否相互独立。

且{
}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y Y P 2
2
2
23
(1)214
42
θθθθθ=
+-+
=-+ （2）{}10.00,0===Y X P {}{
}0384.000==⋅=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=⋅=≠Y P X P ，∴X 与Y 不相互独立
23、设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X ～U (0,1) ，Y 的概率密度为
()1
8020
Y y
y f y ⎧
<<⎪=⎨
⎪⎩其它
试写出X ，Y 的联合概率密度，并求{}P X Y >。

解：
()1010X x f x <<⎧=⎨
⎩其它()1
8020
Y y
y f y ⎧
<<⎪=⎨⎪⎩其它
，且X 与Y 相互独立
()()()1
801,0,20
X Y y
x y f x y f x f y ⎧<<<<
⎪∴=⋅=⎨
⎪⎩其它
1
210<≤<≤x y y 11
2
22
320
82{}8(8)(4)33
x y
P X Y ydxdy y y dy y y >>=
=-=-=⎰⎰⎰
24求12+=X Y 的分布律。

即
12+=X Y
1
2
5
10
k p
5
1 30
7 5
1 30
11 25、(0,1)X
N U X =设随机变量，求的概率密度。

解：U X =
，
2
2
()x X f x x -=-∞<<+∞，当(,)x ∈-∞+∞时，[0,)u ∈+∞
当0(){}{||}0,()0U U u F u P U u P X u f u ≤=≤=≤=∴=时，
0()()(||)()()()U X X u F u P U u P X u P u X u F u F u >=≤=≤=-≤≤=--当时，
2
2
2
222()()()()u u u U U X X f u F u u u ϕϕ---'∴==+-=+=
故U X =
的概率密度为：2
20()00
u
U u f u u ->=≤⎩
26、解： （1）X Y =
，
0()0
x
X e x f x x -⎧>=⎨
≤⎩，当(0,)x ∈+∞时，(0,)y ∈+∞
当0()())0,()0Y Y y F y P Y y P y f y ≤=≤==∴=时，
220()())()()Y X y F y P Y y P y P X y F y >=≤=≤=≤=当时，
2
2()()2()2y Y Y X f y F u yf y ye -'===
故X Y =
的概率密度为：2
20
()0
y
Y ye y f y y -⎧>⎪=⎨
≤⎪⎩ （2）1
2
X Y +=，
111()2
X x f x ⎧-<<⎪
=⎨⎪⎩其它
，当(1,1)x ∈-时，(0,1)y ∈
当1
0()()(
)0()02Y Y X y F y P Y y P y f y +≤=≤=≤=∴=时，， 1
01()()()(21)(21)2
Y X X y F y P Y y P y P X y F y +<<=≤=≤=≤-=-当时，
()()(21)21Y Y X f y F y f y '∴==-⋅=
1()1Y y F y ≥=当时，，()0Y f y = 故1
2X Y +=
的概率密度为：101()0
Y y f y <<⎧=⎨⎩其他
（3）2X Y =
，
2
2
()x X f x x -=-∞<<+∞，当(,)x ∈-∞
+∞时，
[0,)y ∈+∞
当20()()()0()0Y Y y F y P Y y P X y f y ≤=≤=≤=∴=时，，
20()()()((Y X X y F y P Y y P X y P X F F >=≤=≤=≤=-当时，
222()()(y y y
Y Y X X f y F y f f ---⎛⎫'====⎪⎭
故2
Y X =
的概率密度为：20()00
y
Y y f y y -⎧>=≤⎩
27、设一圆的半径X 是一随机变量，其概率密度为
()1
(31)028
0x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩
其它
求圆面积A 的概率密度。

解：2A X π=,
()1
(31)
028
0X x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩
其它
，2(0,2)(0,4)x y x ππ∈=∈当时，
当y 0≤时，2(){}{}0()0A A F y P A y P X y f y π=≤=≤=∴=， 当π40<<y 时，
{
}2
0(){}()1)A x F y P A y P X y P f x dx x dx π⎧⎪=≤=≤=≤==+⎨⎪⎩
13()()1)816A A f y F y π'∴===+
当π4≥y 时,
{
}()22
01(){}311()0
8A A F y P A y P X y P X x dx f y π⎧⎪=≤=≤=≤≤=+=∴=⎨⎪⎩⎰，
故2A X π=
的概率密度为：30416()0A y f y ππ⎧+<<⎪
=⎨⎪⎩
其它
28、解：因为X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),0(2σN
222
222
1(,)()()(,)2x y X Y f x y f x f y e x y R σπσ
+-
==
∈
Z =(,)x y ∈-∞+∞、时，[0,)z ∈+∞
0()}0Z z F z P z ≤=≤=当时，，()0Z f z =
222
2222
2
2
22
22222
10()}(,)211
2()122x y Z z
z
r r z z
z
z F z P z f x y dxdy e dxdy
e rd dr e e
σπ
σσσπσ
θππσ
π
+-
-
-->=≤=
===⋅-=-⎰
⎰
当时，
222
2
222
()()(1)z z Z Z z
f z F z e
e σσσ
-
-
''==-=
故2A X π=的概率密度为：2
2(2)
2
0()00
z Z z e
z f z z σσ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
29、解：
1
11()2
X x f x ⎧-<<⎪
=⎨⎪⎩其它
，2
1
1
()1Y f y y y π=
⋅
-∞<<+∞+，且X 与Y
相互独立
1
21111()()()(arctan(1)arctan(1))2(1)2z Z X Y z f z f z y f y dy dy z z y ππ
+∞
+-∞
-=-=⋅=+--+⎰
⎰
30、解：0()0
x
X e x f x λλ-⎧≥=⎨
⎩其它
，
20()0
y
Y ye y f y λλ-⎧≥=⎨
⎩其它
，且X 与Y 相互
独立
由卷积公式：0
()()()00Z X Y z y f z f z y f y dy y z y +∞
-∞
->⎧=-⇒<<⎨>⎩
⎰
，
0)(0=≤z f z Z 时，当
时当0>z ，2
()
230
()()()2
z
z y y
z
Z X Y z f z f z y f y dy e
ye
dy e
λλλλλλ+∞
-----∞
=-==⎰
⎰
故Z X Y =+的概率密度为：230()2
00
z Z z e
z f z z λλ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
31、解：1
01()0
X x f x <<⎧=⎨
⎩其它
，1
01()0
Y y f y <<⎧=⎨
⎩其它
，且X 与Y 相互独立
01
101
01()()()1221200z Z X Y z dy z z z f z f z y f y dy dy
z z
z +∞
-∞
-⎧≤<⎪≤<⎧⎪⎪
=-=≤≤=-≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩
⎰⎰
⎰其它
其它
32、设随机变量X ，Y 相互独立，它们的联合概率密度为
330,02(,)2
x
e
x y f x y -⎧>≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
（1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）求max(,)Z X Y =的分布函数；
（3）求概率112P Z ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭。

解（1）23303030
()(,)2
0x
x
X e dy
x e x f x f x y dy x x --+∞
-∞
⎧⎧>>⎪===⎨⎨
≤⎩⎪≤⎩⎰⎰
30310202()(,)2
20
x
Y e dx y y f y f x y dx +∞-+∞
-∞
⎧⎧≤≤≤≤⎪
⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰
其它
其它
（2）330
00
0()()3010
x
x X X t
x
x x F x f t dt e dt x e x ---∞≤⎧≤⎧⎪
===⎨⎨
>->⎩⎪⎩⎰⎰
000
011()()020222
121
2
y
y Y Y y y F y f t dt dt
y y
y y y -∞
<<⎧⎧⎪⎪⎪
⎪
==≤<=≤<⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩⎰
⎰
{}3max 3001()max(,)()()(1)022
12
z X Y Z
z F Z P X Y Z F Z F Z e z
z e
z --<⎧⎪⎪
∴=≤=⋅=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩ （3）33
33
22max max 111111111(1)()(1)(1)22222424P Z F F e e e e ----⎧⎫<≤=-=---⋅=-+⎨⎬⎩⎭
33、解：（1）1
0(0,)()0X x l X l f x l
⎧<<⎪
=⎨⎪⎩在上服从均匀分布，概率密度为其它
（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ：10()1,20
i X x l f x i l
⎧<<⎪
==⎨⎪⎩其它
0()01,21
i X x x F x x l i l l
≤⎧⎪⎪
∴=<<=⎨
⎪≥⎪⎩x
),min(21X X Y =，12
2
0()1[1()]1(1)01Y X x y F y F x x l l l
≤⎧⎪⎪∴=--=--<<⎨⎪
≥⎪⎩x 故2
2()
0()0
Y l y y l f y l -⎧<<⎪
=⎨⎪⎩其它
，从而得证
34、解：（1）U 的可能取值是0，1，2，3
1
{0}{0,0}12
{1}{0,1}{1,0}{1,1}11126443
{2}{2,0}{2,1}{2,2}{0,2}
111129{1,2}08202440120
1{3}{3,0}{3,1}{3,2}120P U P X Y P U P X y P X Y P X Y P U P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P U P X Y P X Y P X Y =====
====+==+===
++=====+==+==+==+===
++++=====+==+===
1
00120
++=
或
（2）V {0}{0,0}{0,1}{0,2}{1,0}
11111127
{2,0}{3,0}126244812040
{1}{1,1}{1,2}{2,1}{3,1}1111304402040
{2}{2,2}{3,2}00P V P X Y P X Y
P X Y P X Y P X Y P X Y P V P X Y P X Y P X Y P X Y P V P X Y P X Y ====+==+==+==+==+===+++++=
====+==+==+===+++===
==+===+=0
或
（3）W 1{0}{0,0}12
115
{1}{1,0}{0,1}4612
P W P X Y P W P X Y P X Y =====
====+===+=
{2}{2,0}{1,1}{0,2}
1115
842412
P W P X Y P X Y P X Y ====+==+===++= {3}{3,0}{2,1}{1,2}1111120204012
{4}{2,2}{3,1}00{5}{3,2}0
P W P X Y P X Y P X Y P W P X Y P X Y P W P X Y ====+==+===
++=====+===+=====
或
即：
第三章 随机变量的数字特征
1、解：
52
}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P
5
2
}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P
5
29
)(=X E
2、解：
2914
}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P
29
175
)(=Y E
3、解：设X 为取到的电视机中包含的次品数，
2,1,0,}{3
12
310
2===-k C C C k X P k k ，即 12()0122222222
E X =⨯+⨯+⨯=
4、解：设X 为所得分数
5,4,3,2,1,6
1
}{===k k X P ，12,11,10,9,8,7,36
1
}{==
=k k X P 5
1216
1149
()63612k k E X k k ===⨯+⨯=
∑∑ 5、解：（1）已知()X
πλ，由}6{}5{===X P X P
则
λλ
λλ--=
e e
!
6!
56
5
，解得6=λ
故6)(==λX E
（2）由于∑∑∞
=-∞
=--=-1
1
21
221
1
)
1(66)
1(k k k k k
k k π
π不是绝对收敛，则)(X E 不存在。

6、（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）是一个随机变量，其概率密度为
310()9
0x
xe x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
求一天的平均耗水量。

（2）设某种动物的寿命X （以年计）是一个随机变量，起分布函数为
205()25
15
x F x x x
≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩
求这种动物的平均寿命()E X 。

2
233
33
00
3
33
300
121()()()933
3
2()2266
x x x x
x
x x x x x x E X xf x dx x xe dx d e e
e dx xd e xe
e dx e
+∞----+∞
+∞
+∞+∞
-∞+∞
+∞---
-
+∞
+∞==⋅=-=-+=-=-+=-=⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰解：（）（2）解法1：225
55
2511
()()(1)5050()10E X xdF x xd dx x x x
+∞
+∞
+∞
+∞-∞
==-==⋅-=⎰
⎰
⎰
解法2：3
3
05
55()(),()50
5055
x x x f x F x f x x x x x <≤⎧⎧⎪
⎪
'≠==∴=⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩当时，
∴32555
5011
()()5050()10E X xf x dx x dx dx x x x
+∞
+∞
+∞
+∞-∞
==⋅==⋅-=⎰
⎰
⎰
7、解：4
1
)1(42)()(1
5=
-⋅==⎰⎰+∞
∞
-dx x x x dx x xf X E 8、解：2
2
2
21
1
1()()2(1)(2ln )32ln 2E X xf x dx x dx x x x +∞
-∞
==⋅-=-=-⎰
⎰
9、解：0)1(2
3
)1(23)()(102012=-⋅++⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x x dx x x x dx x xf X E
10、设(4,)X B p ，求数学期望(sin )2
X
E π 解：由4,3,2,1,0,)1(}{44=-==-k p p C k X P k k
k
1333
44333(sin
)0sin
(1)0sin
(1)0
2
22
4(1)04(1)4(1)(12)
X
E C p p C p p p p p p p p p ππ
π=+⋅⋅-++⋅⋅-+=⋅-+-⋅-=-- 11、解：R 的概率密度为
1
0()0
x a f x a
⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它
30
33
24
1
6)(6
)(a dx a x dx x f x V E a
π
ππ=⋅=⋅=⎰
⎰
∞
+∞
-
12、解：
56
4103
40
103
2
9440920010316103)()())((-∞+--∞
+∞--=⋅+⋅==⎰⎰
⎰e dx xe dx xe x dx x f x g X g E x x
13、解：Y 1的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤--<=1,110,)1(10,
0)(11111min y y y y y F n
Y 1的概率密度为
⎩⎨
⎧<<-=-其它,
01
0,)1()(1111min y y n y f n 1
1
)1()()(1
111111min 11+=
-⋅==⎰⎰-+∞
∞
-n dy y n y dy y f y Y E n Y n 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,
0)(max n n n
n n n y y y y y F
Y n 的概率密度为
⎩⎨⎧<<=-其它,
01
0,)(1max n n n n y ny y f
1
)()(1
1
max +=
⋅==⎰⎰-+∞
∞
-n n dy ny y dy y f y Y E n n n
n n n n n 14、设随机变量(
求()()()(,)(32)E X E Y E XY E X Y E X Y +，，，，。

解：
2
2
00
151211101533
()012()01228282822828284i j i j E X i p E Y j p ⋅⋅===⋅=⨯+⨯+⨯==⋅=⨯+⨯+⨯=
∑∑，
222
00
()39333110001110220202828281414282
i ij
i i j E X i p i p ⋅====⋅=⋅=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑∑或
2
2
00
3933313
()0120120010202828281414284
ij i j E Y j p ===⋅=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑
22
00
39333
()0001021011120282828141413
202102202814
ij i j E XY i j p ===⋅⋅=⨯⨯
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
+⨯⨯+⨯⨯=∑∑
22
00
39333
()()(00)(01)(02)(10)(11)2828281414
11
(12)0(20)(21)0(22)0284
ij i j E X Y i j p ==-=-=-⋅
+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅
+-⋅+-⋅=-∑∑
2
2
00393(32)(32)(3020)(3021)(3022)282828
33
(3120)(3121)(3122)014141
(3220)(3221)0(3222)03
28
ij i j E X Y i j p ==+=+=⨯+⨯⋅
+⨯+⨯⋅+⨯+
⨯⋅+⨯+⨯⋅
+⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅+⨯+⨯⋅=∑∑
15、解：
3(min(,))1({1,1}{1,2}{2,1})2{2,2}14
E X Y P X Y P X Y P X Y P X Y =⋅==+==+==+⋅===
1
(
)1({0,1}{1,2})2{0,2}{1,1}12
129{2,1}{2,2}3514
Y E P X Y P X Y P X Y P X Y X P X Y P X Y =⋅==+==+⋅==+⋅==-+==+⋅===
16、设随机变量(X ,Y )具有概率密度
2401,01,1
(,)0
xy
x y x y f x y ≤≤≤≤+≤⎧=⎨
⎩其他
求()()()E X E Y E XY ，，。

解：11
11
122
2200
002
()241212(1)5
x x
E X dx x xydy x y
dx x x dx --=⋅==-=⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
-=
⋅=1010
5
2
24)(x
xydy y dx Y E ⎰⎰
-=
⋅=1
01015
224)(x
xydy xy dx XY E
17
1000(12)Y X =-
求2()()E Y D Y ，
14
10
()1000(12)1000(1210)021000(1211)0.31000(1212)0.3
1000(1213)0.11000(1214)0.1400
k
k E Y k p
==
-⋅=-⨯⋅+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∑解：
[]
[][][][][]14
2
22
2
102
2
2
222226
()1000(12)1000(1210)021000(1211)0.3
1000(1212)0.31000(1213)0.11000(1214)0.120000210000300.3(1000)01(2000)01 1.610k k E Y k p ==
-⋅=-⨯⋅+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⨯⋅+⨯⋅+⨯+-⨯⋅+-⨯⋅=⨯∑
[]2
2626()()() 1.610400 1.4410D Y E Y E Y =-=⨯-=⨯
18、解：σπ
σ
σ2
)(022
2=
⋅
=⎰∞
+-
dx e
x
x X E x
20
22
222)(2
2σσσ=⋅
=⎰∞
+-
dx e
x
x X E x
σπ
σπ
2
2)(,
)2
2())(()()(222-=-=-=X D X E X E X D
19、解：∑∞
=-=
-=111)1()(k k p
p p k X E ∑∞
=--=
-=1
2
122
2)1()(k k p
p
p p k X E 2
221))(()()(p p
X E X E X D -=
-= 20、解：（1）θθθ
1)(1-=⋅=⎰
∞
++k k dx x
k x X E k k
（2）由于+∞=⋅
⎰+∞
θ
θ
dx x
x 2
，则当)(,1X E k 时=不存在。

（3）212
2
2)(θθθ
-=⋅=⎰
∞
++k k
dx x
k x X E k k
)
2()1())(()()(22
2
2
--=
-=k k k X E X E X D θ （4）由于+∞=⋅⎰
∞
+θ
θdx x
x 32
2
2，则当)(,2X D k 时=不存在。

21、（1）在14题中，求ov(,)xy C X Y ρ，
(2 ) 在16题中，求ov(,)(,)xy C X Y D X Y ρ，，
解：（1）由14题，133
(),(),()2414
E X E Y E XY ===
3139
(,)()()()142456
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⋅=-
2
2
222202
222220
1512116
()01228282828
1015327()01228282828
i i j j E X i p E Y j p ===⋅=⨯
+⨯+⨯===⨯
+⨯+⨯=∑∑
[][]2
222
221619()()()()28228
27345()()()()284112D X E X E X D Y E Y E Y =-=
-==-=-=
9XY ρ-
=
=
=（2）由16题，15
2)(,52)(,52)(===
XY E Y E X E 2222
(,)()()()155575
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⋅=-
⎰⎰-=⋅=10102251
24)(x xydy x dx X E
⎰⎰-=⋅=1010225
1
24)(x xydy y dx Y E
[][]2
222
22121
()()()()5525
121()()()()5525D X E X E X D Y E Y E Y =-=
-==-=-=
2
23XY ρ-
=
=
=-
1122()()()2(,)225257575
D X Y D X D Y Cov X Y +=++=
+-⋅= （3）X 的分布律为
Y
34.1)(,14.1)(==Y E X E
8
.1}2,2{4})
1,2{}2,1{(2}1,1{1)(===⋅+==+==+==⋅=Y X P Y X P Y X P Y X P XY E
2724.0)()()(),(=-=Y E X E XY E Y X Cov
34.2)(,9.1)(22==Y E X E。