广东省广州市执信中学高三(上)期中数学试卷(理科)

xn）
=
∑1 ≤ 푖＜푗 ≤ 푛
푥 푥 ．（∑
푖푗
푥 푥 表示 x1，x2，…，xn 中任意两个数 xi，xj（1≤i＜j≤n）的
푖푗
1 ≤ i＜j ≤ n
3
乘积之和）．则当 n＝3 时，S（x1，x2，x3）的最小值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】11：计算题．
【分析】利用复数的运算法则化为复数（a﹣i）2＝a2﹣1﹣2ai．再根据在复平面内对应的点在 y 轴负 半轴上的特点即可得出．
【解答】解：∵a∈R，∴复数（a﹣i）2＝a2﹣1﹣2ai．
∵复数（a﹣i）2 在复平面内对应的点（a2﹣1，﹣2a）在 y 轴负半轴上，
5
푛(푎푑 ‒ 푏푐)2 参考公式：K2 = (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) 参考数据：
P（K2≥K0）
0.10
0.05
0.025
0.010
K0
2.706
3.841
5.024
6.635
푥2 푦2
푥2 푦2
20．（12 分）已知椭圆 C1： 8 + 2 = 1 与双曲线 C2： 2 ‒ 푏2 = 1 在一、二、三、四象限分别交于 A、B、
50
服用
x
y
50
总计
M
N
100
设从没服疫苗的动物中任取两只，未感染数为 ξ；从服用疫苗的动物中任取两只，未感染为 η，工作人 员曾计算过.P(ξ = 0) = 398 ⋅ 푃(휂 = 0)
（1）求出列联表中数据 x，y，M，N 的值； （2）求 ξ 与 η 的均值并比较大小，请解释所得出结论的实际含义； （3）能够以 97.5%的把握认为疫苗有效吗？
【专题】57：三角函数的图象与性质．
【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论．
9
【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） = 2sin（ωx+φ + 4휋），
∵函数的周期是 π， ∴T = 2휔휋 = 휋，即 ω＝2，
∵f（x）是奇函数， 휋
∴φ + 4 = kπ，k∈Z， 휋
故实数 a 的取值范围是（0，1）
故选：B． 【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据已知得到 a∈B，是解答本题的关 键．
2．（5 分）（2013•石景山区一模）若复数（a﹣i）2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值 是（ ）
8
A．1
B．﹣1
C． 2
D． - 2
2021-2021 学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1．（5 分）已知集合 A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|0＜x＜1}，若 A∩B≠∅，则实数 a 的取值范围是（ ）
张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张．不同取法的种数为
．（用数字作答）
16．（5 分）如图，为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从 C 点可以观察到点
A、B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A、C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B、C；并测
量 得 到 一 些数据 ：CD＝2，CE＝2 3， ∠ D＝ 45°，∠ACD＝ 105°，∠ ACB＝48.19°， ∠BCE＝
→
13→
→
→→
13．（5 分）已知向量m = （2， 2 ），n = （1，0），若m⊥（m ‒ λn），则实数 λ＝
．
14．（5 分）已知 f（x）＝2cos2（x
-
휋4），则 f（α）
=
1 3 ，则
f（﹣α）＝
．
15．（5 分）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3
列，则푎1等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】85：等差数列的前 n 项和．
【专题】11：计算题． 【分析】由 S1，S2，S4 成等比数列，根据等比数列的性质得到 S 22＝ S S ，然后利用等差数列的前 n 项
14 10
和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为 0，即可求出公差与 首项的关系并解出公差 d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差 d 的关系式代 入即可求出比值．
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2021-2021 学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1．（5 分）（2011•佛山一模）已知集合 A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|0＜x＜1}，若 A∩B≠∅，则实数 a 的取值 范围是（ ）
（）
휋 A．f（x）在（0，2）单调递减
휋 3휋 B．f（x）在（4， 4 ）单调递减
휋 C．f（x）在（0，2）单调递增
휋 3휋 D．f（x）在（4， 4 ）单调递增
푎2 4．（5 分 ） 设 S n是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 {an}的 前 n 项 和 ， 且 S 1， S 2， S 4成 等 比 数 列 ， 则 푎1等 于
A．（﹣∞，0）
B．（0，1）
C．{1}
D．（1，+∞）
【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．
【专题】11：计算题．
【分析】由已知中集合 A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|0＜x＜1}，且 A∩B≠∅，可得 a∈B，进而得到实数 a 的取值范围．
【解答】解：∵集合 A＝{﹣1，0，a}，B＝{x|0＜x＜1}， 又∵A∩B≠∅， ∴a∈B＝{x|0＜x＜1}，
8
n﹣
1+bn＝Sn，其中 Sn 是首项为 1，公比为9的等比数列的前 n 项和．
（1）求 an 的表达式；
（2）若 cn＝﹣anbn，试问数列{cn}中是否存在整数 k，使得对任意的正整数 n 都有 cn≤ck 成立？并证
4
明你的结论． 18．（12 分）如图 1，在△PBC 中，∠C＝90°，PC＝4，BC＝3，PD：DC＝5：3，AD⊥PB，将△PAD
（）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5 分）已知 a，b∈R．下列四个条件中，使 a＞ b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b﹣1
B．log a＞log b
2
2
1
C．|a|＞|b|
D．2a＞2b
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形边长为 1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （）
75°，∠E＝60°，则 A、B 两点之间的距离为
2 ．（其中 cos 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知等差数列{an}满足 a3+a4＝9，a2+a6＝10；又数列{bn}满足 nb1+（n﹣1）b2+…+2b
A．（﹣∞，0）
B．（0，1）
C．{1}
D．（1，+∞）
2．（5 分）若复数（a﹣i）2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C． 2
D． - 2
휋 3．（5 分 ） 设 奇 函 数 f（ x） ＝ sin（ ωx+φ） +cos（ ωx+φ）（ω＞ 0， |φ|＜ 2） 的 最 小 正 周 期 为 π， 则
B． 17
C．3 2
D．127
11．（5 分）三棱锥 A﹣BCD 中，底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形，侧面三角△ACD 为等腰三角形， 且腰长为 13，若 AB＝2，则三棱锥 A﹣BCD 外接球表面积是（ ）
A．4π
B．8π
C．12π
D．16π
12．（5 分）已知实数 x1，x2，…，xn（n∈N*且 n≥2）满足|x i|≤1（i＝1，2，…，n），记 S（x1，x2，…，
【解答】解：由 S1，S2，S4 成等比数列，
∴（2a1+d）2＝a1（4a1+6d）．
∵d≠0，∴d＝2a1．
푎2 ∴푎1
=
푎1 + 푎1
푑
=
3푎푎11
=
3．
故选：C．
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求 值，是一道综合题．
5．（5 分）（2021 秋•荔湾区校级期中）已知 a，b∈R．下列四个条件中，使 a＞ b成立的充分而不必要 的条件是（ ）
（1）f（x）≥0 在 x≥0 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）探讨 f（x）的零点个数．
[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 휋
22．（10 分）直线 l 的极坐标方程为 ρsin（θ - 4）＝2 2，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ，以极点为原 点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．
A． - 3
B．± 3
3 C． 3
푥3 9．（5 分）函数 y = 3푥 ‒ 3 ‒ 푥的图象大致是（ ）
3 D．± 3
高考复习
A．
B．
习
C．
D．
x≥1
{ 10．（5 分）已知
M，N 是不等式组
푥
‒
푦 푦
≥ +
1 1
≥
0所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值
푥+푦≤6
是（ ）
34 A． 2
即 φ＝kπ - 4，k∈Z， 휋
∵|φ|＜2， 휋
∴当 k＝0 时，φ =- 4，
即 f（x） = 2sin2x， 휋 3휋
则 f（x）在（4， 4 ）单调递减， 故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决 本题的关键．
4．（5 分）（2015•萍乡三模）设 S n是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 S 1，S 2，S 4成等比数 푎2
{ ∴ a‒2 ‒2푎1＜=00，解得 a＝1．
故选：A．
【点评】熟练掌握复数的运算法则和几何意义、在 y 轴负半轴上的点的特点是解题的关键． 휋
3．（5 分）（2013•阎良区校级二模）设奇函数 f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ 2）的最 小正周期为 π，则（ ） 휋 A．f（x）在（0，2）单调递减 휋 3휋 B．f（x）在（4， 4 ）单调递减 휋 C．f（x）在（0，2）单调递增 휋 3휋 D．f（x）在（4， 4 ）单调递增 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；GP：两角和与差的三角函数．
高考
A．48
B．36
C．32
D．24
7．（5 分）执行如图所示的程序框图．若输出 S＝15，则框图中①处可以填入（ ）
试卷
A．n＞4
B．n＞8
C．n＞16
D．n＜16
8．（5 分）设直线 x﹣ky﹣1＝0 与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为2 3，
2
则实数 k 的值是（ ）
沿 AD 边折起到 SAD 位置，如图 2，且使 SB = 13． （Ⅰ）求证：SA⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．
高考复
19．（12 分）为考察某种病毒疫苗的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：疫苗效果试验列 联表
感染
未感染
总计
没服用
20
30
A．a＞b﹣1 C．|a|＞|b|
B．log2a＞log2b D．2a＞2b
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】由 log2a＞log2b⇔a＞b＞0⇒ a＞ 푏，反之不成立，例如 b＝0 时． 【解答】解：由 log2a＞log2b⇔a＞b＞0⇒ a＞ 푏，反之不成立，例如 b＝0 时． ∴使 a＞ b成立的充分而不必要的条件是 log2a＞log2b． 故选：B．
C、D 四点，
（1）求四边形 ABCD 面积最大时双曲线 C2 的方程； （2）当 b＝1 时，两条平行直线 l1：y＝kx+m、l2：y＝kx﹣m 与双曲线 C2 均相切，问 x 轴上是否存在 定点 M，使 M 到 l1、l2 距离之积恒为 1，如果存在求出 M 点的坐标． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝emx﹣1﹣x（m＞0）．
（Ⅰ） 求直线 l 与圆 C 的直角坐标方程．
（Ⅱ） 若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲] 2
23．已知函数 f（x）＝|3x+1|．
6
（1）若不等式 f（x）≥﹣|x|+a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
1
12
7
（2）若对于任意实数 x，y，有|x+y+1| ≤ 3，|y - 3| ≤ 3，求证：f（x） ≤ 9．