二轮冲刺训练 均值不等式(讲义版)

二轮冲刺训练均值不等式1、（天津市滨海新区七所重点校联考2021届高三上学期期末毕业

班联考）已知正实数a,b满足lg(a+b)=lg2b

a +lg a

b

，则1

2a

+1

2b

+

a

b

的最小值为__________．

2、（天津市第八中学2020-2021学年高三下学期第一次统练）已

知正数x，y满足x+y=1，则4

x+2+1

y+1

的最小值为______ ．

3、（天津市第十四中学2021届高三下学期开学考试）已知x>

0，y>0，√2是2x与4y的等比中项，则1

x +x

y

的最小值

______________．

4、（天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考）已知a>

0，b>0，c>1，且a+b=1，则(2a+b

ab −3)⋅c+√2

c−1

的最小值

为________．

5、（天津市和平区2021届高三下学期第一次质量调查）已知

a>0，b>0，则22

a+√2b

的最小值为___________

6、已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，则x+y的最小值为．

7、（天津市红桥区2021届高三下学期3月质量调查）已知x>

0，y>−1，且x+y=1，则x2+3

x +y2

y+1

最小值为__________

8、（天津市静海区一中2021届高三上学期期末考试）已知实数

x，y满足x>y≥0，则4x

x+y +x+y

x−y

的最小值是______.

9、（2020-2021学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一））已知a>0,b>0，a+b+c=1，则a2+b2+2

c−1

的最大值是________ 10、（天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考模

拟（一））已知lg(x+2y)=lg x+lg y，则xy+x+2y2

y 的最小值为

_______．

11、（天津市杨村第一中学2021

届高三下学期开学考试）若

4x>y>0，则y

4x−y

+x

y

的最小

值为______.

12、（天津市第二十五中学2020

年高三3月）已知正实数x,y满

足xy=1，则(x

y

+y)(y

x

+x)的

最小值为．

13、（天津市静海区大邱庄中学2020届高三下学期第一次月考）

己知x>0，y>0，且2

x +1

y

=1，若x＋2y≥m2＋2m恒成立，则实数m

的取值范围________.

14、（天津市静海一中2020届高三下学期月考（3月））已知a，

b均为正数，且a+b=1，a2+1

2ab

−1的最小值为________.

15、（天津市南开区南开中学2020届高三下学期第六次月考）已

知x，y为正实数，则4x

4x+y +y

x+y

最大值为________．

16、（天津市南开区南开中学2020届高三下学期第五次月考）若正实数a,b满足(2a+b)2=1+6ab，则ab

2a+b+1

的最大值为

______，此时a+b=______.

17、（天津市南开区南开中学2020届高三下学期第一次月考）

已知实数x,y满足x2+y2=3，则1

(2x+y)+4

(x−2y)

的最小值为

___________．

18、（天津市南开中学2020届高三上学期12月月考）已知b>2a>0，则b2+1

a(b−2a)

的最小值为__________．

19、（天津市南开中学滨海生态城学校2020届高三下学期第三次月考）已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N∗，满

足a m a n2=a42，则2

m +1

n

的最小值为__________．

20、（天津市实验中学2020届高三年级3月）已知a,b均为正数，且a+b=1，则当a= _____时，代数式a2+1

2ab

−1的最小值为________.

21、（天津市天津中学2020届高三3月月考）已知实数若x、y满

足x>y≥0，则4x+2y

x+y +x+y

x−y

的最小值是______．

22、（天津市武清区杨村一中2020届高三下学期开学考）已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+y

3

+1

x

+3

y

=5，则3x+y的最小值为________．

23、(天津市耀华中学2019届高三下学期开学考数学（理）)不等式x+2√2xy≤a(x+y)对任意正数x、y恒成立，则正数a的最小值是______

的

参考答案

1、1+√5

2

2、9

4

3、2√2+1

4、4+2√2

5、2

6、18

7、2+√3

8、

9、-2

10、4+4√2

11、5

4

12、(x

y +y)(y

x

+x)=1+x2

y

+y2

x

+xy=2+

x3+y3

xy

=2+x3+y3≥2+2√x3y3=4.当且仅当x=y=1时等号成立.

据此可知：(x

y +y)(y

x

+x)最小值为4.

13、由2

x +1

y

=1，可得x+2y=(x+2y)(2

x

+

1 y )=4+x

y

+4y

x

≥4+2√x

y

⋅4y

x

=8，

而x+2y≥m2+2m恒成立⇔m2+2m≤(x+2y)min，

所以m2+2m≤8恒成立，即m2+2m−8≤0恒成立，解得−4≤m≤2，

故答案为：[−4,2].

14、【详解】因为a+b=1，

所以a2+1

2ab

−1=a2+(a+b)2

2ab

−1=a

b

+b

2a

≥

2√a

b

⋅b

2a

=√2，

当且仅当a

b

=b

2a

，即a=√2−1、b=2−√2时取等号，

故答案为：√2.

15、4x

4x+y

+y

x+y

=4x2+8xy+y2

4x2+5xy+y2

=1+3xy

4x2+5xy+y2

=

1+3

4x

y

+y

x

+5

，因为4x

y

+y

x

≥4，所以4x

4x+y

+y

x+y

≤

1+3

4+5

=4

3

，当且仅当4x

y

=y

x

时等号成立.

16、【详解】(2a+b)2=1+6ab≤1+3×

(2a+b)2

4

，解得(2a+b)2≤4，即2a+b≤2，当且仅当2a=b时等号成立，

2a+b最大值为2，所以ab

2a+b+1

=

1

6

[(2a+b)2−1]

2a+b+1

=

1

6

(2a+b−1)的最大值为1

6

×(2−1)=1

6

．

由b=2a代入已知得(4a)2=1+12a2，a=1

2

（∵a>0），从而b=2a=1，a+b=3

2

．

故答案为：1

6

;3

2

．

17、

1

(2x+y)

+4

(x−2y)

=[1

(2x+y)

+