运筹学第一章线性规划

0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
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二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
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方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
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建模应注意： 如何设好变量； 将解题的步骤写清； 约束条件按实际情况分类写清，勿遗漏； 目标函数和约束条件写好后，应合并同类项整 理好，且约束条件的右边为不含有变量的数字；
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第二节 线性规划问题的解和单纯形法
一、线性规划的图解法
❖ 用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。
❖ 有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。
❖ 存在一定约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。
2、数学模型
目标函数：max(min)z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n , b1
X31+X32+X33<=80
X41+X42+X43<=200
Xij>=0
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（二）人力资源的分配 P70 习题1－4： 设从第i班(i＝1,2,3,4,5,6)才开始工作的人数为Xi minZ＝X1+X2+X3+X4+X5+X6 S.T. X1+X6≥4 X2+X1 ≥8 X3+X2≥10 X4+X3 ≥7 X5+X4≥12 X6+X5≥4 Xi ≥0 （三）合理下料（套裁下料、切割损失）
X1－Y1 +X2－Y2+X3 <=300
200+X1－Y1>=0
销售数量的限制
200+X1－Y1+X2－Y2>=0
200+X1－Y1+X2－Y2+X3－Y3>=0
Xi>=0, Yi>=0
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（六）投资
P8 例1. 5 P71 习题1－8 设Xij为第i年初（i=1,2,3）投资于j项目（j=1,2）的金额。 (万元) MAX 1.7X31+3X22 S.T. X11+X12=10 X21+X22-1.7X11=0 X31－1.7X21－3X12=0 Xij>=0
设约束方程组（1.15）的系数矩阵A秩为m，由m<n，故 有无穷多个解，假设前m个变量的系数列向量是线性无关的 ，那么，约束方程组（1.15）可写成
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a11 a21
am1
X1＋
a12 a22
am2
a1m
a2m
X2＋…＋
amm
1947年丹捷格（G.R.Dantzig）等人提出了求解线性规 划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基 础。
特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得 到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条 件和变量的大规模线性规划问题。
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2、研究对象 一类是在现有人力、物力、财力的条件下，研究如何合 理地计划和安排，使得某一目标达到最大（产量最大、利 润最大）。 另一类是任务确定后，如何计划和安排，用最少的人力 、物力和财力，去实现该任务，使得成本最小。
(1.14)
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使用矩阵和向量的形式，可表示为：
Max CTX
S.T.
AX=B
(1.16)
X>=0,B >=0
2、非标准形式线性规划问题的标准化
1）目标函数的转化。
MinZ=CTX
Max(-Z)=－CTX
当求出目标函数最大值后，乘以－1，可以得到原问题 的目标函数最小值。
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
X1，X2，…，Xm）T
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若令(1.19)式的非基变量Xm＋1＝Xm＋2＝…＝Xn＝0，可以 求出一个解：X=（X1，X2，…，Xm，0，…，0）T称X为基 本解。若满足非负约束条件的基解。称为基可行解。对应 于基可行解的基，称为可行基。
3、用决策变量的线性函数来表示写出所要追求的目标， 我们称之为目标函数。按问题的不同，可能要求这目标函数 实现最大化或最小化。
4、这些决策变量需要一定的限制和约束，这些约束条件 可以用一组线性等式或不等式来表示。
《运筹学》 第一章 线性规划
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三、线性规划的特点及数学模型的一般形式
1、为什么叫线性规划？
大且又要在可行域内的直线
C(0,3)
B(301/45,49/45) L*。与可行域相切的点B即
O
A(7,0)
为最优解。最优解为X*＝ X1 (301/45，49/45)T，最优值为
Z*＝280/9
2、无穷多解
X2
maxz=3X1+2X2
s.t.
C
3X1+2X2<=16
5X1＋X2<=15
X1<=4
基向量、基变量：
a11 设B＝ a21
a12 a 22
am1 am2
a1m
a2m
＝（a1，a2，…，am）
(1.17)
amm
称aj（j＝1,2, …，m）为基向量。
它们是一个线性无关的向量组，与基向量对应的变量Xj （j＝1,2, …，m）称为基变量。其他变量就称为非基变量。
3、基本解、基可行解、可行基：
Z＝ X1＋X2 X1
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4、无可行解——可行域为空集
X2
maxz=2X1+4X2
L3: X1<=4
s.t.
L1: X1+X2>=6
X1＋X2>=6 X1＋2X2<=6
L2: X1＋2X2<=6
L4: X2<=3
X1 <=4, X2<=3
X1>=0, X2>=0
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P71 习题1－12：
四边形OABC区域（含边
X2
界）是四个半平面的交集， 称之为可行域。
L2: 7X1+2X2<=49
视为以X1、X2为变量，z
为参数的一族直线。它们互
L*： X2 = －X1 +Z/4 相平行，斜率为－1。
在这族等值线中Z取得最
L1:2X1＋7X2<=21
a x21 1 a x22 2 a x2n n , b2
满足约束条件：
am1x1 a x m2 2 a x mn n , bm
x1, x2,, xn 0变量的非负约束条件
Cj为价值系数，aij为技术系数，bi为资源（限额）系数
四、线性规划问题举例
（一）生产计划 生产过程中合理安排机器设备和原材料，使得工厂获利
二、一般线性规划问题的建模过程（方法）
追求什么目标？ 决策变量？ 目标函数？ 约束条件？
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课本P4例1.1: 生产安排问题 设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂 的总利润。 maxz=3X1+2X2+5X3
s.t. X1+2X2+X3<=430 ——第一道工序 3X1＋2X3<=460 ——第二道工序 X1+4X2<=420 ——第三道工序 X1>=0, X2>=0 , X3>=0
P6 例1. 3 切割损失最少
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（四）配料
P5 例1. 2 P7 例1. 4
（五）仓储
P70 习题1－6
设Xi为第i个月进货的件数，Yi为第i个月销售的件数。
MAXZ=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－6X2－9X3
S.T.
X1<=300 X1－Y1+X2<=300 仓容限制
2）约束条件的转化。
n
n
ajixi bj
ajixi xn i bj
i 1 n
ajixi bj
i 1 n
ajixi xn i bj
i 1
i 1
松弛变量Xn+i>=0 剩余变量Xn+i>=0
3）变量的非负约束。 若Xk为无约束的变量，则令Xk ＝ Xk `－ Xk `` Xk `, Xk `` >=0 4）约束条件右边为负。 两边乘以－1 P11 例1. 6 P71 习题1－10（1）
B(2.5,1.5)
最优值Z*＝6×2.5－ 2×1.5＝12
OA
X1
L* L1: X1－X2<=1
3、无最优解(无界解)
X2
maxz=X1+X2 s.t. X1－X2<=1 -3X1＋2X2<=3 X1>=0, X2>=0
可行域无界，目标函数 0 值可以增大到无穷大，称为 无界解，即无最优解。
L2: －3X1＋2X2<=3 L1: X1－X2<=1
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解 法来求解。
图解法简单直观，有助于了解线性规划求解的基本原理。
1、有唯一最优解 P12例1.7：
maxz=4X1+3X2
s.t. 2X1+3X2<=6 ①
－3X1＋2X2<=3 ② 2X2<=5 ③
2X1+X2<=4 ④ X1>=0, X2>=0 ⑤
满足约束条件：
am
x1 1 am x2 2 x1, x2,, xn
： max z
n
bj 0, j 1,2,m
cixi
S.T.
n
i 1
ajixi bj,
j 1,2, , m
(1.15)
i1Xi>=0, i=1,2,…,n
bj >=0, j=1,2,…,m
最大。 例1. 1
P70 习题1—7 :
设Xij为第i个车间分配到第j种部件的工时数。
MAXZ= MIN (10X11+15X21+20X31+10X41,
15X12+10X22+5X32+15X42, X13+5X23+10X33+20X43)
S.T.
X11+X12+X13<=100
X21+X22+X23<=150
X1>=0, X2>=0
L*即边BC，故BC上的
任意一点都是最优解，有无
穷多个。
0
最优值Z*＝3×0＋2×8＝16
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L2
L3 B
L1 A
L* X1
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P71 习题1－11： X2
L2: 3X1－X2<=6 L*上(从B以上)的任
意一点都是最优解，有 无穷多个。
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1、融会贯通地理解要解决的问题，搞清在什么条件下， 要追求什么目标？
2、这个要实现的目标是由一组变量决定的，决策变量。 定义决策变量，每一个问题用一组决策变量（x1,x2,x3…,xn） 来表示某一方案，每组决策变量的值就代表一个具体方案； 一般这些变量取值是非负的；
第一章 线性规划
内容
1
线性规划及其建模
2
图解法
3
线性规划的标准形式
4
单纯形法
5
大M法和两阶段法
6
几种特殊情况的解
第一节 线性规划的数学模型
一、线性规划简介
1、线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹 学中研究比较早，理论上比较成熟，在方法上有效，应用 广泛的一个分支。
1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的 希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定 交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。