九年级数学下册《三角函数》专题提优练习(含答案解析)

《三角函数》专题提优练习
1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）
A．B．C．D．
2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）
A．B．1C．D．
3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）
A．等于
B．等于
C．等于
D．随点E位置的变化而变化
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）
A．B．1C．D．2
5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝，则k的值为（）
A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣2
6．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．
7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE
折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE
的值为．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．
12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝．
13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）
A．B．C．D．
【分析】作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD．在Rt△DME，Rt△GME，Rt△AGN，Rt△EFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN的长，即可得
cos∠EFG值．
【解答】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2
∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC
∵AB∥CD
∴∠A＝∠MDC＝60°
∵E是CD中点
∴DE＝1
∵ME⊥AD，∠DMC＝60°
∴∠MED＝30°，且ME⊥AD
∴DM＝，ME＝DM＝
∵折叠
∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG
在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．
∴GE2＝（2﹣GE+）2+
∴GE＝
在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB
∴AG＝2AN
∴AN＝
∴GN＝
∵BC＝CD＝2，∠C＝60°
∴△BCD是等边三角形
∵E点是CD中点
∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°
∴BE＝
∵AB∥DC
∴∠ABE＝90°
在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．
∴EF2＝3+（2﹣EF）2．
∴EF＝
∴AF＝
∵NF＝AF﹣AN
∴NF＝
在Rt△GNF中，GF＝＝
∴cos∠EFG＝cos∠GFN＝＝
故选：C．
【点评】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）
A．B．1C．D．
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）
A．等于
B．等于
C．等于
D．随点E位置的变化而变化
【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵EH∥CD，
∴△AEH∽△ACD，
∴＝＝．
设EH＝3x，AH＝4x，
∴HG＝GF＝3x，
∵EF∥AD，
∴∠AFE＝∠F AG，
∴tan∠AFE＝tan∠F AG＝＝＝．
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠F AG的正切值来解答的．
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）
A．B．1C．D．2
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB＝tan∠P＝，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB＝∠P，
∵PB′＝2，PQ＝2，B′Q＝4，
∴PB′2+QB′2＝PQ2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB＝tan∠P＝＝＝2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝，则k的值为（）
A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣2
【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的机会意义得到S△AOD＝1，再根据正切的意义得到tan A＝＝，则OB＝OA，接着证明Rt△AOD ∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝2，所以•|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，
在Rt△AOB中，tan A＝＝，
∴OB＝2OA，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴＝（）2＝2，
∴S△OBC＝2S△AOD＝2，
∴•|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质．
二．填空题（共8小题）
6．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．
【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，证出AB＝FC，BF＝CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF＝45°，即可得出答案．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵FC＝2BF，
∴BF＝1，FC＝2，
∴AB＝FC，
∵E是CD的中点，
∴CE＝CD＝1，
∴BF＝CE，
在△ABF和△FCE中，，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∴cos∠AEF＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′＝∠BOD，
∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE＝，
∴O′E＝＝，
∴tan BO′E＝，
∴tan∠BOD＝3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC＝AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM＝NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO＝∠NLO＝90°，
∵∠AOM＝∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM＝2a，NL＝a，
∴＝2，
∴，
∴，
∵NL＝LM，
∴，
∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠F AE＝∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，
∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，
即tan∠BOD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，
∴KO：KF＝1：2，
∴KO＝OF＝CF＝BF，
在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，
∵∠AOD＝∠BOF，
∴tan∠AOD＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．
【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．
【解答】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，
∴∠BA'C＝90°，
在Rt△A'CB中，A'C＝＝8，
设AE＝x，则A'E＝x，
∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，
∴x＝2，
∴AE＝2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，
∴sin∠ABE＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．
【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE＝EH，设BE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CH，
∴∠ADM＝∠H，
∵AM＝BM，∠AMD＝∠HMB，
∴△ADM≌△BHM，
∴AD＝HB＝2，
∵EM⊥DH，
∴EH＝ED，设BE＝x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°
∵AE2＝AB2﹣BE2＝DE2﹣AD2，
∴22﹣x2＝（2+x）2﹣22，
∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴cos B＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42
＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A＝．
【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，BC•AD＝AB•CE，
即CE＝＝，
sin A＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为y＝（0＜x≤2）．
【分析】作FM⊥BC于M．由△DBE≌△EMF，推出FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，由FM∥AB，推出＝，即＝，由此即可解决问题．
【解答】解：作FM⊥BC于M．
∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，
∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEM＝90°，
∴∠BDE＝∠FEM．
在△DBE和△EMF中，
，
∴△DBE≌△EMF，
∴FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，
∵FM∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x≤2）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。