3-2非周期信号的傅立叶变换
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
傅里叶变换及反变换
j j
/ ad , a / ad , a
0 0
1 a
F ( j ), a
a
0
1 a
F
(
j
a
),
a
0
1 a
F( j)
a
6 展缩特性：
f (t) F ( j )，则
f (at)
1
F( j )
aa
G
(t)
sa
2
, a 是不为零的实数
G(t)
1
2
0
2
2
t
当a＝－1时， f (－t ) F (－j )
F ( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] F *( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
13 时域积分定理： 14 信号能量与频谱的关系
8 频移特性：
正弦幅度调制
调制 信号
s(t) r(t)
p(t) cos(0t )
载波
相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度， 这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。
推论： 若f(t)为实信号，则 F ( j ) F *( j ) 即实信号的频谱是共轭对称函数 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
工程信号分析与处理技术 第3 章 确定性信号分析
A0 An cos(n0t n )
n1
（画幅值谱Ann 0 相位谱nn 0）
sin cos( )
转化成cos函数：
2
sin cos( )
（画相位谱nn
0） cos
cos(
2
)
sin
n0t
cos(n0t
2
)
sin
n0t
cos(n0t
2
)
cos n0t cos(n0t )
2j
正交函数集
n个函数g1(t), g2(t), gn(t)构成一函数集,
如在区间(t1, t2 )内满足正交特性,即
t2 t1
⒊ 傅里叶变换的性质—幅频特性和相频特性； ⒋ 时域信号频谱分析的方法—几种典型信号的 频谱； ⒌ 帕色瓦尔定理； ⒍ 卷积的物理意义和计算过程。
第3章 确定性信号的分析目录及要求
教学难点：
⒈ 信号在时域和频域的特征及其对应关系； ⒉ 时域信号的吉布斯现象—以方波和矩形脉冲信 号为例； ⒊ 信号的幅频特性和相频特性； ⒋ 周期脉冲信号和矩形脉冲信号的频谱—功率谱 ； ⒌ 卷积的概念和计算过程。
n1
变形为：
(n 1,2,3,...)
f (t) A0 An cos(n0t n )
n1
2. 傅里叶级数的复指数函数展开式
欧拉公式 ejn0t cos(n0t) jsin(n0t)
cos( n0t )
1 2
(e jn0t
e jn0t )
sin( n0t )
1 2j
(e jn0t
e jn0t )
掌握：
分积分公式：
b
bb
a ud(v) (uv) a a vd (u)
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
信号与系统讲义3-2
1
τ
2
F( jω)
−τ 2
τ
2
t
−ω0
0
ω0
ω
已知： 已知：Gτ (t) ⇔τ Sa(ωτ )
2
利用频移特性： 利用频移特性： F( jω) = Sa
2
1 f (t) = Gτ (t) cosω0 t = Gτ (t)[e jω0 t + e− jω0 t ] 2 τ (ω −ω0 )τ τ (ω +ω0 )τ
ω
ω
第一个过零点不变
第3章第2讲 8
结
论
2π
τ 不变，Fn 的第一个过零点频率不变， 的第一个过零点频率不变，
即 ω=
τ
，∴ ∆f =
1
τ
带宽不变。
T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅 由小变大，谐波频率成分丰富， 度变小。 度变小。 T → ∞ 时，谱线间隔 → 0 ，这时： 这时： 周期信号 → 非周期信号；离散频谱 → 连续频谱 非周期信号；
同理： sin ω0 tε(t) = 同理：
π
1 jω0 t [e ε(t) − e− jω0 t ε(t)] 2j π ω0 sin ω0tε (t) ⇔ [δ (ω −ω0 ) −δ (ω +ω0 )] − 2 2j ω0 −ω2
第3章第2讲 24
举 例
脉冲调制信号 Gτ (t)cos ω0t
2 + 2 Sa 2
一般有: 一般有:
1 f1(t) cosω0 t ⇔ [F (ω +ω0 ) + F (ω −ω0 )] 1 1 2
第3章第2讲 25
举 例
指数正弦函数 e−αt cos βtε(t)
非周期信号的傅里叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
信号与系统课程第06讲 非周期信号的分解——傅里叶变换
1
第06 讲
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2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
本章主要内容
4.1 引言 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
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2 2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
4.1 引言 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱
4.4 非周期信号的频谱
4.5 傅里叶变换的性质 4.6 能量谱和功率谱 4.7 周期信号的傅里叶变换
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3 2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
1
0
+ j 0 j +
F ( j ) = 1
2 +2
(
)
=
−
arctan
2
o
( )
o
− 2
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2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
12
双边指数信号
f (t ) = e− t − t
0
e− t (t)
f (t)e− j t dt =
−
0 e( − j )t dt +
当T→∞时，有 → d , n → , →
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2019/10/8
信号与系统——非周期信号的分解—傅里叶变换
7
∵
F( j) = lim 2Fn ，则
T →
F( j)
lim
T →
Fn
非周期信号的傅里叶变换
非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换前面已讨论了周期非正弦信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变换。
当周期信号的重复周期t无限增大时，周期信号就转化为非周期信号（单个不重复信号），如对于周期矩形脉冲波，当周期t趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。
从例6-1-2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。
尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。
为区别这种相对大小，在周期t趋于无穷大时，求的音速，并定义此极限值为非周期函数的频谱函数，即离散的频谱转为连续频谱，上式可改为：（6-4-1）对于一个非周期信号，可以由上式算出其频谱函数，同理若未知非周期信号频谱函数，则也可求出其时域表达式。
其计算式为：（6-4-2）式（6-4-1）与式（6-4-2）是一对傅里叶积分变换式，式6-4-1把时域信号切换为频域的频谱函数信号，称作傅里叶正转换。
而式6-4-2就是把频域信号变换为时域信号，称为傅里叶逆变换。
进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。
基准6-4-1 求图6-4-1a右图的单个矩形波的频谱函数，并作振幅频谱与相位频谱图。
图6-4-1解：单个矩形波的频谱函数为：它的幅度频谱与增益频谱例如图6-4-1b、c右图。
从振幅频谱图上可见，矩形脉冲信号所包含的频率分量随频率增大而很快减小，信号主要成份集中于之间，即为频率宽度为。
如果脉冲宽度变窄，即值变小，则信号主要频率分量所占的频率范围就变大。
反之当脉冲变宽，值变大，则其主要频率分量范围就变小。
对于一个较窄的脉冲信号，如果电路要使它通过，则电路的特性必须能使较大频率范围的所有信号都能通过。
傅里叶变换在信号分析与处理中有重要意义。
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
信号与系统分析宗伟 3
2
1
fT t
n jn1t F n e 1
由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义)
FT F fT t
F F n 1 e j n1t F n 1 F e j n1t
3.2 非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换
1.从傅立叶级数到傅立叶变换
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号 频率也变成连续变量
频谱演变的定性观察
-T/2
T/2
-T/2
T/2
傅立叶 变换
傅立叶的逆变换
傅立叶 逆变换
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数
若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数
傅立叶变换存在的充分条件
用广义函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
傅立叶正变换：
傅立叶反变换： 符号表示：
试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数
[解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A
/ 2
/2
t
6. 卷积定理
(1)时域卷积定理
若 f1 (t ) F1 ( j ) , f 2 (t ) F2 ( j )
则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
证明：F[ f1 (t ) f 2 (t )] [
n 1
3．确定信号的基频和周期
当不考虑信号的直流分量时, 的3个分量的角频率分别时 1/2,2/3,和7/6,相邻两个频率之比为3/4,4/7,和3/7,显然 三者之间呈现谐波关系,他们之中的最大公约数时1/6,因 此1/6是基频 ,也就时说该信号具有3次,4次和7次谐波, 进一步可求得周期
非周期信号的频谱分析
X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数，通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解：将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意 激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔，f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件，则 f t 可以展开为三角形
非周期信号的傅里叶变换
0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中 含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱 中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换 冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换
信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱
信号分析基础(非周期信号频域分析)
非周期信号的频谱 2.傅立叶逆变换
浙江工业大学
X
(
j
)
lim
T0
Cn
T0
lim f 0
Cn f
→
Cn
lim
T0
X ( j)
T0
lim
T0
X(
j) 0 2
x(t) Cne jn0t
n 0,1,2,
n
x(t) lim X ( j) 0 e jn0t
3 23
0 0
(a) T=3
3 23
t t
2 (a) T=3 2
WR (t)
k=3 WR (t) 1
1
0 0
-1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1t0
n T0
2
✓ 当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离 散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t) 1 X ( j) e jtd
2
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
非周期信号的频谱 3.傅立叶变换对
X ( j) x(t)e jt dt
Af0
x( f ) A
10 1 f0 f0
t
f0
0
f0 f
2
2
浙江工业大学
非周期信号的频谱
浙江工业大学
(3).尺度特性 若x(t) ↔ X(jƒ)，则
非周期信号的频谱
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F
傅里叶变换(周期和非周期信号)
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
信号与系统里的傅里叶变换
信号与系统里的傅里叶变换信号与系统是电子信息类专业中的一门重要课程，而傅里叶变换作为信号与系统中的核心概念之一，具有重要的理论和实际应用价值。
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的数学工具，可以分析信号的频谱特性，并且在信号处理、通信、图像处理等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的基本思想是将一个时域上的信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加，通过对信号进行频谱分析，可以得到信号的频率成分、幅度和相位信息。
在傅里叶变换中，信号在频域中的表示被称为频谱，频谱图可以直观地显示信号的频率分布情况，有助于我们理解和分析信号的性质。
傅里叶变换的数学表达式较为复杂，但是我们可以通过一些简单的例子来理解其基本原理。
假设我们有一个周期为T的周期信号，通过傅里叶变换，可以将这个信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
频率最高的分量被称为基频，其余的分量则是基频的整数倍。
通过对这些分量的幅度和相位进行适当的调整，就可以还原原始信号。
傅里叶变换不仅可以分析周期信号，还可以分析非周期信号。
对于非周期信号，我们可以将其视为周期趋于无穷大的周期信号，通过傅里叶变换可以得到其频谱信息。
在实际应用中，非周期信号更为常见，例如音频信号、图像信号等都是非周期信号。
通过傅里叶变换，我们可以将这些信号转换到频域中进行分析和处理。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频谱特性，还可以对信号进行滤波和频域处理。
滤波是指通过调整信号的频谱来实现对特定频率成分的增强或抑制。
例如，我们可以通过低通滤波器来去除高频噪声，或者通过高通滤波器来增强低频信号。
频域处理则是指在频域中对信号进行运算和处理。
例如，我们可以通过频域乘法实现信号的卷积运算，或者通过频域加法实现多个信号的叠加。
除了傅里叶变换，还有一种相关的概念叫做傅里叶级数展开。
傅里叶级数展开是将周期信号分解成一系列正弦和余弦波的叠加，不同的是，傅里叶级数展开是在时域上进行分析，而傅里叶变换是在频域上进行分析。
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t
c 0 2
c 2
直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
δ (t )
f (t)
1
1
F ()
F ()
1
2πδ ()
线性
若 则
FT [ f i ( t ) ] = F i ( )
n FT ∑ a i f i ( t ) = i =1
∑ a F ( )
i =1 i i
n
的傅立叶变换。 例1：求 f (t) 的傅立叶变换。
F ()
f(t) 0
t
F () (
F ( ) =
π 2 () = π + 2
2
α +
2
2
+π 2
2
π
j
( > 0) ( < 0)
尺度变换特性
若 则
FT [ f ( t )] = F ( )
1 FT [ f ( at )] = F( ) a a
1 a ∞ ∞
x j a
1 a > 0 FT[ f (at)] = ∫ f ( x)e dx = F ( ) a a x 1 ∞ 1 j a a < 0 FT[ f (at)] = ∫ f ( x)e dx = F ( ) a ∞ a a
2
1
f (t )
τ f (t ) = [u (t + τ2 ) u (t τ2 )] + [u (t + τ ) u (t τ )]
τ
τ 2
τ
t
2
F ( ) = τ [ Sa ( τ / 2 ) + 2 Sa ( τ )]
2π
τ
奇偶虚实性— 为实函数 奇偶虚实性— f(t)为实函数
F () = ∫ f (t ) cos tdt j ∫ f (t ) sin tdt
∫
∫
∞
∞
F ( ) e j t d
∞
∞
F ( ) e j t d ,
FT [F ( t ) ] = 2 π f ( )
1 f ( ) = 2π
∫
∞
∞
F ( t ) e j t dt
f (t ) 1
τ
τ
0
F ()
0
2
τ
2
t
2π
2π
τ
τ
c 2π
F (t )
1
f ()
2π c
0
2π c
∞ ∞ ∞ ∞
偶函数
奇函数
R ( )
R() = R()
X () = X ()
X () F() = F*()
*
FT[ f (t )] = F () = F ()
实函数傅立叶变换的幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数; 实函数傅立叶变换的幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数; 实偶函数傅立叶变换为实偶函数， 实偶函数傅立叶变换为实偶函数，实奇函数傅立叶变换为虚 奇函数。 奇函数。
时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） 时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
1
f(t/2) 扩展
2τ
0
2 F (2 )
压缩
τ
0
τ t
f(t)
τ
2
τ
π τ
π τ
F ( )
0
1
τ 0
2
t
2π
2π
τ
τ
压缩
1
f (2t )
τ
1 F( ) 2 2
2
0
扩展
4π
τ / 4
0
τ /4
t
4π
τ
τ
时移特性
若a < 0,则有绝对值
例2：求三脉冲信号的频谱。 求三脉冲信号的频谱。
1
f (t )
-T
τ / 2 0 τ / 2
T
t
解：三脉冲信号的时域表达式为：
f (t ) = f 0 (t ) + f 0 (t + T ) + f 0 (t T )
而单脉冲 f0(t) 的频谱为F0 ( ) = Eτ Sa ( τ ) 则根据傅立叶变换的时移特性，有：
2
F () = F0 ()(1 + e
jT
+e
jT
)
= F0 ()(1 + 2 cos T ) τ = Eτ Sa( )(1 + 2 cos T ) 2
③ 奇异信号的傅立叶变换
阶跃信号
1 1 u ( t ) = + sgn( t ) 2 2
0
u (t )
t
1 FT[u(t)] = πδ() + j
0
F ()
④ 离散时间傅立叶变换
离散周期矩形序列的频谱 离散周期矩形序列的频谱
N1 = 2 N = 10
N1 = 2 N = 20
k
k
N1 = 1 N = 10
① 从傅立叶级数到傅立叶变换
FT存在的充分条件 存在的充分条件
∫
∞
∞
f ( t ) dt < ∞
用广义函数的概念，允许奇异函数也能满 用广义函数的概念， 足上述条件，因而象阶跃、 足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存 在傅立叶变换
② 典型信号的傅立叶变换
单边指数信号
e αt 表达式： 表达式： f (t ) = 0
T
τ
① 从傅立叶级数到傅立叶变换
频谱演变的定性观察
f (t )
F ( n 0 )
2π
T
τ τ
2 2
0
t
T2π
t
T
0 0
f (t )
T
τ τ
2 2
0
τ
f (t )
2π
τ τ
2 2
0
t
0
τ
① 从傅立叶级数到傅立叶变换
从周期信号 推导非周期的 从周期信号FS推导非周期的 从周期信号 推导非周期的FT
2 j 2 F ( ) = lim F1 ( ) = lim 2 = a→0 a→0 a + 2 j
幅频响应： 幅频响应： F () =
2
π 2 () = π 相频响应： 相频响应： + 2
( > 0) ( < 0)
F1 ()
e
a t
1 0
f1 (t )
t
-a 0 a 幅频响应： 幅频响应：
f (t )
π / 2 , < 0 () = π / 2, > 0
F ()
幅度响应： 幅度响应： t
-a 0
a
t
② 典型信号的傅立叶变换
表达式： 表达式：
E f (t ) = 0
(t ≤ τ ) 2 (t > τ ) 2
矩形脉冲信号
F ( ) = ∫
τ /2
τ / 2
Ee j t dt =
2 Eτ
实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数
f (t ) = e
α t
(∞ < t < +∞)
( ) = 0
F ()
2α F ( ) = 2 α + 2
f(t)
0
t 0
实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数
e f (t ) = at e
2 j F ( ) = 2 α + 2
at
(t > 0) (t < 0)
n =
∑ωF e
n
∞
傅立叶逆变换 傅立叶逆变换
jn0t
∞ ∞ ~ Fn jn0t 1 jn0t f (t) = ∑ e 0 = F ∑∞n T e (n0 ) 2π n0 = n=∞ 0
T → ∞，0 → 0， 0 → ，(n0 ) → d n
1 f (t ) = 2π
∫
∞
∞
F ( ) e
k
⑥ 傅立叶变换的性质
对称性线性... 奇偶虚实性... 尺度变换特性... 时移特性和频移特性... 微分和积分特性... 卷积定理...
对称性
若已知 则
FT[F(t)] = 2π f ()
F ( ) = FT [ f ( t ) ]
1 证明： f ( t ) = 2π 1 f ( t ) = 2π
① 从傅立叶级数到傅立叶变换
推广思路 推广思路
当周期信号的周期T趋于无限大时,它 当周期信号的周期 趋于无限大时 它 趋于无限大时 就演变成了非周期信号
T→ ∞
频率也变成连续变量
2π 0 = → d T
n 0 →
① 从傅立叶级数到傅立叶变换
周期方波频谱变化规律 周期方波频谱变化规律
不变， 若T 不变，在改变τ的情况 不变， 若τ不变，在改变T 时的情况
0
② 典型信号的傅立叶变换
eαt , t < 0 表达式： 表达式： f (t) = αt e ,t ≥ 0
双边奇指数信
号
F ( ) = ∫ e e
∞
0
at jt
dt + ∫ e at e jt dt
0
∞
1 1 2 = + =j 2 2 a j a + j a +
时域图形： 时域图形： 1 0
∞
f ( x)e j x dx = e j t0 F ()
j t 0
F ( )
带有尺度变换的时移特性
j t 0 / a 1 FT [ f ( at t 0 ) ] = F ( )e a a
FT[ f (at t0 )]= ∫ f (at t0 )e
∞
∞