2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案：
第1讲集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R [注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示
关系
自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，
则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有
一个元素不在集合A中
A B
(或B A)
集合相等集合A，B中元素相同A＝B
集合的并集集合的交集集合的补集
图形 语言
符号 语言
A ∪
B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }
A ∩
B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }
∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }
4.集合的运算性质
(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 常用结论
(1)对于有限集合A ，其元素个数为n ，则集合A 的子集个数为2n ，真子集个数为2n
－1，非空真子集个数为2n
－2.
(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .
(3)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x |y ＝x 2
＋1}＝{y |y ＝x 2
＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2
＋1}．( ) (2)若{x 2
，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区| (1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．
解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12
.
答案：0或1
2
3．已知集合A ＝{x |x 2
－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．
解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合的概念(自主练透)
1．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A ．若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；
当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，
所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.
2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C ．因为3
2－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x
的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.
3．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2
＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2
＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32
.
当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2
＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.
答案：－3
2
4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
0，b
a
，b ，则b －a ＝________．
解析：因为{1，a ＋b ，a }＝
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.
答案：2
解决集合概念问题的3个关键点
(1)确定构成集合的元素； (2)确定元素的限制条件；
(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[提醒] 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
集合的基本关系(典例迁移)
(1)已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A
B D ．B
A
(2)已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆
B 的集合
C 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 (1)由x 2
－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知A
B ，故选
C ．
(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B ⊆A ，
所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪
⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3]
【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围？
解：因为B
A ，
①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.
②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪
⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，
解得2≤m ≤3.
综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．
【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围．
解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩
⎪⎨⎪⎧m ≤－3，
m ≥3.所以m 的取值范围为∅.
【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m 的取值范围．
解：因为B ⊆A ，
所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．
②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩
⎪
⎨⎪
⎧m ≥2，
m <－12
.即m >4.
综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行分类讨论．
1．设集合M ＝{x |x 2
－x >0}，N ＝⎩
⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫1x
<1，则( )
A ．M
N B ．N M
C ．M ＝N
D ．M ∪N ＝R
解析：选C ．集合M ＝{x |x 2
－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩
⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫1x
<1＝{x |x >1或x <0}，所
以M ＝N .故答案为C ．
2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合
M 共有( )
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
解析：选A ．由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2
＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．
解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2
－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12
＋m ＋1＝0，
解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，
解得m ＝－5
2，此时B ＝
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)． 答案：[－2，2)
集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2
－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，
则A ∩B ＝( )
A ．{－4，1}
B ．{1，5}
C ．{3，5}
D ．{1，3}
(2)(2021·东北三校第一次联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
－2x －3＜0}，B ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ ( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
(3)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *
，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【解析】 (1)方法一：由x 2
－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合
B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，故选D ．
方法二：因为(－4)2
－3×(－4)－4>0，所以－4∉A ，故排除A ；又12
－3×1－4<0，所以1∈A ，则1∈(A ∩B )，故排除C ；又32
－3×3－4<0，所以3∈A ，则3∈(A ∩B )，故排除B ．故选D ．
方法三：观察集合A 与集合B ，发现3∈A ，故3∈(A ∩B )，所以排除选项A 和B ，又52
－3×5－4>0，所以5∉A ，5∉(A ∩B )，排除C ．故选D ．
(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故选B ．
(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4，选C ．
【答案】 (1)D (2)B (3)C
集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 角度二 利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2
－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B
＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
(2)(2021·福州市适应性考试)已知集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋my ＋1＝0}．若A ∩B ＝∅，则实数m ＝( )
A ．－2
B ．－12
C ．1
2
D ．2
【解析】 (1)方法一：易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a
2}，因为A ∩B ＝{x |－
2≤x ≤1}，所以－a
2
＝1，解得a ＝－2.故选B ．
方法二：由题意得A ＝{x |－2≤x ≤2}．若a ＝－4，则B ＝{x |x ≤2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，不满足题意，排除A ；若a ＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，
又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B ．
(2)因为A ∩B ＝∅，所以直线2x ＋y ＝0与直线x ＋my ＋1＝0平行，所以m ＝1
2，故选C ．
【答案】 (1)B (2)C
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性)．
1．(2021·河北九校第二次联考)已知集合A ＝{x |x 2
－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x
，
x ∈A }，则A ∪B ＝( )
A ．{1}
B ．{0，1，2}
C ．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，1，2，4 D ．{0，1，2，4}
解析：选B ．A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x
，x ∈A }＝{1，2}，所以
A ∪
B ＝{0，1，2}，故选B ．
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为( )
A ．{x |－2≤x ＜4}
B ．{x |x ≤2或x ≥4}
C ．{x |－2≤x ≤－1}
D ．{x |－1≤x ≤2}
解析：选D ．∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C ，则C ＝(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．
3．(2021·广东省七校联考)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2
－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )
A ．{1，－3}
B ．{1，0}
C ．{1，3}
D ．{1，5}
解析：选C ．由题意可得1－4＋m ＝0，解得m ＝3，所以B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，故选C ．
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
若集合A 具有以下性质： (1)0∈A ，1∈A ；
(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1
x
∈A .
则称集合A 是“好集”． 给出下列说法：
①集合B ＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .其中，正确说法的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 ①集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B ，1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．
②有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且
x ≠0时，1
x
∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．
③因为集合A 是“好集”，则0∈A ，由性质(2)知，若y ∈A ，则0－y ∈A ，知－y ∈A ，因此x －(－y )＝x ＋y ∈A ，所以③正确．故正确的说法是②③.故选C ．
【答案】 C
解决集合的新定义问题的两个切入点
(1)正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；
(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．
1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2
＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．
解析：由题意可知－2x ＝x 2
＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．
解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，
又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)。