北京市大兴区普通校2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

市大兴区普通校高二联盟考试2014-2015学年度第一学期期中数学
（理）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（）
A ．4-
B ．2-
C ． 2
D ． 4
2.正四棱锥的每条棱长均为2，则该四棱锥的侧面积为（ ） A. 4
2 B. 42+4 C.4
3 D.43+4
3.一个球的外切正方体的全面积等于6cm 2
，则此球的体积为 （ ）
A.334cm π
B.386cm π
C.36
1cm π D.366cm π
4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， 已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，
则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于 ( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c
5.已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列说法中不正确的是 （ ） A ．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B ．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C ．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D ．若m⊥α，β⊂m ，则α⊥β
6．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为( )
A ．36
B ．8
C ．38
D ．12 7.
空
间
四
边
形
ABCD
中
，
若
AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与
BD 所成角为（ ）
A 、030
B 、045
C 、060
D 、090
8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11
B C 俯视图
侧视图正视图23
正（主）视图
侧（左）视图
的中点，则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )
A ．①③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③ 二、填空题（每小题4分，共28分）
9. 正方体1111ABCD A B C D -中,平面D 1B 1A 和平面C 1DB 的位置关系是-----------
10. 一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2,3,6，则长方体的 体积是
__.
11.点(,2,1)P x 到(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为_____.
12. 将圆心角为1200
，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______________
13.空间坐标系oxyz 中,点A 在x 轴上,点)2,0,1(B ,且5||=AB ,则点A 坐标为__
14.一个几何体的三视图如图所示：则该几何体的外接球表面积为__________
15.正方体1111D C B A ABCD -中,1=AB 则
111D AB A 到面的距离为_________
三、解答题（每小题12分，共60分）
16.四边形ABCD 为直角梯形，2,4,//===CD BC AB CD AB ,
BC AB ⊥,现将该梯形绕AB 旋转一周形成封闭几何体，
求该几何体的表面积及体积。

C1C D A1
B1
C
D A
B
2
2 2 2 2 2
正视图
侧视图
俯视图 ()()
17.如图，正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和底面 边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1A B ∥平面1ADC ；
18.已知正方形ABCD 的边长为1，AC BD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥A —BCD ，如图所示． （1）求证：AO BCD ⊥平面； （2）求三棱锥A-OCD 的体积． (3)求二面角A-BC-D 的余弦
19．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ；
（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
20．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM ∥平面B;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，
N
C
D
A
B
M E
C 1
B 1
A D B
求ME
MN
的值.
联盟考试2014-2015学年度第一学期期中考试 高二数学（理）答题纸 一、选择题
二、填空题 9. 10. 11. 12. 13. 14.
15. 三、解答题 16.
17.
C
D A
B
1
A
18.
19.
∴V=π38+8π=
π3
32
-------------------------------------------------12分 17.（1）证明：111C B A ABC - 为正三棱柱，
11BCC B ABC ABC 面为正三角形，面⊥∆∴-------------------------2分
中点，为BC D
BC AD ⊥∴---------------------------------4分
BC BCC B ABC =⋂11面面
11BCC B AD 平面⊥∴-------------------------------6分
(2)证明：连结OD O AC C A 连于点交,11-------------------------------7分
111C B A ABC - 为正三棱柱，为平行四边形11ACC A ∴， 中点为C A D 1∴------------------------------8分
中点为BC D
B A OD B
C A O
D 11//的中位线，即为∆∴-----------------------------10分 111ADC ,平面平面又⊂⊄OD ADC B A -----------------------------11分
11//ADC B A 平面∴-----------------------------12分
18.(1)证明：依题，折后AO=CO=
2
2
,AC=1-----------------------------1分 222AC OC OA =+∴,OC AO ⊥∴ 又BO AO ABCD ⊥∴为正方形，
O OB OC =⋂ ----------------------------3分
BCD 平面⊥∴AO ----------------------------4分
(2)
三
棱
锥
OCD
A -的体积
24
2
22413131=⋅⨯=⋅=
∆OA S V OBC ---------------------------7分 (3)OM AM M BC ,，连中点取 --------------------------8分
1===BC AC AB ,2
3,=
⊥∴AM BC AM 且 BC OM OC OB ⊥∴=, 又,
的平面角为二面角D BC A AMO --∠∴--------------------------10分 2
12223=∴==
∆OM AO AM AMO Rt ，，中，在 33
23
21===∠∴AM OM AMO COS
3
3
余弦值为
二面角D BC A --∴--------------------------12分 19.（1）证明：FM BM M CE ,,连中点取-------------------------1分
CDE MF CD F ∆∴为中点，为 中位线
ED MF ED MF 2
1
,//=
∴ ACD AB ACD DE AB DE 平面平面又⊥⊥=,,2
ED AB ED AB 2
1
,//=
∴ ∴=∴,,//MF AB MF AB 四边形为平行四边形ABMF -----------------------4分
AF BM //∴
BCE AF BCE BM 面面⊄⊂, -----------------------5分
BCE AF 面//∴-----------------------6分
（2）中点为为等边三角形，
CD F ACD ∆ CD AF ⊥∴-----------------------7分
CDE ED ACD ED 面,面⊂⊥
ACD CDE 面面⊥∴-----------------------8分 ,CD CDE ACD =面面 -----------------------9分
且ACD AF 面⊂
CDE AF 面⊥∴
由①知，BM AF //
CDE BM 面⊥∴ CDE BM 面⊂
CDE BCE 面面⊥∴-----------------------12分 20.（1）证明：AD BC ABCD //∴为正方形， ADM AD ADM BC 面面⊂⊄,
ADM BC 面//∴-------------------------2分 ADM DM ADM NB NB MD 面面又⊂⊄,,//
ADM BN 面//∴-----------------------4分
B B
C BN = ADM BCN 面面//∴
ADM AM 面⊂ BCN AM 面//∴-----------------------4分
（2）ABCD MD MD NB 面⊥,//
ABCD DM 面⊥∴ 为正方形ABCD
，轴建立空间直角坐标系所在直线为分别以z y x DM DC DA ,,,,∴ )122(),200(),020(),022(),002(),000(，，，，，，，，，，，，则N M C B A D
),,(z y x n MNC =的法向量为设面 )1,0,2(),1,2,2(--=-=NC MN
）
（），，，（由1,2,02-2-1n 020
220
n 0n ==∴⎩⎨⎧=--=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅AN z x z y x NC MN
word
11 /
11 5525
96n -=⋅-==∴AN
552所成角的正弦值为
与面MNC AN ∴-----------------------6分 （3）R MN ME ∈=λλ,设
)222(),,2,2(λλλλλλ--=，，E ME ),,(m 的法向量为设面111z y x ADE =
)2,2,2(),0,0,2(λλλ-==DE DA ⎩
⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0z -2y 22020m 0m 1111
）（由λλλx x DE DA ），（1,22-0m λ
λ=∴ 由②知，），，（的法向量面2-2-1n =MNC
0222-2-0n m =-⋅∴=⋅∴λ
λ 3
23,2,32=∴==∴=∴MN ME MN ME λ -----------------------12分。