高考冲刺 空间中的角

高考冲刺空间中的角

本周内容：成角问题

重点难点：重点是异面直线成角，直线和平面所成角，二面角的定义，平面角的寻找及计算；难点是这些平面角的寻找。

本周例题：

例1．已知空间四边形A、B、C、D中，M、N分别是AB、CD的中点，且AC=10，BD=6，MN=7，求AC和BD 所成的角。

解法1：如图，在平面BCD内过点C作CP BD，并连结PA，则∠ACP或其补角为所求的角。

连结BP，因N为CD的中点，则CD∩BP=N。

在ΔAPB中，M为AB中点，N为PB中点，则MN AP，

∵MN=7，∴AP=14，又AC=10，BD=PC=6，

∴在ΔACP中，由余弦定理，cos∠ACP==-。

∴∠ACP为钝角，∴∠ACP的补角为所求，大小为π-arccos(-)=π-π=。

解法2：如图，取BC中点为P，连PN，PM，因M、N分别是AB、CD中点，

所以PM AC，PN BD，所以∠MPN或其补角为所求的角，

在ΔPMN中，∵MP=AC=5，NP=BD=3，MN=7，

∴由余弦定理有cos∠MPN==-,

∴∠MPN为钝角，∴其补角为所求，大小为π-arccos(-)=π-π=。

例2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，求AB1与C1B所成角的大小。

解法1：如图，补出一个和正三棱柱ABC-A1B1C1同样大小的正三棱柱A2B2C2-ABC。

∵AA2BB1，∴四边形AA2BB1为平行四边形，

∴A2B AB1，∴∠A2BC1或其补角为所求。

令BB1=1，则AB=，在ΔA2BC1中，A2B=，

BC1=，

A2C1===，

∴A2C12=A2B2+BC12，∴∠A2BC1=，∴∠A2BC1即为所求，大小为。

解法2：取BC中点E，连结AE、B1E。

∵为正三柱ABC-A1B1C1，∴侧面BC1⊥底面ABC，AE⊥BC，

侧面BC1∩底面ABC=BC，∴AE⊥侧面BC1，∴B1E为斜线AB1在侧面BC1上的射影，

令B1E∩BC1=0，在RtΔC1B1B中，∠B1BC1+∠B1C1B=，

且tan∠B1C1B=,

又在RtΔB1BE中，BE==BB1，tan∠BB1E=,

∴∠B1C1B=∠BB1E, ∴∠B1BC1+∠BB1E=。

∴在ΔB1BO中，∠BB1O+∠B1BO=，∴B1O⊥BO即B1E⊥BC1，

∵B1E为AB1在面BC1上射影，且BC1面BC1，BC1⊥B1E，

∴BC1⊥AB1，∴AB1和BC1成角为。

小结1：根据异面直线所成的角的定义知，求异面直线所成的角，一般是通过平移其中的一条直线（或两条），转化为共面相交的二直线所成的锐角或直角来完成，常用的平行移动方式有三种：（一）直接平行。如例1的解法1，在两条异面线段的四个端点中，选择一合适的点，过其在其和另一线段a的两端所确定的平面上作a的平行线段；（二）中位线平移。如例1的解法2，在已知图形中，利用中位线的性质平移；（三）补形平移。如例2解法1，通过补体来实现平移。

例3．已知ΔABC中，∠ABC=90°，点V是平面ABC外一点，且VC=VA=VB=AC，求直线VB与平面ABC所成的角。

解：如图，过点V作VO⊥平面ABC，O为垂足，连结OA，OB，OC且∠VBO为所求的角，

因VA=VB=VC，∴RtΔVOA≌RtΔVOB≌RtΔVOC，∴OA=OB=OC。

∴点O是ΔABC的外心，又∵ΔABC中，∠ABC=90°，

∴O是AC中点，∴在RtΔVOB中，OB=VB，

∴∠OVB=30°，∴∠VBO=90°-30°=60°，

∴直线VB与平面ABC所成的角为60°。

小结2：根据斜线和平面所成角的定义，求斜线和平面所成的角，关键是过斜线上一特殊点（不同于斜足）作平面的

垂线，确定好垂足的位置，所以一定要注意总结判定线面垂直的几种基本方法。

小结3：如图，若V点是平面ABC外一点，VO⊥平面ABC，O为垂足，则

①若VA=VB=VC，则O为ΔABC外心；

②若VA、VB、VC与平面ABC所成的角均相等，则O为ΔABC外心；

③若V到ΔABC三边的距离均相等，且O在ΔABC内，则O为ΔABC内心；

④若三棱锥V-ABC侧面与底面ABC所成的角均相等，且O在ΔABC内，则O为ΔABC内

心；

⑤若VA⊥VB，VB⊥VC，VC⊥VA，则O为ΔABC的垂心；

⑥三棱锥V-ABC中任意两组对边分别垂直，则O为ΔABC的垂心。

例4．如图，AB⊥AD，CD⊥AD，DC=2AB=4，面PAD⊥面ABCD，ΔPBC为边长是10的正三角形，求面APD和面BCP所成的二面角的大小。

解法1：连结DA，CB并延长交于点O，连OP，则OP为面APD和面BCP所成二面角的棱。

∵面PAD⊥面ABCD于AD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD。过D在面PAD内作DM⊥OP，连结CM。

∵DM为CM在面PAD上射影，OP面PAD，

∴OP⊥CM，∴∠CMD就为面APD与面BCP所成二面角的平面角，

在平面ABCD中，CD⊥AD，AB⊥AD，∴CD//AB，又CD=2AB=4，

∴A，B分别为OD、OC的中点，∴OB=BC。

∵ΔPBC为正三角形，∴∠PBC=60°，∠BPC=60°，

∴在ΔPBC中，∠PBO=180°-60°=120°，又PB=OB，

∴∠BPO=∠POB=30°，∴∠OPC=∠OPB+∠BPC=90°，

∴点M即点P，∴∠CPD即为所求的∠CMD，

在RtΔCDP中，PC=10，CD=4，

∴sin∠DPC==，∴∠DPC=arcsin。

∴面ADP与面BCP所成的二面角大小为arcsin。