计量经济学第五讲---模型函数形式

Prob. 0.0000 0.0000 5.468946 0.086294 -9.94267 -9.84926 81786.04 0.000000
ˆ 5.317 0.0098t ln Y t
斜率0.0098表示，平均而言， se (0.000608 )(0.0000343 ) Y的年增长率为0.98％。
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
经济学的弹性：

以价格弹性为例： 价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分 比。 价格变动一个百分点，引起需求量变动超过一个百分点，则该物 品就富有价格需求弹性；需求变动量不到一个百分点，则缺乏价 格需求弹性；需求变动量等于一个百分点，则该物品拥有单位需 求价格弹性。
S.D. dependent var
Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
20.51101
2.260832 2.354245 23141.80 0.000000
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
2642.152 134.6207
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
7.015229
1033.482 -76.39533 1.042303
t (8739 .399)(285.9826 ) p (0.0000 ) (0.0000 ) r 2 0.999658
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第5章
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第5章
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第5章
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第5章
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1970 1999 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Coefficient
Std. Error 228.6108
t-Statistic -78.33205
Prob. 0.0000
-17907.55
LOG(X)
R-squared Adjusted R-squared
2431.686
0.997408 0.997284
27.05140
89.89132
0.0000
Durbin-Watson stat
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第5章
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第5章
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第5章
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第5章
40
第5章
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第5章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ42
第5章
假定要求个人总消费支出的变动对服务支出 的影响，考虑下面模型：
Y1t B1 B2 ln X t ut (5 24)
其中，Y1=服务支出，X=个人总消费支出。
模型（5-24）的回归结果如下：
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第5章
例5-2
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第5章
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第5章
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第5章
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第5章
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第5章
(可以考虑变量间的相关性、预期的解释变量系数的符号、统计显著性及弹性系数 等因素。)
#再次强调：线性模型的弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对数 线性模型在需求曲线上任何一点的弹性系数都相同。
20
第5章
多元对数线性回归模型
29
第5章
得到：
ln Yt B1 B2 t
ln Yt B1 B2t ut
(5 17)
(5 18)
若引入随机误差项，得到： 形如（5-18）的回归模型称为半对数模型。 在半对数模型中，斜率度量了给定解释变量的
绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。
d ln Y 1 dY dY / Y Y的相对变化 B2 ＝ dt Y dt dt t的绝对变化
S.E. of regression
Sum squared resid
0.028289
0.013604 44.55221 0.425667
Akaike info criterion
Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
Log likelihood
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第5章
48
第5章
49
第5章
50
第5章
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第5章
例5-6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线
表9-6给出了美国1958～1969年间小时收入指数Y和城市
失业率X的数据，模型（5-28）拟合了表5-6给出的数据，回 归结果如下：
1 ˆ Yt 0.2594 20.5880 Xt t=(-0.2572) (4.3996)
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第5章
ln Yi B1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
(5 10)
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第5章
表5-2实际GDP，就业人数，实际固定资本——墨西哥
年份 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 GDP 114043 120410 129187 134705 139960 150511 157897 165286 178491 199457 212323 226977 241194 260881 277498 296530 306712 329030 354057 374977 就业人数 8310 8529 8738 8952 9171 9569 9527 9662 10334 10981 11746 11521 11540 12066 12297 12955 13338 13738 15924 14154 固定资产 182113 193749 205192 215130 225021 237026 248897 260661 275466 295378 315715 337642 363599 391847 422382 455049 484677 520553 561531 609825
第 5 章 回归模型的函数形式
第5章
2
第5章
3
第5章
4
第5章
5
第5章

5.1 如何度量弹性：双对数模型 5.2 如何测度增长率：半对数模型 5.3 倒数模型 5.4 多项式回归模型 5.5 过原点的回归



5.6关于度量比例和单位的说明
小结
6
第5章
7
第5章
8
第5章
9
第5章
*双对数模型：
也就是：
1 2

一般的线性方程，B表示X变动一个单位，Y的平均变动 的绝对量 双对数线性方程：B表示X变化的百分比，对Y的变化百 分比的平均变动。
10
第5章
例5-1 数学S.A.T分数一例
在前面的例子中，我们给出了数学S.A.T一例的模型， 观察数据散点图，可以看出，数学分数和家庭年收入之 间只是近似线性关系的。
三变量对数模型：
ln Yi B1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui
其中，B2、B3又称为偏弹性系数。
B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。
(5 10)
B3 是Y对X3的弹性（X2保持不变）。
在多元对数线性模型中，每一个偏回归系数度 量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一 解释变量的偏弹性。
LOG(Z)
R-squared
Adjusted R-squared
0.845997
0.995080 0.994501
0.093352
9.062488
0.0000
12.22605 0.381497
-4.155221 -4.005861
Mean dependent var S.D. dependent var
46
第5章
5.3 倒数模型
倒数模型(reciprocal model)：
1 Yi B1 B2 ui Xi (5 28)
该模型的显著特征：随着X的无限增大，Y将 逐渐接近于B1 ，B1称为渐进值(asymptotic value)
或极限值。
下面给出了双曲函数模型的一些可能的形状。
23
第5章
Eviews软件回归结果ls log(y) c log(x) log(z)如下：
Variable C LOG(X) Coefficient -1.652419 0.339732 Std. Error 0.606198 0.185692 t-Statistic -2.725873 1.829548 Prob. 0.0144 0.0849
即：斜率度量了Y的增长率。所以，半对数模 型又称为增长模型。
30
第5章
注意，在满足OLS基本假定的条件下，能够用OLS 方法来估计模型（5-18）。根据表5-4提供的数据， 得到如下回归结果：
31
第5章
Variable C T R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
我们现在要求在此期间的美国人口增长率。
复利计算公式： Yt Y0 (1 r)t 其中，Y0----Y的初始值，
(5 13)
Yt----第t期的Y值
r----Y的增长率 （复利率）
将（5-13）式变形，对等式两边取对数，得：
ln Yt ln Y0 t ln(1 r)
B1 B2
(5 14)
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient 5.317035 0.009801 0.999658 0.999646 0.001625 7.39E-05 151.1401 0.32374
Std. Error t-Statistic 0.000608 8739.399 3.43E-05 285.9826 Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
11
第5章
下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合这个 例子中的数据，情况又会怎样？
12
第5章
OLS回归结果如下(见Eviews操作)： ln Yi 4.8877 0.1258ln X i se (0.1573 ) (0.0148 ) t (31.074) (8.5095 )
p (0.0000) (0.0000) r 2 0.9005 从回归结果看，支出弹性约为0.13，表明家庭年收入
C
T R-squared
Adjusted R-squared
201.9727
2.328485 0.998792
0.271735
0.015306
743.2718
152.1243
0.0000
0.0000 238.0643
Mean dependent var
0.998748
0.725646 14.74374 -31.91247 0.107636
ˆ 17907.5 2431.69ln X Y 1t t
t= (-78.33) (89.89) r2=0.997 Eviews回归结果如下：
(5 25)
43
第5章
ls y1 c log(x)
Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares Sample: 1993Q1 1998Q3 Included observations: 23 Variable C
Durbin-Watson stat
1719.231 0.000000
24
第5章
25
第5章
5.2 如何测度增长率：半对数模型
半对数模型有两种：一种称为增长模型， 或对数-线性模型，通常我们用这类模型来测度 许多变量的增长率。一种称为线性-对数模型。
26
第5章
27
第5章
通常叫增长模型
28
第5章
Akaike info criterion
Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
6.816985
6.915724 8080.449 0.000000
44
第5章
45
第5章
半对数模型总结
1、对数—线性模型（增长率模型）
2、线性—对数模型