【教师卷】遵义市八年级数学下册第十九章《一次函数》知识点总结(培优提高)(1)

一、选择题
1．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，四边形OABC是菱形．已知点B坐标为(3，3)，则直线AC的函数解析式为（）
A．y＝
3
3
x+3B．y＝3x+23C．y＝﹣
3
3
x+3D．y＝﹣3x+23D
解析：D
【分析】
过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，在Rt△ABH中利用勾股定理得到（3﹣t）2+（3）2＝t2，解方程求出t，得到A
（2，0），再利用P为OB的中点得到P（3
2
，
3
2
），然后利用待定系数法求直线AC的
解析式即可．
【详解】
解：过B点作BH⊥x轴于H点，菱形的对角线的交点为P，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OP＝BP，OA＝AB，
设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，
∵点B坐标为（33
∴BH3AH＝3﹣t，
在Rt△ABH中，（3﹣t）2+32＝t2，解得t＝2，
∴A（2，0），
∵P为OB的中点，
∴P （32，32）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，
把A （2，0），P （32，32），代入得：20332
2k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：323k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x+23．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及一次函数的待定系数法，熟练掌握菱形的性质和待定系数法，是解题的关键．
2．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）
A ．3x >-
B ．3x <-
C ．2x >
D ．2x <A
解析：A
【分析】 根据图像的意义当x=-3时，kx+b=2，根据一次函数的性质求解即可.
【详解】
∵当x=-3时，kx+b=2，
且y 随x 的增大而减小，
∴不等式2kx b +<的解集3x >-，
故选A.
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数图像的性质，灵活运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键.
3．已知点()11,P y -、点()23,Q y 在一次函数(21)2y m x =-+的图像上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）
A ．12
m < B ．12m > C ．m 1≥ D ．1m <A
解析：A
【分析】
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m 的不等式，可求得m 的取值范围．
【详解】
解：
∵点P （-1，y 1）、点Q （3，y 2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上，
∴当-1＜3时，由题意可知y 1＞y 2，
∴y 随x 的增大而减小，
∴2m-1＜0，解得m ＜12， 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键． 4．已知56a =-，56b =+，则一次函数y ＝(a ＋b )x ＋ab 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．C 解析：C
【分析】
计算a ＋b 和ab 的值 ，根据一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】
解：∵a ＋b=56-+56+=250>，ab=
()()
5656-+=10-<， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：C ．
【点睛】
本题考查一次函数的图象，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y （米）与火车行驶时间x （秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④
D ．①③④D
解析：D
【分析】 根据函数的图象即可确定在BC 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【详解】
在BC 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确； 火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45−5−5＝35秒，故③正确；
隧道长是：45×30−150＝1200（米），故④正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，是解题的关键．
6．已知：将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ）
A ．经过第一、二、三象限
B ．与x 轴交于()1,0-
C ．与y 轴交于()0,1
D ．y 随x 的增大而减小A
解析：A
【分析】 根据图象的平移规则：左加右减、上加下减得出直线解析式，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】
解：∵将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，
∴直线y kx b =+的解析式为2(2)123y x x =+-=+，
∵k=2＞0，b=3＞0，
∴直线y kx b =+经过第一、二、三象限，故A 正确；
当y=0时，由0=2x+3得：x=32
-， ∴直线y kx b =+与x 轴交于（32-
，0），故B 错误； 当x=0时，y=3，即直线y kx b =+与y 轴交于（0，3），故C 错误；
∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，故D 错误，
故选：A ．
【点睛】
本题考查图象的平移变换、一次函数的图象与性质，熟知图象平移变换规律，掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．
7．对于实数a 、b ，我们定义max {a ，b }表示a 、b 两数中较大的数，如max {2，5}＝5，
max {3，3}＝3．则以x 为自变量的函数y ＝max {－x ＋3，2x －1}的最小值为（ ）． A ．－1
B ．3
C ．43
D ．53
D 解析：D
【分析】 分x≤
43和x>43
两种情况进行讨论计算． 【详解】
解：当-x+3≥2x -1， ∴x≤43
， 即-x≥-
43时，y=-x+3， ∴当-x=-
43时，y 的最小值=53
， 当-x+3<2x-1， ∴x>43
， 即：x>
43时，y=2x-1， ∵x>43
， ∴2x ＞83
， ∴2x-1＞
53， ∴y ＞53
， ∴y 的最小值=
53， 故选：D ．
【点睛】
此题是分段函数题，以及一次函数的性质，主要考查了新定义，解本题的关键是分段． 8．直线y mx b =+与y kx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为（ ）
A ．3x >-
B ．3x <-
C ．1x >-
D ．1x <-C
解析：C
【分析】 根据图象可得，直线y ＝mx ＋b 与y ＝kx 的交点坐标为（−1，3），所以当x ＞−1时，直线y ＝mx ＋b ，落在直线y ＝kx 的下方，可得关于x 的不等式mx ＋b ＜kx ．即可得结论．
【详解】
根据图象可知：直线y mx b =+与y kx =的交点坐标为：(1,3)-，
则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为1x >-．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在x 轴上找一点P ，使得△PAB 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）
A ．(0，1)
B ．(0，2)
C ．(43，0)
D ．(43
，0)或(0，2)C
【分析】
要使得△PAB 的周长最小，实则在x 轴上找到P 点，使得PA PB +最小即可，从而将A 沿x 轴对称至A 1，求解A 1B 的解析式，其与x 轴的交点坐标即为所求．
【详解】
∵要使得△PAB 的周长最小，A ，B 为固定点，
∴在x 轴上找到P 点，使得PA PB +最小即可，
∴将A 沿x 轴对称至A 1，则()11,1A -，
设直线A 1B 的解析式为：y kx b =+，
将()11,1A -，B(3，5)，代入求解得：34k b =⎧⎨
=-⎩，则解析式为：34y x =-， 令0y =，解得：43x =
， 即4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，△PAB 的周长最小， 故选：C ．
【点睛】
本题考查轴对称最短路径问题，及一次函数与坐标轴得交点问题，能够对题意进行准确分析，建立合适的最短路径模型是解题关键．
10．若一次函数()231y m x =-+-的图象经过点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >时，则m 的取值范围是（ ） A ．32m > B ．32m >- C ．32m < D ．32
m <-B
【分析】
由当x 1＜x 2时y 1＞y 2，利用一次函数的性质可得出-（2m+3）＜0，解之即可得出m 的取值范围．
【详解】
解：∵当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，
∴-（2m+3）＜0，
解得：m ＞-
32
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，牢记“k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小”是解题的关键． 二、填空题
11．已知一次函数41y x =-和23y x =+的图像交于点(2,7)P ，则二元一次方程组4123y x y x =-⎧⎨=+⎩
的解是_．【分析】根据一次函数数和的图象交点可知点P 的坐标就是的解【详解】解：根据题意可知二元一次方程组的解就是一次函数和的图象的交点P 的坐标∴二元一次方程组的解是故答案为：【点睛】此题考查了一次函数与二元一
解析：27x y =⎧⎨=⎩
【分析】
根据一次函数数41y x =-和23y x =+的图象交点，可知点P 的坐标就是4123y x y x =-⎧⎨=+⎩
的解．
【详解】
解：根据题意可知，
二元一次方程组4123
y x y x =-⎧⎨=+⎩的解就是一次函数41y x =-和23y x =+的图象的交点P 的坐标，
∴二元一次方程组4123y x y x =-⎧⎨=+⎩的解是27x y =⎧⎨=⎩
． 故答案为：27x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
此题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函
数的图象交点P 之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．
12．在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b <+的解为____________．
x ＜－1【分析】根据不等式得到直线在直线的下方即可
确定不等式的解集【详解】解：由不等式得直线在直线的下方∴自变量的取值范围为x ＜－1故答案为：x ＜－1【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系理解函数
解析：x ＜－1
【分析】
根据不等式得到直线2y k x = 在直线1y k x b =+的下方，即可确定不等式的解集．
【详解】
解：由不等式21k x k x b <+得直线2y k x = 在直线1y k x b =+的下方，
∴自变量的取值范围为x ＜－1．
故答案为：x ＜－1
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系是解题关键．
13．函数1
y x =-中自变量x 的取值范围是________．且【分析】根据二次根式的性质和分式的意义被开方数大于或等于0分母不等于0可以求出x 的范围【详解】根据题意得：x≥0解得：且故答案为：且【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题函数自变量的范围一般从
解析：0x ≥且1x ≠
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．
【详解】
1
y x =-， 根据题意得：x≥0 10x ≠，
解得：0x ≥且1x ≠．
故答案为：0x ≥且1x ≠．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．已知 12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5，求y 与x 之间的函数关系式_______________．【详解】由题意设则将时和时代入得：解得：故与之间的函数关系为故答案为：【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数定义的应用熟记函数定义是解题关键 解析：32y x x =-
【详解】 由题意设12,b y ax y x ==
则b y ax x
=+ 将1x =时,1y =-和3x =时,5y =代入得：
1353a b b a +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得：23
a b =⎧⎨=-⎩ 故y 与x 之间的函数关系为32y x x =-
． 故答案为：32y x x
=-
． 【点睛】 本题考查正比例函数和反比例函数定义的应用，熟记函数定义是解题关键．
15．已知直线2y ax a =-+（a 为常数）不经过第四象限，则a 的取值范围是________．0≤a≤2【分析】当a≠0时根据一次函数的图象不经过第四象限可得图象经过一三象限或一二三象限列出关于a 的不等式组求出a 的取值范围当a=0时y=2不经过第四象限综上即可得答案【详解】当a≠0时不经过第
解析：0≤a≤2
【分析】
当a≠0时，根据一次函数的图象不经过第四象限可得图象经过一、三象限或一、二、三象限，列出关于a 的不等式组，求出a 的取值范围，当a=0时，y=2不经过第四象限，综上即可得答案．
【详解】
当a≠0时，
2y ax a =-+不经过第四象限，
∴经过一、三象限或一、二、三象限，
∴020a a >⎧⎨-+⎩
， 解得：02a <，
当a=0时，直线方程为y=2，不经过第四象限，符合题意，
∴a 的取值范围为0≤a≤2．
故答案为：0≤a≤2
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系并运用分类讨论的思想是解题关键．
16．如果直线y=2x+3与直线y=3x ﹣2b 的交点在y 轴上，那么b 的值为___．【分析】先求出y=2x+3与y 轴交点坐标为（03）代入y=3x ﹣2b 即可求得答案【详解】令y=2x+3中x=0解得y=3∴直线y=2x+3与y 轴交点为（03）将（03）代入y=3x ﹣2b 中得-2b= 解析：32
- 【分析】
先求出y=2x+3与y 轴交点坐标为（0,3），代入y=3x ﹣2b ，即可求得答案．
【详解】
令y=2x+3中x=0，解得y=3，
∴直线y=2x+3与y 轴交点为（0,3），
将（0,3）代入y=3x ﹣2b 中，得-2b=3，
解得b=32
-， 故答案为：32-
． 【点睛】
此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握交点坐标的计算方法是解题的关键． 17．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，三角形与正方形重叠部分的面积为y ，在下面的平面直角坐标系中，线段AB 表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C 点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是______．
①②③乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前重叠部分为直角三角形当三角形即将出正方形之后重叠部分为直角梯形利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象【详解】设直角三角形的底为a 高为b 运行速度为v 由
解析：乙
【分析】
由题意可知三角形没全进入正方形之前，重叠部分为直角三角形．当三角形即将出正方形之后，重叠部分为直角梯形．利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象．
【详解】
设直角三角形的底为a ，高为b ，运行速度为v ．
由题意可知当三角形没全进入正方形之前，重叠部分为与原三角形相似的直角三角形． ∵重叠部分的直角三角形的底为vx ，
∴根据三角形相似，可知：
vx a b =重叠直角三角形的高 ， 即重叠直角三角形的高=bvx a
， ∴2
2122bvx bv y vx x a a
==， ∵a ， b ， v 都为常数且大于0，
∴2
22bv y x a
=是一个开口向上的曲线． 当三角形即将出正方形之后，重叠部分为去掉与原三角形相似的直角三角形的直角梯形． 设正方形边长为l ，
则该梯形的高为()l vx a --，下底为b ， 根据三角形相似可知：vx l b a -=梯形上底， 即梯形上底()b vx l a -=
， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦
． ∵a ， b ， v ，l 都为常数且大于0，
∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦中2x 项的系数为202bv a
-<， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦
是一个开口向下的曲线． ∴只有乙符合．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象．理解三角形运动过程中的分界点，利用三角形和梯形的面积公式列出关于x 的方程来判断其图象是解题关键．
18．如图，函数(0)y kx k =≠和4(0)y ax a =+≠的图象相交于点(1,1)A -，则不等式4kx ax <+的解集为__________．
【分析】由图象可以知道当x=-1时两个函数的函
数值是相等的再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集【详解】解：两条直线的交点坐标为（-11）当x ＜-1时直线y=ax+4在直线y=kx 的下方当x ＞-1 解析：1x >-
【分析】
由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式4kx ax <+的解集．
【详解】
解：两条直线的交点坐标为（-1，1），
当x＜-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的下方，
当x＞-1时，
直线y=ax+4在直线y=kx的上方，
故不等式kx＜ax+4的解集为x>-1．
故答案为：x>-1．
【点睛】
本题考查了一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
19．某一列动车从A地匀速开往B地，一列普通列车从B地匀速开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图像进行探究，图中t的值是__．
4【分析】根据题意和函数图象中的数据：AB两
地相距900千米两车出发后3小时相遇普通列车全程用12小时即可求得普通列车的速度和两车的速度和进而求得动车的速度解答即可【详解】由图象可得：AB两地相距9
解析：4
【分析】
根据题意和函数图象中的数据：AB两地相距900千米，两车出发后3小时相遇，普通列车全程用12小时，即可求得普通列车的速度和两车的速度和，进而求得动车的速度，解答即可．
【详解】
由图象可得：AB两地相距900千米，两车出发后3小时相遇，
普通列车的速度是：900
12
＝75千米/小时，
动车从A地到达B地的时间是：900÷（900
3
－75）＝4（小时），
故填：4．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合
的思想解答．
20．请写出一个符合下列要求的一次函数的表达式：_______．
①函数值y 随自变量x 增大而增大；②函数的图像经过第二象限．（答案不唯一保证即可）【分析】根据题意和一次函数的性质可以写出符合要求的一个一次函数本题得以解决【详解】解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大∴k ＞0∵函数的图象经过第二象限∴b ＞0∴符合下列
解析：23y x =+（答案不唯一，保证0k >，0b >即可）
【分析】
根据题意和一次函数的性质，可以写出符合要求的一个一次函数，本题得以解决．
【详解】
解：∵一次函数的函数值y 随自变量x 增大而增大，
∴k ＞0，
∵函数的图象经过第二象限，
∴b ＞0，
∴符合下列要求的一次函数的表达式可以是23y x =+，
故答案为：23y x =+（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，//BC OA ，(8,0)A ，(0,4)C ，5AB =，现有一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AO 方向，经O 点再往OC 方向移动，最后到达C 点.设点P 移动时间为t 秒．
（1）求点B 的坐标；
（2）当t 为多少时，ABP ∠的面积等于13；
（3）在（2）的条件下，取BP 中点M ，在x 轴上找一点N ，使BN MN +和最小，求此时N 点的坐标．
解析：（1）(5,4) （2）13 s 4t =或19 s 4t = （3）23,06⎛⎫ ⎪⎝⎭或95,027⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，得出ADB △为直角三角形，利用勾股定理求出AD ，BD 的值，从而可求出点B 的坐标，
（2）当点P 运动时间为t 秒时，则2AP t =，由三角形的面积公式建立等量关系即可求出
（3）结合（2）问，求出点P 的坐标，进而求出BP 中点M 的坐标，再作出点B 关于x 的对称点，求出该对称点与点M 所在直线的的解析式，该直线与x 的交点即为点N ．
【详解】
（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，
∴90BDO ∠=︒，
∵四边形OABC 是直角梯形，BC OA ， ∴90BCO COD ∠=∠=︒，
∴四边形ODBC 为矩形，
∵(0,4)C ，(8,0)A ，
∴4OC BD ==，8OA =，
∵5AB =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AB BD AD =+， ∴2222543AD AB BD =--=，
∴5OD OA AD =-=，
∴(5,4)B .
（2）当P 点在O 点时，4s t =，
当P 点在C 点时，6s 2
OA OC t +==， ①当04s t <≤时，由题可知：2AP t =， ∴112441322ABP S AP BD t t =
⋅=⨯⨯==△， ∴13s 4
t =. ②当46t <≤时，则28OP t =-，4122CP OP t =-=-，
∴ABP AOP BCP OABC S S S S =--△△△梯形
()111222
OA BC OC OA OP BC CP =+⋅-⋅-⋅ 111(48)48(28)4(122)222
t t =⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯- 24832244t t =-+-+
324t =-
∴419t =，19s 4t =. 故当13s 4t =或19s 4
t =时，ABP △的面积是13. （3）由（2）得：①当13s 4t =
时，132
AP =， ∴32OP =， ∴3,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又∵(5,4)B ，M 为BP 的中点，
∴13,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 作B 点关于x 轴对称点B '，则(5,4)B '-，
连接MB '交x 轴于点N ，
则BN MN B N MN B M ''+=+=. 设直线B M '的解析式为(0)y kx b k =+≠，代入B '，M 两点，
得451324k b k b -=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得247927k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线B M '为249277y x =-
+， 令0y =，则249277x =，236
x =， ∴23,06N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ②当19s 4t =
时，3282OP t =-=， ∴30,2P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
又∵(5,4)B ，M 为BP 中点， ∴511,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 作B 点关于x 轴的对称点B ''，
∴(5,4)B ''-，
设直线B M ''交x 轴于点N ，
则MN BN MN B N MB '''+=+=.
设直线B M ''的解析式为()1110y k x b k =+≠，
代入M ，B ''得4511542k b k b -=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得2710192k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线B M ''为2719102y x =-
+， 令0y =，得19109522727x =
⨯=， ∴95,027N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 综上N 的坐标为23,06⎛⎫
⎪⎝⎭或95,027⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题考查了勾股定理，矩形的判定及性质，点的坐标的确定，以及利用轴对称求最值，待定系数法求一次函数解析式，熟练运用三角形面积，以及利用轴对称方法求最值是解题关键．
22．如图，顶点M 在y 轴上的抛物线2=y ax c +与直线1y x =+相交于,A B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接,AM BM ，
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）判断ABM ⊿的形状，并说明理由；
（3）若将（1）中的抛物线沿y 轴上下平移，则如何平移才能使平移后的抛物线过点(2,3)--？
解析：（1）2
1y x =-；（2）△ABM 为直角三角形，见解析；（3）向下平移6个单位过点（-2，-3）
【分析】
（1）将y=0，x=2，分别代入直线解析式求出x 、y 的值，即求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求解抛物线解析式；
（2）令x=0，代入抛物线解析式求得M 坐标，利用两点间的距离公式求得AB 、AM 、BM ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△ABM 为直角三角形；
（3）设抛物线2=1y x -平移后的解析式为y=x 2-1+m ，将点（-2，-3）代入上式，得到关于m 的方程，解方程即可得出结论．
【详解】
（1）当y=0时，有x+1=0，则x=-1．
∴A （-1，0），
当x=2时，y=2+1=3，
∴B （2，3），
将A ，B 两点代入2
=y ax c +中， 得0=34a c a c +⎧⎨=+⎩，解得=11a c ⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线的解析式为2=1y x -．
（2）三角形ABM 为直角三角形，理由如下：
在抛物线中，当x=0时，y=-1，
∴M （0，-1），
又∵A （-1，0），B （2，3）， ∴=32AB =2AM =25BM
又∵22220AM AB BM +==，
∴三角形ABM 为直角三角形．
（3）设抛物线2=1y x -沿y 轴平移后的解析式为2=1y x m -+，
将点（-2，-3）代入上式，得m=-6，
则向下平移6个单位过点（-2，-3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上的坐标特征、两点间的距离公式及勾股定理的逆定理，解题的关键是（1）求出A 、B 的坐标，（2）求出求得AB 、AM 、BM 的长，（3）正确写出平移后的抛物线解析式，难度适中．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足
|1|30a b ++-=．
（1）填空：a =______，b =______．
（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．
（3）在（2）条件下，当52
m =-
时，在y 轴上有一点P ，使得BMP 的面积与ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标． 解析：（1）1-；3；（2）△ABM 的面积为2m -；（3）点P 的坐标为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
或70,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 【分析】
（1）根据非负数性质可得a 、b 的值；
（2）根据三角形面积公式列式整理即可；
（3）先根据（2）计算S △ABM ，再分两种情况：当点P 在y 轴正半轴上时、当点P 在y 轴负半轴上时，利用割补法表示出S △BMP ，根据S △BMP =S △ABM 列方程求解可得． 【详解】
解：（1）∵|1|30a b +-=，
∴10a +=，30b -=，
∴1a =-，3b =；
（2）如图1所示，
过M 作ME x ⊥轴于E ，
∵(1,0)A -，(3,0)B ，
∴1OA =，3OB =，
∴4AB =，
∵在第三象限内有一点(2,)M m -，
∴||ME m m ==-， ∴114()222
ABM S AB ME m m =⨯=⨯⨯-=-． （3）设(0,)P n ，BM 交y 轴于点C ，连接MP ，BP 如下图：
设直线BM 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，52,2M ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
代入得 30522k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩
， 解之得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
即1322
y x =-， ∴30,2C ⎛⎫-
⎪⎝⎭， 当52m =-时，11545222ABM m S AB y =⋅=⨯⨯=． ∵BMP ABM S
S =， ∴()1||52
x x B M PC -=， 即13(32)522
n ⨯++=， 解之得：12n =或72
n =-， 综上，点P 的坐标为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫-
⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，利用割补法表示出△BMP 的面积等知识，根据题意建立方程是解题的关键．
24．已知y 与1x -成正比例，当3x =时，4y =，求y 与x 之间的函数关系式． 解析：22y x =-
【分析】
首先根据题意设出关系式：y=k （x-1），再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k 的值，再把k 的值代入所设的关系式中，可得到答案；
【详解】
解：因为y 与1x -成正比例，所以设()1y k x =-（0k ≠）
∵当3x =时，4y =，∴()431k =-
解得2k =
所以， y 与x 之间的函数关系式为：22y x =-
【点睛】
此题主要考查了对正比例的理解，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k ．
25．已知1y +与3x -成正比例，且5x =时，8y =，
（1）求y 与x 之间的函数解析式；
（2）当6y =-时，求x 的值．
解析：（1）92922y x =
-；（2）179
【分析】
（1）设1(3)(0)y k x k +=-≠，利用待定系数法求k ，从而确定函数关系式；
（2）将y=-6代入解析式求x 的值．
【详解】
解设1(3)(0)y k x k +=-≠
（1）将58x y =⎧⎨=⎩
代入，得 81(53)k +=- 即92=
k ∴92922
y x =- （2）当6y =-时
929622
x -=- 179
x = 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法计算步骤，正确计算是解题关键． 26．某超市预购进A 、B 两种品牌的T 恤共200件，已知两种T 恤的进价如表所示，设购进A 种T 恤x 件，且所购进的两种T 恤全部卖出，获得的总利润为W 元．
（2）如果购进两种T 恤的总费用为9500元，那么超市获得的总利润是多少？
（提示：利润=售价-进价）
解析：（1）55000W x =+；（2）5750元．
【分析】
（1）先根据总件数可得购进B 种T 恤的件数，再根据利润公式求出A 、B 两种T 恤的利润的和即可得；
（2）先根据进价和总费用可建立一个关于x 的一元一次方程，解方程可求出x 的值，再根据（1）的结论即可得．
【详解】
（1）由题意得：购进B 种T 恤()200x -件，
则总利润为()()()80506540200W x x =-+--，
即55000W x =+；
（2）由题意得：()50402009500x x +-=，
解得150x =，
将150x =代入（1）的结论得：515050005750W =⨯+=，
答：超市获得的总利润是5750元．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式和方程是解题关键．
27．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：2y x n =-+相交于点()1,P b ．
（1）求点P 的坐标；
（2）若120y y >>，求x 的取值范围；
（3）点(),0D m 为x 轴上的一个动点，过点D 作x 轴的垂线分别交1l 和2l 于点E ，F ，当3EF =时，求m 的值．
解析：（1）()1,2P ；（2）12x <<；（3）2m =或0m =．
【分析】
（1）把()1,P b 代入1l 的解析式可求解；
（2）由（1）可先求解2l 的解析式，然后根据图像可进行求解；
（3）把x m =分别代入12l l 、解析式可得点E 、F 的坐标，然后根据两点距离公式可分当1m 时和当1m <时，最后求解即可．
【详解】
解：（1）把()1,P b 代入1l 解析式得：
112b =+=，
∴()1,2P ．
（2）把()1,2代入2l 解析式得：
22n =-+，
∴4n =，
∴2l ：24y x =-+，
当0y =时，2x =，
∴当120y y >>时x 的取值范围为12x <<．
（3）把x m =分别代入12l l 、解析式得：
1y m =+和24y m =-+，
∴点()(),1,,24E m m F m m +-+，
∴当1m 时，
()1243m m +--+=，
∴2m =，
当1m <时，
2413m m -+--=，
∴0m =．
【点睛】
本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
28．矩形的周长是8cm ，设一边长为cm x ，另一边长为cm y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，作出所求函数的图象．
解析：（1）()404y x x =-+<<；（2）详见解析
【分析】
（1）根据矩形的周长公式用x ，y 的式子表示出来，然后进行变形即可，根据矩形的边长要大于0可以求出自变量x 的取值范围；
（2）由（1）的结论运用描点法先描点，再连线即可得到函数的图象．
【详解】
解：（1）矩形的周长是8cm ，设一边长为cm x ，另一边长为cm y ，
则228x y +=，4y x =-+，
∵40x -+>，
∴4x <，
∴y 关于x 的函数关系式为()404y x x =-+<<．
（2）函数图象如图所示．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象及一次函数的应用．在解答中自变量的取值范围不能忽视．。