人教版中考仿真押题卷《数学试卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题 1.12-
的倒数是( ) A. B. 12 C. D.
2.为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动. 现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处. 下列图书馆标志的图形中不是．．
轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列图形中，由AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的是
A. B. C. D. 4.如图，将RtABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到A' B'C ，连接AA'，若∠1=20°，则∠B 度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
5.已知a b <，下列不等式中，变形正确的是( ) A. a 3b 3->- B. 3a 13b 1->- C. 3a 3b ->- D. a b 33
> 6.2018年10月24日上午9时，港珠澳大桥正式通车，它是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55 000米，数据55 000用科学记数法表示是( )
A. 55×103
B. 55×103
C. 0.55×104
D. 5.5×104 7.如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是( )
A. B. C. D.
8.一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是( )
A. 2
B. 3
C. 3.2
D. 4
9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝6 cm ，则BC 等于( )
3 B. 3 cm 3 D.
4 cm
10.在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)到直线Ax +By +C ＝0的距离公式为d 0022A B +，例如：
点P 0(0，0)到直线4x +3y ﹣3＝0的距离为d 2235
43=+，根据以上材料，求点P 1(3，4)到直线y ＝﹣
3544x +的距离为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二．填空题
11.因式分解：2ax 2﹣4axy +2ay 2＝_____．
12.函数2
y x =-中，自变量的取值范围是 ． 13.如图，点A(t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα=
32 ，则t 的值是________．
14.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于___________．
15.如图，一折扇完全打开后，若外侧两竹片OA，OB的夹角为120°，扇面ABDC的宽度AC是OA的一半，且OA＝30 cm，则扇面ABDC的周长为__________cm．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，位似比
1
2
OA
AD
，若AB
＝1.5，则DE＝_____．
17.在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是cm．
18.观察下列等式：1﹣1
2
＝
1
2
，2﹣
2
5
＝
8
5
，3﹣
3
10
＝
27
10
，4﹣
4
17
＝
64
17
，…，根据你发现的规律，则第
20个等式为_____．三．解答题
19.计算：(﹣1)2020+(π﹣3)0﹣3tan30°+11()2-．
20.已知x 、y 满足方程组52251
x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式()()()222x y x y x y --+-的值． 21.如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，求OM 的长．
22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-2，1)，C(-5，2)．
(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1;
(2)将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2;
(3)△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2面积之比为 (不写解答过程，直接写出结果)．
23.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝
m x
的图象相交于A(-1，n)，B(2，-1)两点，与y 轴相交于点C ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积．
24.如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G ．
(1)求证：BD ∥EF ．
(2)若BE ＝4，EC ＝6，△DGF 面积为8，求▱ABCD 的面积．
25.随着城际铁路的开通，从甲市到乙市的高铁里程比快里程缩短了90千米，运行时间减少了8小时，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220千米，高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速;
(2)若从甲市到乙市途经丙市，且从甲市到丙市的高铁里程为780千米．某日王老师要从甲市去丙市参加14：00召开的会议，如果他买了当日10：00从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市高铁站到会议地点最多需要0.5小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，王老师能否在开会之前赶到会议地点?
26.如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点E 时AD 的中点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点F ．连接AE 并延长交BF 于点C ．
(1)求证：AB ＝BC ;
(2)如果AB ＝10．tan ∠FAC ＝12
，求FC 的长．
27.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点
P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上动点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．
(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．
答案与解析一、选择题
1.
1
2
-的倒数是( )
A. B. 1
2
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解即可．
【详解】
1
2
-的倒数是，
故选A．
【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键．
2.为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动. 现在的图书馆不单是人们学
习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处. 下列图书馆标志的图形中不是
．．轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴.据此可以分析.
【详解】根据轴对称图形的定义可知，选项A,C,D,是轴对称图形，选项B不是轴对称图形.
故选B
【点睛】本题考核知识点：轴对称图形.解题关键点：理解轴对称图形的定义.
3. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
4.如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
5.已知a b <，下列不等式中，变形正确的是( )
A. a 3b 3->-
B. 3a 13b 1->-
C. 3a 3b ->-
D. a b 33> 【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A 、不等式a b <的两边同时减去3，不等式仍成立，即33a b -<-，故本选项错误; B 、不等式a b <的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3131a b -<-，故本选项错误; C 、不等式a b <的两边同时乘以3-，不等式的符号方向改变，即33a b ->-，故本选项正确; D 、不等式a b <的两边同时除以3，不等式仍成立，即
33a b <，故本选项错误; 故选C ．
【点睛】本题考查了不等式的性质注意：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
6.2018年10月24日上午9时，港珠澳大桥正式通车，它是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55 000米，数据55 000用科学记数法表示是( )
A. 55×
103 B. 5.5×103 C. 0.55×104 D. 5.5×104 【答案】D
【解析】
【分析】
由科学记数法公式()101＜10n a a ⨯≤即可得到结果;
【详解】455000=5.510⨯;
故答案选D ．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数点的位置是关键．
7.如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
8.一组数据3、2、4、5、2，则这组数据的众数是( )
A. 2
B. 3
C. 3.2
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数的概念进行求解即可.
【详解】2出现了两次，其余数据均出现一次，2出现的次数最多，
所以这组数据的众数是2，
故选A．
【点睛】本题考查了众数的概念，熟练掌握”众数是指一组数据中出现次数最多的数据”是解题的关键.
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6 cm，则BC等于()
3cm B. 3 cm 3 D. 4 cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出DE ，根据角平分线的性质求出CE ，根据正切的定义计算即可．
【详解】解：在Rt △ADE 中，∠A=30°，
∴DE=12
AE=3，∠ABC=60°， ∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠ACB=90°，
∴CE=DE=3，∠EBC=30°，
在Rt △CBE 中，
BC=
tan CE EBC =∠(cm )， 故选：C ．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10.在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)到直线Ax +By +C ＝0的距离公式为d
，例如：
点P 0(0，0)到直线4x +3y ﹣3＝0的距离为d
35
=，根据以上材料，求点P 1(3，4)到直线y ＝﹣
3544x +的距离为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
先将直线的解析式化为定义中的形式，再根据距离公式计算即可． 【详解】∵3544y x =-
+ ∴35044
x y +-= ∴点1)(3,4P 到直线3544y x =-+
5454== 故选：B ．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用：点到直角的距离公式，掌握理解距离公式是解题关键．
二．填空题
11.因式分解：2ax2﹣4axy+2ay2＝_____．
【答案】2a(x﹣y)2
【解析】
【分析】
先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：原式＝2a(x2﹣2xy+y2)＝2a(x﹣y)2，
故答案为：2a(x﹣y)2
【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解时，如果多项式的各项有公因式，首先考虑提取公因式，然后根据多项式的项数来选择方法继续因式分解，如果是两项，则考虑用平方差公式;如果是三项，则考虑用完全平方公式，掌握上述因式分解的知识点是解题的关键．
12.函数
1
2
y
x
=
-
中，自变量的取值范围是．
【答案】x＞2
【解析】
【分析】
根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.
详解】解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= 3
2
，则t的值是________．
【答案】2 【解析】【分析】
根据正切的定义即可求解．
【详解】∵点A (t ，3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t ，
又∵tanα=AB OB =32
， ∴t=2．
故答案为2．
14.如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于___________．
2-1
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得45CAC BAB ∠'=∠'=︒，45B B ∠'=∠=︒，2AB AB '==可证AFB ∆'，ADB ∆和BEF ∆为等腰直角三角形，分别求出ADB S ∆，BEF S ∆的值，即可求解．
【详解】解：如图，设,AB B C ''交于点，BC B C ''，交于点，
90BAC ∠=︒，2AB AC ==
45B C ∴∠=∠=︒，
ABC ∆绕点顺时针旋转45︒得到△AB C ''，
45CAC BAB ∴∠'=∠'=︒，45B B ∠'=∠=︒，2AB AB '==， AFB ∴∆'是等腰直角三角形，
AD BC ∴⊥，B F AF '⊥，212
AF AB =
'=， 21BF AB AF ∴=-=-， 45B ∠=︒，EF BF ⊥，AD BD ⊥，
ADB ∴∆和BEF ∆为等腰直角三角形，
212
AD BD AB ∴==
=，21EF BF ==-， 图中阴影部分的面积1111(21)(21)2122ADB BEF S S ∆∆=-=⨯⨯---=-， 故答案为：21-．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
15.如图，一折扇完全打开后，若外侧两竹片OA ，OB 的夹角为120°，扇面ABDC 的宽度AC 是OA 的一半，且OA ＝30 cm ，则扇面ABDC 的周长为__________cm ．
【答案】(30π＋30)
【解析】
【分析】
根据题意求出OC ，根据弧长公式分别求出AB 、CD 的弧长，根据扇形周长公式计算．
【详解】由题意可得：1152OC AC OA ===， 弧AB 长=12030=20180ππ⨯， 弧CD 的长=
12015=10180ππ⨯， ∴扇形ABCD 的周长=()20+10+15+15=30+30
cm πππ， 故答案为()30+30π． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，准确理解所给图形找出相关的量是解题的关键． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，位似比12
OA AD =，若AB ＝1.5，则DE ＝_____．
【答案】4.5
【解析】
【分析】
根据位似图形的性质得出AO,DO 的长,进而得出, 13OA OD =,13
AB DE =求出DE 的长即可 【详解】∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，
∴
AB OA DE OD =， ∵
12OA AD =， ∴
13OA OD =， ∴13
AB DE =， ∴DE ＝3×
1.5＝4.5． 故答案为4.5．
【点睛】此题考查坐标与图形性质和位似变换，解题关键在于得出AO,DO 的长
17.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是 cm ．
【答案】5＜x ＜10．
【解析】
【分析】
设AB=AC=x ，则BC=20﹣2x ，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】∵在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，
∴设AB=AC=x cm ，则BC=(20﹣2x )cm ，
∴22022020
x x x >-⎧⎨->⎩ ， 解得5cm ＜x ＜10cm ，
故答案为5＜x ＜10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，正确理解和灵活运用相关知识是解题的关键． 18.观察下列等式：1﹣
12＝12，2﹣25＝85，3﹣310＝2710，4﹣417＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为_____．
【答案】20﹣
208000=401401． 【解析】
【分析】
观察已知等式，找出等式左边和右边的规律，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】观察已知等式，等式左边的第一个数的规律为1,2,3,
，第二个数的规律为：分子为1,2,3,，
分母为222112,215,3110,
+=+=+=
等式右边的规律为：分子为3331,2,3,，分母为222112,215,3110,+=+=+=
归纳类推得：第n 个等式为3
2211
n n n n n -=++(n 为正整数) 当20n =时，这个等式为3
22202020201201
-=++，即20800020401401-= 故答案为：20800020401401
-=． 【点睛】本题考查了实数运算的规律型问题，从已知等式中归纳类推出一般规律是解题关键．
三．解答题
19.计算：(﹣1)2020+(π
+1
1
()
2
-．
【答案】3．
【解析】
【分析】
先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的正切函数值、负整数指数幂，再计算实数的乘法，最后计算实数的加减运算即可．
【详解】原式112
3
=+-+
1112
=+-+
3
=．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、特殊角的正切函数值、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
20.已知x、y满足方程组
52
251
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=-
⎩
，求代数式()()()
222
x y x y x y
--+-的值．
【答案】
3
5
【解析】
【分析】
原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式=(x2-2xy+y2)-(x2-4y2)=x2-2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2，
方程组
52
251
x y
x y
--
⎧
⎨
+-
⎩
＝①
＝②
，
①+②得：3x=-3，即x=-1，
把x=-1代入①得：y=
1
5
，
则原式=
213
+=
555
.
【点睛】此题考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的长．
【答案】OM＝5．
【解析】
【分析】
作PD⊥MN于D，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质可得OD的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出MD，即可得出OM的长．
【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB=60º，OP＝12，∴OD＝1
2
OP=6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝1
2
MN＝1，
∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．
【点睛】本题主要考查了含30º角的直角三角形性质、等腰三角形的”三线合一”性质，过点P作PD⊥OB 是解答的关键.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-2，1)，C(-5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2面积之比为(不写解答过程，直接写出结果)．
【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)1：4
【解析】
【分析】
(1)根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得出各点坐标，进而得出答案;
(3)利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
【详解】(1)如图，△A1B1C1即为所求;
(2)如图，△A2B2C2即为所求;
(3) ∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1∶2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2面积之比为：1∶4.
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、作图-位似变换，熟练掌握直角坐标系中的基本作图方法是解答的
关键.
23.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x
的图象相交于A(-1，n)，B(2，-1)两点，与y 轴相交于点C ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为y ＝-x ＋1，反比例函数的表达式为y ＝-
2x ;(2)S △ABD ＝3． 【解析】
【分析】
(1)先把B 点坐标代入m y x
=中求出m ，得到反比例函数解析式为2y x =-，再利用解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可;
(2)先利用一次函数解析式确定()0,1C ，利用关于x 轴对称的性质得到()0,1D -，则BD x ∥轴，然后根据三角形面积公式计算即可;
【详解】解：(1)∵反比例函数m y x =
的图象经过点B(2，－1)， ∴m ＝－2．……
∵点A(－1，n)在2y x
=-的图象上，∴n ＝2．∴A(－1，2)． 把点A ，B 的坐标代入y ＝kx ＋b ，得
221k b k b ⎧-+=⎨+=-⎩解得11k b ⎧=-⎨=⎩
， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1，反比例函数的表达式为2y x =-
; (2)∵直线y ＝－x ＋1交y 轴于点C ，∴C(0，1)．
∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D(0，－1)．∵B(2，－1)，∴BD ∥x 轴．
∴S △ABD ＝12
×2×3＝3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题知识点，准确理解待定系数法求解析式是关键．
24.如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G ．
(1)求证：BD ∥EF ．
(2)若BE ＝4，EC ＝6，△DGF 的面积为8，求▱ABCD 的面积．
【答案】(1)证明见解析;(2)ABCD 的面积为100．
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的判定与性质即可得证;
(2)先根据平行四边形的性质得出DF 、AD 的长和//,//AB CD BD EF ，再根据平行线的性质得出,F ADB FDG A ∠=∠∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质得出2()DFG ADB S
DF S AD =，从而可求出ADB △的面积，由此即可得ABCD 的面积．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴//AD BC ，即//DF BE
又∵DF ＝BE
∴四边形BEFD 是平行四边形
∴//BD EF ;
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，4,6BE EC ==
∴4,4610DF BE AD BC BE EC ====+=+=，//AB CD
∴FDG A ∠=∠
∵四边形BEFD 是平行四边形
//BD EF ∴
∴F ADB ∠=∠ ∴DFG ADB ~
∴2244()()1025DFG ADB S DF S
AD === ∵8DFG S =
∴50
ADB
S=
∴ABCD的面积为2250100
ADB
S=⨯=．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(2)，利用平行四边形的性质得到两个三角形相似的条件是解题关键．
25.随着城际铁路的开通，从甲市到乙市的高铁里程比快里程缩短了90千米，运行时间减少了8小时，已知甲市到乙市的普快列车里程为1220千米，高铁平均时速是普快平均时速的2.5倍．
(1)求高铁列车的平均时速;
(2)若从甲市到乙市途经丙市，且从甲市到丙市的高铁里程为780千米．某日王老师要从甲市去丙市参加14：00召开的会议，如果他买了当日10：00从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市高铁站到会议地点最多需要0.5小时．试问在高铁列车准点到达的情况下，王老师能否在开会之前赶到会议地点?
【答案】(1)高铁列车的平均时速为240千米/小时;(2)王老师能在开会之前到达．
【解析】
【分析】
(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，根据题意可得，高铁走(1220-90)千米比普快走1220千米时间减少了8小时，据此列方程求解;
(2)求出王老师所用的时间，然后进行判断．
【详解】解：(1)设普快的平均时速为x千米/小时，高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时，
由题意得，1220122090
8
2.5
x x
-
-=，
解得：x＝96，
经检验，x＝96是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x＝240，
答：高铁列车的平均时速为240千米/小时;
(2)780÷240＝3.25，
则坐车共需要3.25+0.5＝3.75(小时)，
从10：00到下午14：00，共计4小时＞3.75小时，
故王老师能在开会之前到达．
【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程
26.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E时AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．
(1)求证：AB＝BC;
(2)如果AB＝10．tan∠FAC ＝1
2
，求FC的长．
【答案】(1)证明见解析;(2)FC＝20
3
．
【解析】
【分析】
(1)连接EB，可得BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE，再证∆ABE≅∆CBE，即可得到结论;
(2)易得∠FAC＝∠ABE，从而得AE
BE
＝
1
2
，设AE＝x，则BE＝2x，可得AC＝5BE＝5，作CH⊥AF
于点H，易证Rt△ACH∽Rt△BAE，可得HC＝4，AH＝8，由HC∥AB，得FC
FB
＝
HC
AB
，进而即可求解．
【详解】(1)连接EB，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵点E为AD弧的中点，∴∠ABE＝∠CBE，
在∆ABE与∆CBE中，
∵
=90
{
AEB CEB
BE BE
ABE CBE
∠∠=︒
=
∠∠
＝
，
∴∆ABE≅∆CBE(ASA)，
∴BA＝BC;
(2)∵AF为切线，
∴AF⊥AB，
∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，
∴tan ∠ABE ＝tan ∠FAC ＝12， ∵在Rt △ABE 中，tan ∠ABE ＝AE BE ＝12
， ∴设AE ＝x ，则BE ＝2x ， ∴AB ＝5x ，即5x ＝10，解得：x ＝25，
∴∆ABE ≅∆CBE ，
∴AC ＝2AE ＝45，BE ＝45，
作CH ⊥AF 于点H ，
∵∠HAC ＝∠ABE ，
∴Rt △ACH ∽Rt △BAE ，
∴HC AE ＝AH BE ＝AC AB ，即HC 25＝AH 45＝4510
， ∴HC ＝4，AH ＝8，
∵HC ∥AB ，
∴
FC FB ＝HC AB ，即FC FC 10+＝25
， 解得：FC ＝203．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，锐角三角函数以及相似三角形的综合，掌握圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质定理，是解题的关键．
27.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点
P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．
(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--;(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916;(3) (3,23)Q -或()3,23-或113113,22⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,22⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝
⎭． 【解析】
【分析】
(1)函数的表达式为：y=a (x+1)(x-3)，将点D 坐标代入上式，即可求解;
(2)设点()
2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132
m m =-++，利用二次函数的性质即可求解; (3)分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，
故抛物线的表达式为：223y x x =--…①;
(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()
2,23P m m m --，
将点P 、D 坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，
()12POD D P S OG x x ∆=
⨯-1(32)(2)2m m =+-2132
m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916; (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，
∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况： ①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =，
过点A 作AH ⊥BC 与点H ，
1122
ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =， ∴CH 2
则tan 2ACB ∠=，
则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，
联立①②并解得：3x =±
故点(3,3)Q -或()3,23-;
②BAC BOQ ∠=∠时，
3tan 3tan 1
OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，
联立①③并解得：12
x -±=，
故点13,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝
⎭;
综上，点Q -或(或1122⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或⎝
⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。