线性代数习题答案完整版

一、选择题.
1. 下列排列是偶排列的是( ).
( A ) 53214 ； ( B ) 654321； ( C )12345 ； ( D ) 32145 . 解：因为 (A) (53214) 7 ; (B) (654321) 15;
(C) (12345) 0 ; (D) (32145) 3 .
211
1 11 1 1
1 2 1
1 1 0 2 1
解：（1） Dn 1 1 2
1 1 0 1 2 1
1 1 1
2 1 0 1 1
按第一列展开成两个行列式得
111
1111
1
1 2 1
1021
1
Dn 1 1 2
1 0 1 2
1
1
1
1 1 1
2 0 1 1
2
1 r2 r1 1 1 0 r3 r1 3 2
( A ) n(n 1) ； 2
(B)n；
(C ) n 1；
( D )不确定.
解：因为 n(n 1)(n 2) 321的逆序数为 (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) ， 2
4
故选 A .
4. 判断 4 阶行列式 det(aij ) 中的项 a11a33a44a22 和 a24a31a13a42 的符号分别为( ). ( A ) 正、正； ( B )正、负； ( C )负、正； ( D )负、负.
111
111 (xy yz xz) x y z (xy yz xz)( y x)(z x)(z y).
x2 y2 z2
6. 计算下列 n 阶行列式.
8
211 1 2 1 （1） 1 1 2
1
x a1 a2
1
a1 x a2
1 ; （2）
1 1 1
2
a1 a2 a3 a1 a2 a3
( B ) x1 2, x2 3 ；
Байду номын сангаас
( C ) x1 0, x2 1 ；
( D ) x1 1, x2 1 .
x 34 解：因为 1 x 0 0 ，即 x2 4x 3 0 ，所以 (x 1)(x 3) 0 ， x1 1, x2 3.
0 x1
故选 A.
二、填空题.
7. 二阶行列式的代数和共 项，每一项是 项，每一项是 个元素乘积.
练习 1.1 答案详解
一、选择题.
1. 下面哪个行列式的值为 1( ).
（ A） 1
4
；
13
123
(B)1
3
；
(C) 0
1
2；
14
031
001 (D) 0 1 0 .
100
解：因为
1 4 1； 13
1 3 1； 14
123 0 1 2 5 ； 031
001 0 1 0 1.故选 B. 100
2 1
1 4 10 20 0 1 4 10 0 0 1 4 0 0 0 1
x
r3 ( x y z )r1
(4) D
x2
x2 xy xz yz
y y2 y2 xy yz xz
z z2 z2 xz yz xy
x
y
z
xyz
r3 r2
x2
y2
z2
(xy yz xz) x2 y2 z2
xy xz yz xy yz xz xz yz xy
1 3n
1
3n
1
.
13
2
(2)
x a1 a2 a1 x a2 Dn1 a1 a2 a3 a1 a2 a3
an1 an1
1 x a c1a1cn1 1 a c2 a2cn1
1 1
0 cn ancn1
a1 a2 x a2
0
a2 a3 a2 a3 x a3
x1 an 1
，称
a11 a21
a12 是方程组的 a22
行列式.
答案：系数.
a21
10.已知行列式 2 3 0 0 ，则数 a
.
1 1 1
a21 解：因为 2 3 0 0 ，即 3a 9 0，所以 a 3.
1 1 1
答案： a 3.
三、计算题.
11. 计算下列三阶行列式.
123 (1) 3 1 2 ；
51
3
(1)
(213)
0
4
4
(1)
(132)
2
9
0
= 8 0 0 15 0 0 = 7 ；
11.计算下列行列式：
5
10
0
02
(1)
0；
00
n
1 234
0123
(2)
.
0012
0001
10 解：(1) 0 2
0 0
1 23 n n!;
00
n
1234
0123
(2)
1111 1.
0012
a11 a21
a12 a22 ； a12 a22
b1 ( D ) b2
a11 a21
a12 a22 . a12 a22
解：根据克莱姆法则知 x1
D1 D
,
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 . 故选 C. a22
x 34 6.方程 1 x 0 0 的根是( ).
0 x1
（ A ） x1 1, x2 3 ；
c1 c2 c3
c1 c2 2c3 c3
( A ) 2k ；
(B)k ；
( C ) k ； ( D ) 2k .
a1 a2 a3
a1 a2 2a3 a3 a1 a2 a3
解：因为 b1 b2 b3 k ，则 b1 b2 2b3 b3 b1 b2 b3 k ，故选B.
c1 c2 c3
故选 C .
2. 已知由1, 2,3, 4,5 组成一个偶排列 32x5y ，则 x, y 分别为( ).
( A ) 1、4； ( B )4、1；
( C )1、2 ；
解： (32154) 4 为偶排列 .故选 A.
.
( D )3、4.
3. 排列 n(n 1)(n 2) 321的逆序数为( ).
6113 1113 0 0 0 2
1 1 1 1 1 r4 r3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
r3 r2
r4 r3
1 2 3 4 0 r2 r1 1 2 3 0 r3 r2 1 2 3 0 r4 r3 1 2 3
(3) D
1.
1 3 6 10 0 1 3 6 0 0 1 3 0 0 1 3
个元素乘积. 三阶行列式的代数和共
答案：2，2，6，3.
12 2
8.
02
3 12
；
10
003 0 1 0 . 200
答案：24, 12 ,1,1, 6 .
123
100
；0 1 2 ； 3 1 0 ；
001
231
2
9.已知二元线性方程组 aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
6.排列 31524 的逆序数为 ，该排列为 排列．
答案： 4 ，偶排列.
7.在 1、2、3 三个数的排列中，共有 个排列，其中奇排列 个，偶排列 个.
答案： 6,3,3 .
8.在六阶行列式中， a15a23a32a44a51a66 应取什么符号
.
答案：正号.
9.四阶行列式中含有因子 a11a23 的项是
rn rn
0 0 3
1 2 2 Dn1
an1 1 an1 1
.
x1 an 1 1 1 1, 1 2
000
3
3n1 Dn1 3n1 3n2 Dn2 3n1 3n2
32 D2
3n1 3n2 32 2 1 3n1 3n2 32 5 1 2
3n1 3n2
32
3 11
7
3 1 1 2
5 1 3 4
(1)
；
2 0 1 1
1 5 3 3
3111
1311
(2)
;
1131
1113
11 1 1
12 3
(3)
4；
1 3 6 10
1 4 10 20
xyz (4) x2 y2 z 2 .
yz xz xy
5 1 1 1
c1 2c3
5 11
c4 c3 11 1 解：(1) D
3 1 (1)33 11 1 1
231
20 00
31
111
0 3
(2) 0
0 ； (3) a b c .
18
a2 b2 c2
22 00
13
解：(1)
123 666 111 1 1 1 3 1 2 3 1 2 6 3 1 2 6 0 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 1 1
11 1 6 0 2 1 61 (2) ( 3) 18.
c1 c2 2c3 c3 c1 c2 c3
二、计算题.
4. 用行列式性质计算.
103 100 204 (1) 199 200 395 ；
301 300 600
ab ac ae (2) bd cd de .
bf cf ef
3 100 4
314
解：
原式
c1 c2
=
1
200
5 100 1
2
5 2000.
和
.
答案： a11a23a32a44 ， a11a23a34a42 .
三、计算题.
205 10.利用 n 阶行列式定义计算行列式 D = 4 1 9 ．
304
解：由定义知道 D = (1) (123) 2 1 4 (1) (231) 0 9 3 (1) (312) 5 4 0
(1)
(
321)
0 010
5 5 0
5 5 3 0
5 11
r2 r1
6
2
0 (1)13 6
2 40 ；
5 5
5 5 0
6 1 1 1 1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
r3 r1
6 3 1 1 c1c2 c3 c4
1 3 1 1 r4 r1 0 2 0 0
(2) D
6
6
48 ；
6131 1131 0 0 2 0
2 0 0 3
2
(2)
3
20
00
31
200
0 3
0
0 0 3 0 23 4 24.
18
004
22
00
13
(3)利用范德蒙行列式得 (b a)(c a)(c b) .
12. 求解方程
11 23 49
1 x 0. x2
解：原行列式方程等价于 x2 5x 6 0 ，可解得 x 2 或 x 3. 练习 1.2 答案详解
3
111
111
( A) 2 ； 3
( B )1；
( C )2；
(D)8 . 3
6
xyz
2x 2y 2z x y z x y z
解：因为 4 0 3 1 ，则 4 0 1 2 4 0 3 2 4 0 3 2 1 2 .
3
3 33
33
111
1 1 1 111 111
故选 A .
2. 如果行列式的所有元素变号，则( ).
1
5.已知二元线性方程组 aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
0
的系数行列式
0
a11 a21
a12 a22
0 ，则 x1 (
).
b1 （ A ） b2
a11 a21
a12 a22 ； a12 a22
a11 ( B ) a21
a11 a21
b1 b2 ； a12 a22
b1 ( C ) b2
1 c3 2c2 300 0
130
ab ac ae
b c e
b c e
r1 r2 ,r1 r3
(2) bd cd de adf b c e adf 0 0 2e
bf cf ef
b c e
0 2c 0
adf (1)32 2c b
e 2adfc (b) 2e 4abcdef .
0 2e
5. 计算下列行列式.
0001
四、证明题.
0 0
12. 证明行列式
0 a1
a2
0
n ( n 1)
(1) 2 a1a2
an .
0 0
证明：
an
00
0 a1
a2
0 (1) (n(n1) 21) a1a2
n ( n 1)
an (1) 2 a1a2
an .
an
00
练习 1.3 答案详解
一、选择题.
xyz
2x 2y 2z
1. 设行列式 4 0 3 1 ，则行列式 4 0 1 ( ).
(A) 行列式一定变号；
(B) 行列式一定不变号；
(C) 偶阶行列式变号；
(D) 奇阶行列式变号.
解：因为每一行都可以提出一个负号，一共提 n 个，得 (1)n ，所以 n 为奇数时变号，故
选D.
a1 a2 a3
a1 a2 2a3 a3
3. 设 b1 b2 b3 k ，则 b1 b2 2b3 b3 ( ).
2.与行列式
相等的是( ).
13
（
A
）
2 1
1
3
；
2 1 0 (B) 1 3 0 ；
010
2
(C
)
1
1 3
；
(D) 2
1
.
1 3
2 1 0 解：因为 ( A) 和 (C) 为矩阵， (B) 1 3 0 0 ； (D) 2 1 7. 故选 D.
1 3 010
0 0 1 3. 行列式 0 1 0 等于( ).
10 1
（ A ）1；
( B ) 1；
(C) 0；
(D) 2.
解：因为
0 0 1 32
0 1 0 (1) 2 (1) 11 1.故选 A.
10 1
cos sin
4.二阶行列式
的值为( ).
sin cos
（ A ） 1； ( B ) 0 ； ( C ) 1； ( D ) cos2 .
解：因为 cos sin cos2 sin2 1. 故选 A. sin cos
解： a11a33a44a22 a11a22a33a44 带正号. a24a31a13a42 a13a24a31a42 列标排为 3412 为偶排 列，带正号.故选 A .
二、填空题.
5.排列 213 是由 1、2、3 三个自然数组成的一个 5 五个自然数组成的一个 级排列．
答案： 3,5 .
级排列， 25314 是由 1、2、3、4、