全国各地备战中考模拟试卷数学分类：二次函数综合题汇编附答案

全国各地备战中考模拟试卷数学分类：二次函数综合题汇编附答案

一、二次函数

1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1

2

，﹣

9

4

a）；（2）

27327

48

a

a

--；（3）

2≤t＜9

4

．

【解析】

【分析】

（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；

（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；

（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=-2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1

2

）2-

9

4

a

，

∴抛物线顶点D 的坐标为（-

1

2

，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2，

则2

222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩

＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x=

2

a

-2， ∴N 点坐标为（

2a

-2，4

a -6），

∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，

∵抛物线对称轴为122

a x a =-=-， ∴E （-

1

2

，-3）， ∵M （1，0），N （

2a

-2，4

a -6），

设△DMN 的面积为S ，

∴S=S △DEN +S △DEM =

12

|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ，

（3）当a=-1时，

抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+

12

）2+94，

由222y x x y x ⎧=--+⎨=-⎩， -x 2-x+2=-2x ，

解得：x 1=2，x 2=-1， ∴G （-1，2），

∵点G 、H 关于原点对称， ∴H （1，-2），

设直线GH 平移后的解析式为：y=-2x+t ， -x 2-x+2=-2x+t ， x 2-x-2+t=0， △=1-4（t-2）=0， t=

94

， 当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y=-2x+t ， t=2，

∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜

94

．

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；

（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,

0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2

1

4

y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；

（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】

解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2

y x bx c =-++，

有10

930b c b c --+=⎧⎨

-++=⎩

。解得2,3b c ==

2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴

（Ⅱ）由222

424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∵点E 在直线y x =上，2

424

b c b

+∴=

221111

(1)4244c b b b ∴=-+=--+

2110,(1)44A b ⎛

⎫∴--+ ⎪⎝

⎭

当1b =时，点A 是最高点此时，2

1

4

y x x =-++

（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=

1c b ∴=+

24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Q

2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭