高数2试题及答案.(DOC)

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模拟试卷一
―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）
一、单项选择题（每题3分，共24分）
1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1
1
1231:
-+=
+=-z y x L 的位置关系是（）（A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上
（C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面上 2、=-+→→1
123lim
0xy xy y x （）
（A ）不存在（B ）3 （C ）6 （D ）∞
3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及x
y z
∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合
偏导数在D 内相等的（）条件.
（A ）必要条件（B ）充分条件
（C ）充分必要条件（D ）非充分且非必要条件 4、设
⎰⎰≤+=a
y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（）
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知
()()2
y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （）
（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1
6、曲线积分=++⎰L z y x ds
2
22（），其中.110:222⎩
⎨⎧==++z z y x L
（A ）
5
π
（B ）52π （C ）53π （D ）54π
7、数项级数
∑∞
=1
n n
a
发散，则级数
∑∞
=1
n n
ka
（k 为常数）（）
（A ）发散（B ）可能收敛也可能发散
（C ）收敛（D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（）
（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2
（C ）22
1C x C y += （D ）C x y +=
2
2
1 二、填空题（每空4分，共20分）
1、设xy
e
z sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：
⎰
⎰-2
2
2
x
y dy e dx = 。

3、设L 是任意一条光滑的闭曲线，则⎰
+L
dy x xydx 2
2= 。

4、设幂级数
n
n n x a ∑∞=0
的收敛半径为3，则幂级数()
1
1
1+∞
=-∑n n n x na 的收敛区域为。

5、若()()0,,=+dy y x N dx y x M 是全微分方程，则函数N M 、应满足。

三、计算题（每题8分，共40分）
1、求函数(
)2
ln y x z +=的一阶和二阶偏导数。

2、计算⎰⎰
D
xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2即直线2-=x y 所围成的闭区域。

3、计算
()()⎰-+++-L
dy x y dx y x ,63542其中L 为三顶点分别为()()()23030,0，、，、
的三角形正向边界。

4、将x arctan 展开成x 的幂级数。

5、求微分方程()()
01=++-+dy x e dx y x y
的通解。

四：应用题（16分）
求由旋转抛物面2
2
y x z +=和平面2
a z =所围成的空间区域Ω的体积。

模拟试卷二
―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1. 点)5,3,4(-到Ox 轴的距离d ＝( )． (A) 2225)3(4+-+ (B) 225)3(+- (C) 224)3(+- (D) 2254+
2. 下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（）.
（A ）12
2
2
=++z y x （B ）z y x 42
2=+
（C ）142
22
=+-z y x （D ）116
9222-=-+z y x 3. 二元函数2
2221
arcsin 4ln
y
x y x z +++=
的定义域是( ). （A ）412
2
≤+≤y x ；（B ）412
2
≤+<y x ；（C ）412
2
<+≤y x ；（D ）412
2
<+<y x . 4. =),(0y x f x ( ). （A ）))((x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000
,,lim
（B ）))
((x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim
（C ）))((x y x f y x x f x ∆-∆+→∆,,lim
000
（D ）))
((x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆,,lim 000
5. 已知二重积分⎰⎰=D
dxdy 1，则围成区域Ｄ的是（）
． (A) 21||=
x ，3
1
||=y (B) x 轴，y 轴及022=-+y x (C) x 轴，2=x 及x y = (D) 1=+y x ，1=-y x 6. 设⎰⎰+=D
dxdy y x
I )(22
，其中D 由222a y x =+所围成，则I =( ).
(A) 40
220a rdr a d a
πθπ
=⎰⎰
(B) 40
220
2
1
a rdr r d a
πθπ
=
⋅⎰⎰
(C)
3
2
20
32a dr r d a
πθπ
=⎰
⎰
(D) 402202a adr a d a πθπ=⋅⎰⎰
7. 若L 是上半椭圆⎩
⎨⎧==,sin ,
cos t b y t a x 取顺时针方向,则⎰-L xdy ydx 的值为( ).
(A)0 (B)
ab 2
π
(C)ab π (D)ab π
8. 设a 为非零常数,则当( )时,级数
∑∞
=1
n n r a
收敛 . (A) ||||a r > (B) ||||a r > (C) 1||≤r (D)1||>r
9. 0lim =∞
→n n u 是级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的( )条件.
(A)充分 (B)必要 (C)充分且必要 (D)既非充分又非必要 10. 微分方程 0=+''y y 的通解为__________. (A) c x y +=cos (B) 21cos c x c y += (C) x c c y sin 21+= (D) x c x c y sin cos 21+=
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点)5,3,2(--A ,)2,3,1(-B 的及它的对角线的交点
)7,1,4(-E ，则顶点的坐标D 为_________
２. 设k j i a
23--=， k j i b -+=2，则b a ⨯ = ____
3. 设,arctan x
y
z = 则
=∂∂∂y x z 2________ 4. 若正项级数
∑∞
=1
n n
u
的后项与前项之比值的极限等于
ρ，则当________时，级数必收敛．
5. 幂级数 +⋅⋅⋅++⋅+
)
2(424222n x x x n 的收敛区间是．三、计算题（每小题10分，共50分）
1. 求函数 )(3),(2
2
3
3
y x y x y x f +-+= 的极值点，并求极值. 2. 计算
dxdy e
x y D
2
2-⎰⎰，其中D 是以（0,0）
，（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域.
３. 计算
⎰Γ
++ds z y x 2221，其中Γ为曲线：t e x t cos =，t e y t sin =，t
e z = )20(≤≤t ． 4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数： +-++++-1
2531
253n x x x x n . 5. 求微分方程满足已给初始条件的特解： y
x e
y -=2'，0|0==x y .
四、应用题与证明题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）
1. 求球面)0(2
2
2
2
>=++a a z y x 被平面4a z =
与2
a
z =所夹部分的面积。

2. 证明曲面)0(>=m m xyz 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.
模拟试卷三
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（本卷考试时间100分）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1. 若→
a ，→
b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =⋅→
→b a （）. （A ） 1 （B ）-1 （C ） 0 （D ）),cos(→
→b a 2. 设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ，则平面（）. （A ）平行于x 轴（B ）垂直于x 轴（C ）平行于y 轴（D ）垂直于y 轴
3. 设),(y x f ⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(222
22
222y x y x y x y x ,则在原点)0,0(处),(y x f ( ).
(A) 不连续 (B) 偏导数不存在 (C)连续但不可微 (D)可微 4. 二元函数3
3
)(3y x y x z --+=的极值点是( ).
(A) (1,2) (B) (1，-2) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)
5. 设D 为122≤+y x , 则 ⎰⎰
--D
dxdy y
x 2
2
11=（）.
(A) 0 (B) π (C) π2 (D) π4
6. ⎰
⎰-x
dy y x f dx 10
10
),(=( )
(A)
⎰⎰
-1
010
),(dx y x f dy x
(B)⎰
⎰-x
dx y x f dy 10
1
),(
(C)
⎰⎰
-y
dx y x f dy 10
1
),( (D) ⎰⎰1
1
),(dx y x f dy
7. 若L 是上半椭圆⎩⎨
⎧==,
sin ,
cos t b y t a x 取顺时针方向,则⎰-L
xdy ydx 的值为( ).
(A) 0 (B)ab 2
π
(C)ab π (D) ab π
8. 下列级数中,收敛的是( ).
(A) 11)45(-∞
=∑n n (B) 11)54(-∞=∑n n (C) 1
11)45()1(-∞=-∑-n n n (D) ∑∞
=-+11)544
5(n n
9. 若幂级数
∑∞
=0
n n
n x
a 的收敛半径为1R ：+∞<<10R ，幂级数
∑∞
=0
n n
n x
b 的收敛半径为2R ：
+∞<<20R ，则幂级数∑∞
=+0
)(n n n n x b a 的收敛半径至少为( )
(A)21R R + (B)21R R ⋅ (C){}21,m ax R R (D){}21,m in R R 10. 方程y y x y x ++=
'22是( ).
(A)齐次方程 (B)一阶线性方程 (C)伯努利方程 (D)可分离变量方程
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 平行四边形二边为向量}1,3,1{-=→
a ，}3,1,2{-=→
b ，则其面积S = . 2. 通过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为． 3. 设 y x z tan
ln =，则
=∂∂y
z
_________． 4. 曲线2,1,1t z t
t y t t x =+=+=
在对应于1=t 的点处切线方程为______________；
5. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,
则有
⎰+L
Qdy Pdx ________________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
1. 设)ln(xy x z =, 求 2
3y x z
∂∂∂ ．
2. 求
⎰⎰+D
y x d e σ, 其中 D 是由 1≤+y x 所确定的闭区域． 3. 计算
⎰
+--L
dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周：22x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)
的一段弧． 4. 将函数
)1ln()1(x x y ++=展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间．
5. 求下列微分方程的通解：.tan cos 2
x y dx
dy
x
=-
四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）
1. 在平面xoy 上求一点,使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.
2. 求由曲面2
2
2y x z += 及 2
2
26y x z --= 所围成的立体的体积 . 、
模拟试卷四
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（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）
1.b a b a
-<+充分必要条件是（）
(A) a ×0=b
(B) 0=⋅b a (C) 0>⋅b a (D) 0<⋅b a
2. 两平面 054=++-z y x 与 0322=---z y x 的夹角是（） (A)
6π (B) 3π (C) 4π (D) 2
π 3. 若1),(=b a f y ，则 ))((y
y b a f y b a f y ∆∆--∆+→∆,,lim
=( )
(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 0 4. 若),(00y x f x 和),(00y x f y 都存在,则),(y x f 在),(00y x 处( ) (A) 连续且可微 (B) 连续但不一定可微 (C) 可微但不一定连续 (D) 不一定连续且不一定可微 5. 下列不等式正确的是（） (A)
0)(331
2
2
>+⎰⎰
≤+σd y x y x (B)
0)(221
22
>+⎰⎰
≤+σd y x y x (C)
0)(1
22>+⎰⎰
≤+σd y x y x (D)
0)(1
22>-⎰⎰
≤+σd y x y x
6.
⎰
⎰-x
dy y x f dx 10
1
),(=( )
(A)
⎰⎰
-1
010
),(x d y x f dy x (B)⎰⎰-x
x d y x f dy 10
10),(
(C)⎰
⎰-y x d y x f dy 10
1
),( (D) ⎰⎰1
10),(x d y x f dy
7. 设区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，A 为区域D 的面积，则（） (A) ⎰-=L xdy ydx A 21 (B) ⎰-=L
ydx xdy A 21
(C) ⎰+=
L ydx xdy A 21
(D) ⎰-=L
ydx xdy A 8. 设∑∞
=1
n n a 是正项级数，前n 项和为∑==n
k k n a s 1
，则数列{}n s 有界是∑∞
=1
n n a 收敛的（）
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D)既非充分条件，也非必要条件 9. 以下级数中，条件收敛的级数是（）
(A) 102)1(1+-∑∞
=n n N N
(B) ∑∞
=--1311
)1(n n n
(C) ∑∞
=+-1
1
)21()
1(n n n (D) n n n 3)1(1
1∑∞
=-- 10. 下列方程为线性微分方程的是（）
(A) x e y x y +=')(sin (B) x e y x y +='sin (C) y e x y +='sin (D) 1cos +='y y x
二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）
1. 曲线⎩⎨⎧=+-=--+010
2222z y y z x 在xoy 平面上的投影方程是 ____ ___ .
2. 经过点)1,0,2(-且垂直于直线 4
3
1111-=
-+=-z y x 的平面方程是 .
3. 2222
02)
sin(lim x y x y x →→ = _ . 4. 设区域D 是由x 轴及半圆周222a y x =+)0(≥y 所围成的闭区域，将二重积分
⎰⎰+D d y x
f σ)(22
化为极坐标形式的二次积分应为____________ .
5. 设∑∞=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 都是正项级数，且∑∞
=1
n n u 发散，则当,,2,1 =n 都有时，
∑∞
=1
n n
v
也一定发散.
三、设函数 y
x e z =，求
1
22==∂∂∂y x y
x z
. （10分）
四、计算二重积分⎰⎰+D
y x d e
σ2
2，其中D 是圆环形闭区域}41|),{(22≤+≤y x y x .
（10分）
五、计算⎰
-+-L
dy xy y dx xy x ,)2()(2
32其中L 是三个顶点分别为 )0,0(、)
0,2(和)2,2(的三角形区域的正向边界. （10分）
六、求幂级数 ∑
∞
=122n n
n
x 的和函数. （10分）
七、求下列微分方程的通解: 0sin )sin cos (=+-y d x
y
x x d x y y x y x . （10分）
八、应用题（15分）
计算半球面222y x a z --= 被围在柱面ax y x =+22内的部分曲面的面积.
参考答案（模拟试卷一）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一：单项选择题（每小题3分，共24分）
1、D ；
2、B ；
3、B ；
4、A ；
5、C ；
6、C ；
7、B ；
8、C.
二、填空题（每空4分，共20分）
1、()xdy ydx xy e
xy
+cos sin ；2、⎰⎰-200
2
y
y dx dy e ；3、0；4、()4,2-；5、
x
N
y M ∂∂=∂∂. 三、计算题（每题8分，共40分）
1、解：;2;12
2y
x y
z y x z y x +='+=
' ……2分
()
()
()
()
;2;2;1
2
22
2
22
2
y x y
z z y x y x z y x z yx xy yy
xx +-=''=''+-=''+-=
'' ……6分
2、解：画出积分区域 ……1分
⎰
⎰⎰⎰-+=2
1
2
2y y
D
xydx dy xyd σ ……4分
=()[]
8
55221215
2=-+⎰-dy y y y ……3分
3、解：如图，因为()()635,,42,-+=+-=x y y x Q y x y x P ……1分
∵
3,1=∂∂-=∂∂x Q y P
，则4=∂∂-∂∂y
P
x Q ……2分
由格林公式得：
()()⎰-+++-L
dy x y dx y x 63542
=124==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy y P x Q D
D ……5分
4、解：⎰+=
x
x dx
x 021arctan ……2分
=
()
()⎰∑∑⎰∞
=∞
=-=-x n n x
n n
x
n
dx x dx x 000
2211 ……3分
=()
[]1,11210
1
2-∈+-∑∞
=+x n x n n n
……3分
5、解：原方程即为 ()()01=+-++dy e dx x xdy ydx y
……2分即 ()()012
1
2=+-+y de x d xy d ……2分 ()0121
2=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+y e x xy d ……2分原方程的通解为 ()C e x xy y =+-+
212
1
……2分四、应用题（16分）
解一：用二重积分计算。

所求体积可视为圆柱体：2
2
2
2
0,a z a y x ≤≤≤+的体积与以曲面2
2
y x z +=为顶、以xy D 为底的曲顶柱体体积之差，其体积为 ……8分
()
⎰⎰⎰⎰=
-=+-⋅=ππ
θππ20
4
3422222
a
D a dr r d a dxdy
y x a a V xy
……8分
解二：用三重积分计算。

利用柱面坐标，有 ……4分
()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
-===Ω
a
a
a r
a dr r r a dz
rdr d dV V 0
4
3220
2
22
2π
πθπ …12分
答案（模拟试卷二）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. (9，-5，12)
2. k j i
75++ 3.
2
222
2)(y x x y +- 4. 1<ρ 5. ),(+∞-∞
三、计算题（每小题10分，共50分）
1. 求函数 )(3),(2
2
3
3
y x y x y x f +-+= 的极值点，并求极值. 解：∵y y y x f x x y x f y x 63),(,63),(2
2
-='
-='
令⎩
⎨⎧====⇒⎪⎩⎪⎨⎧='='2,02,00),(0),(212
1y y x x y x f y x f y x
∴驻点为：)0,0(，)2,0(，)0,2(，)2,2( ……………………………4分又∵66,0,66-="
="-="y f f x f yy xy xx ……………………………6分（1）对于驻点)0,0(有6,0,6-==-=C B A ，0362
>=-=∆B AC 且0<A
∴0)0,0(=f 为极大值 ……………………………7分（2）对于驻点)2,0(有6,0,6==-=C B A ，0362
<-=-=∆B AC
∴)2,0(f 不是极值 ……………………………8分（3）对于驻点)0,2(有6,0,6-===C B A ，0362
<-=-=∆B AC
∴)0,2(f 不是极值 ……………………………9分（4）对于驻点)2,2(有6,0,6===C B A ，0362
>=-=∆B AC 且0>A
∴8)2,2(-=f 为极小值 ……………………………10分
2. 计算
dxdy e x y
D
2
2-⎰⎰，其中D 是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域. 解：
dxdy e
x y D
2
2-⎰⎰=dy dx e x y
y ][0
21
2
⎰⎰- ……………………………5分
=
⎰-1032
3
1dy e y y ……………………………7分 =⎰--10
32
61y de y
=][6
11021
0322⎰----dy e e y y y
=]1[611
2
y e e -+-
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-e 2161 ……………………………10分３. 计算
⎰Γ
++ds z y x 2221
，其中Γ为曲线：t e x t cos =，t e y t sin =，t e z = )20(≤≤t ．解：原式 dt e t e t e e t e t e t
t t t t t )()sin ()cos ()
()sin ()cos (12
2
22'+'+'++=
⎰
………3分 dt e t ⎰
-=
2
2
3
……………………………8分
=
)1(2
3
2--e ……………………………10分 4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:
+-++++-1
2531
253n x x x x n . 解：∵1,11
12
242<-=
+++++x x x x x n
……………………………3分
∴ +-++++-12531
253n x x x x n =dx x
x ⎰-0211 ……………………………6分
=
]11
11[2100dx x
dx x x x ⎰⎰++- =
)11(11ln
21<<--+x x
x …………………………10分
5. 求微分方程满足已给初始条件的特解：
y
x e y -=2'，0|0==x y .
解：∵
y x e e dx
dy
-=2 ∴dx e dy e x
y
2= ……………………………3分两边积分得：C e e x
y
+=22
1 ……………………………7分又∵0|0==x y
∴2
1
=
C ……………………………9分 ∴特解为：()
12
12+=x y
e e ……………………………10分
四、应用题与证明题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）
1. 求球面)0(2
2
2
2
>=++a a
z y x 被平面4a z =
与2a
z =所夹部分的面积。

解：∵222y x a z --=且}16
1543),({22
22a y x a y x D ≤+≤= ……………2分
∴所求的面积为：⎰⎰
'+'+=
D
y x dxdy z z S 22
)()(1 ………………………4分
=dxdy y
x a a
D
⎰⎰
--2
2
2
1 ………………………8分
=θ
ρρ
ρ
d d a a
D ⎰⎰
-2
2 ………………………9分
=⎰
⎰
-a a d d a a
415
2
32
2
20
][θρρ
ρ
π
=
2
2
1a π ………………………13分 2. 证明曲面)0(>=m m xyz 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数. 解：曲面m xyz =上任一点),(00y x P 处的法向量为：),,(000000y x z x z y n =→
……3分 ∴),(00y x P 处的切平面方程为：0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y 即：
13330
00=++z z y y x x 且有m z y x =000 ………………………9分 ∴所围立体的体积为：2
9
=
V 000z y x =m 29 ………………………12分
答案（模拟试卷三）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 103
2. 04573=-+-z y x
3. y
x
y x 2csc 22
-
4.
8
142121
-=--=-
z y x 5. ⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y
P
x Q )(
三、计算题（每小题10分，共50分）
1. 设)ln(xy x z =, 求 2
3y x z
∂∂∂ ．
解：∵
1ln +=∂∂xy x
z
……………………………3分 ∴
y
y x z 1
2=∂∂∂ ……………………………6分 ∴2
221y
y x z -=∂∂∂ ……………………………10分 2. 求⎰⎰+D
y x d e σ, 其中 D 是由 1≤+y x 所确定的闭区域．解：
⎰⎰+D
y
x d e
σ=dxdy e dxdy e D y x D y x ⎰⎰⎰⎰+++2
1 ……………………………1分
=dx dy e e dx dy e e x
x y x x x y x ][][10
110
11
1
⎰⎰⎰⎰
---+--+ ……………………………7分
=
dx e e dx e e x x )()(10
120
1
112⎰⎰
---+-+- ……………………………9分
=1
--e e ……………………………10分
3. 计算
⎰
+--L
dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周：22x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)
的一段弧．
解：设L 的参数方程为：2,sin 1cos π
π到从t t
y t x ⎩⎨⎧=+= ……………………………2分
∴⎰+--L
dy y x dx y x
)sin ()(22
={}
dt t t t t t t ⎰⋅++--⋅-+2
22
cos )](sin sin )cos 1[()sin (]sin )
cos 1[(π
π …………6分
=
⎰
++++π
π
2
22)](sin sin cos cos _2cos cos sin 2sin [sin dt t t t t t t t t
=2sin 4
1
67+-
……………………………10分 4. 将函数
)1ln()1(x x y ++=展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间．
解：∵11,1
)1(3211)1ln(1
32≤<-++-+++-+=++='+x n x x x x x y n n …………4分 ∴
)1ln()1(x x y ++=
= +++-+++-++)
2)(1()1(12622432n n x x x x x n n
=∑∞
=+-+-+1
1
1)1()1(n n n x n n x ，)11(≤<-x ………………………10分 5. 求下列微分方程的通解：.tan cos 2
x y dx
dy
x
=- 解：∵x x y x y 2
2
sec tan sec ⋅=⋅-'
∴x x x Q x x P 2
2
sec tan )(,sec )(⋅=-= ……………………………2分
∴])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P +⎰⎰
=⎰
- ……………………………3分 =]sec tan [22
sec 2
sec
C dx e x x e xdx
xdx
+⎰
⋅⎰
-⎰
=]sec tan [tan 2
tan C dx e x x e x
x
+⋅-⎰ ……………………………6分
=]tan tan [tan tan C x d e
x e
x
x
+⋅-⎰
=]tan [tan tan C xde
e
x
x
+--⎰ ……………………………8分
=]tan [tan tan tan tan C x d e
e x e
x
x x
+-⋅---⎰
=1tan tan --=x ce y x
……………………………10分
四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）
1. 在平面xoy 上求一点,使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.
解：设所求的点为),(y x P ，则依据题意有：
5
)162(2
2
2
2
-+++==y x y x d S ，),(R y R x ∈∈ ……………………………5分
∵⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-++='=-++='
)162(5420)162(5
22y x y S y x x S y x ……………………………9分
∴驻点为)5
16
,
58( ……………………………11分由此题的实际意义可知，唯一的驻点一定是极小值点，也一定是最小值点。

∴所求的点为)5
16
,
58(P ……………………………13分 2. 求由曲面2
2
2y x z += 及 2
2
26y x z --= 所围成的立体的体积 .
解：∵{}
2),(2622
22
22
2≤+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=+=y x y x D y
x z y x z ……………………………2分 ∴⎰⎰+---=D
dxdy y x y x V )]2()26[(2
222 ……………………………6分 =
⎰⎰--D
dxdy y x
)336(22
=⎰⎰--D dxdy y x
)2(322
=⎰⎰-D
d d θρρρ)2(32 ……………………………9分 =⎰⎰
-π
θρρρ20
2
2)2([3d d
=⎰
π
θ20
3
d =π6 ……………………………12分
模拟试卷四
――――――――――――――――――――――――――――――――――
注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）
1. 向量)2,2,1(-=a
在向量)3,2,6(=b 上的投影等于（） (A)
74 (B) 3
4 (C)
47 (D) 4
3
2. 曲线 ⎩⎨⎧==+036
9422z y x 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（）
(A) 36944222=++z y x (B) 16994222=++z y x (C) 36494222=++z y x (D) 16499222=++z y x 3. 已知 ),(y x f =y x , 则 )1,1(x f 的值为( )
(A) ０ (B) 1 (C) 21
(D) 不存在
4. 若),(y x f 在),(00y x 处可微, 则),(y x f 在),(00y x 处( ) (A) 连续且偏导数存在 (B) 连续且偏导数连续
(C) 连续但偏导数不一定存在 (D) 不一定连续且偏导数不一定存在 5. 设⎰⎰+=1
2
2
1D y x
dxdy e I ,⎰⎰+=2
2
2
2D y x
dxdy e I ，其中区域22,11:1≤≤-≤≤-y x D ，
20,10:2≤≤≤≤y x D ，则下列四式中正确的是（）
(A) 214I I > (B) 214I I = (C) 214I I < (D) 212I I = 6. 设⎰⎰+=D
dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成，则I =( )
(A)⎰⎰a d a d 0
220
ρρθπ (B) ⎰⎰⋅a
d a a d 0
220
ρθπ
(C)⎰⎰a
d d 0
2
20
ρρθπ (D) ⎰⎰⋅a
d d 0
220
ρρρθπ
7. 设L 为：2=x , 2
3
0≤
≤y ，则⎰L ds 4的值为( )
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12
8. 下列级数中,收敛的是( )
(A) ∑∞
=11
n n
(B) ∑∞=1321n n (C) ∑∞=11n n n (D) ∑∞
=-1)1(n n
9. 幂级数∑
∞
=1
n n n
x 的收敛区间为（）
(A) )1,1(- (B) ]1,1[- (C) ]1,1(- (D) )1,1[-
10. 下列方程可分离变量的是（）
(A) 0)sin(=+dy e dx xy y (B) 02=++dy y dx xe y x (C) 0)1(2=++dy y dx xy (D) 0)(=+++dy e dx y x y x
二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）
1. 通过曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
16
22
22222y z x z y x ，且母线平行于y 轴的柱面方程是 . 2. 经过点)1,0,1(-且平行于向量}1,1,2{-=v
的直线方程是 .
3. xy xy y x 1
1lim
0+-→→= .
4. 将二次积分⎰
⎰x x y d y x f x d 2
),(2
改换积分次序应为_____________ .
5. 设∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 都是正项级数，且∑∞
=1
n n u 收敛，则当,,2,1 =n 都有时，
∑∞
=1
n n
v
也一定收敛.
三、设函数 y
x y x z 2
2+= ，求
2
1
2==∂∂∂y x y x z . （10分）
四、计算二重积分⎰⎰-+D
d x y x σ)(22，其中D 是由直线x y =、x y 2=及2=x 所
围成的闭区域. （10分）
五、计算曲线积分⎰
++-L
dy y x dx x y )23()2(2
3，其中L 是由抛物线2x y = 和
x y =2 所围成的区域的正向边界曲线. （10分）
六、. 求幂级数 11+∞
=∑n n x n 的和函数. （10分）
七、求下列微分方程的通解: 0)2(22=-+y d y x dx y x . （10分）
八、应用题（15分）
求旋转抛物面22y x z +=被平面a z =)0(>a 所截得的有限部分的面积. .
答案（模拟试卷五）
――――――――――――――――――――――――――――――――――
二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）
1. ⎩⎨⎧==+0122z y x
2. 024=++-z y x
3. 2
4. ⎰⎰
a
d f d 0
20
)(ρρρθπ
5. n n u v ≥
三、（10分）
解： y
x
e y x z 1=∂∂ …………………………………………5分
)(11222y x e y e y y x z y x
y x
-⋅+-=∂∂∂)1(12y x
e y y x
+-= …………………………3分
21
223e y x z y x -=∂∂∂== (2)
分
四、（10分）解：
………2分
⎰⎰+D
y x d e
σ2
2
=⎰⎰⋅2
1
20
2
ρρθρπ
d e d ……………………………………………………4分
＝ 2
1
|2122ρπe ⋅ …………………………………………………2分
＝)(4e e -π …………………………………………………2分
五、（10分）解：
=P 32xy x -，=Q xy y 22- …………2分 …………1分原式=
y d dx y
P
x Q D
)(
∂∂-∂∂⎰⎰ =y d x d y x x D
)32(2⎰⎰+- (3)
分
)
=y d y x x x d x
)32(0
220
⎰⎰+- (1)
分 = dx y x xy x
0320
)2(+-⎰
= dx x x )2(420
2+-⎰
(1)
分 =2053)5132(x x +-=
15
16
…………………………………………………1分
六、（10分）
解：∵ )2(12'∑∞
=n n
n x =∑∞
=-1
12n n x ………………………………………3分 =
2
1x
x
- )11(<<-x ………………………………………2分 ∴∑
∞
=122n n n x =dx n x x n n ⎰∑'∞=01
2)2(
= dx x x
x ⎰-021 ……………………………………2分 =)1ln(2
1
2x --=2
11ln x
- )11(<<-x ……………………2分
七、（10分）
解：由原方程得
x
y x y
x y x y x y x x y x x y y dx
dy sin
cos
sin sin cos sin
-=-= ……………………2分令u x y =，则 xu y =，dx
du
x u dx dy += (2)
分
代入上式得 u
u
u u dx du x u sin cos sin -=+ …………………………………1分
化简并分离变量得：x
dx
du u u =
-cos sin ……………………………………2分
积分得 C x u ln ln cos ln += ……………………………………2分即 x C x
y
=cos ……………………………………1分
八、应用题（15分）
解：
2分由
2
22y x a z --= 得 2
2
2
y
x a x z x ---
=
2
2
2
y
x a y z y ---= (2)
分
2
2
2
22)()(1y
x a a z z y x --=++ (1)
分
积分区域为：ax y x ≤+22， …………………………………………1分
即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤22cos 0πθπθ
ρa (1)
分
∴所求的面积为：
⎰⎰'+'+=D
y
x dxdy z z S 2
2)()(1=dxdy y
x a a D
⎰⎰--2
2
2
1 (2)
分
=⎰⎰
-20
cos 0
2
2
2π
θρρ
ρ
θa d a d a ……………………………2分
=⎰--2
cos 0
2
2
|)(2πθ
θρd a a a …………………………………1分
=⎰-20
)sin 1(2π
θθd a a …………………………………1分
= 2
2
|)cos (2π
θθ+a …………………………………1分
= 2)2(a -π …………………………………1分。