第二章平面力系习题解答

习 题
2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。

图2-55
(a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F
(e) βsin )(2
2b l F M O +=F
(f) )()(r l F M O +=F
2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。

试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。

图2-56
m
N 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50⋅=⋅=︒⨯⨯=︒
⨯︒-︒⨯︒=R R M O
m N 075.17825.1025.630cos 50⋅=+=⨯︒+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50⋅=+=⨯︒+=R M M O B
2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。

(1)当︒=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。

图2-57
(1)当︒=75θ时，（用两次简化方法）
m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80⋅=⋅=+=⨯︒⨯+⨯︒⨯=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理
)13.53sin(250
sin 30θθ-︒= 08955.03
/2513.53cos 13.53sin tan =+︒︒=θ ︒=117.5θ
(3) ︒=︒+︒=117.95117.590θ
2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。

试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

图2-58
kN 64.1615
110345cos kN 64.4375210145cos 321R
321R
-=+-︒-=∑='-=--︒-=∑='F F F F F F F F F F y y x x
主矢R
F '的大小 kN 54.466)()(22R =∑+∑='y x F F F 而 3693.064
.43764
.161tan R
R ==
''=
x y F F α ︒=27.20α m N 44.21162.05
11.045cos )(3
1⋅=-⨯+⨯︒=∑=F F M M O O F
mm 96.45m 04596.054.466/44.21/R
==='=F M d O
2-5 平面力系中各力大小分别为kN 60kN,260321===F F F ，作用位置如图2-59所
示，图中尺寸的单位为mm 。

试求力系向O 点和O 1点简化的结果。

图2-59
06045cos 26045sin 06045cos 26045cos 31R
21R
=-︒=-︒=∑='=-︒=-︒=∑='F F F F F F F F y y x x
m
N 420360260245cos 2603
2245cos 445sin )(3211⋅=⨯+⨯+⨯︒=⨯+⨯+⨯︒-⨯︒=∑=F F F F M M O O F
m N 4201⋅==O O M M
2-6 电动机重W ＝5kN ，放在水平梁AC 的中央，如图2-60所示。

忽略梁和撑杆的重量，试求铰支座A 处的反力和撑杆BC 所受压力。

图2-60
汇交力系方法
BC A F F =
W F A =︒30sin 2
kN 5===W F F BC A
2-7 起重机的铅直支柱AB 由A 处的径向轴承和B 处的止推轴承支持。

起重机重W ＝3.5kN ，在C 处吊有重W 1＝10kN 的物体，结构尺寸如图2-61所示。

试求轴承A 、B 两处的支座反力。

图2-61
kN
5.130
kN 7.600kN 7.65
5
.33530
315011==∑==+=∑-=-=+-
==⨯-⨯-⨯-=∑By y Bx A BC x A A B F F F F F F W W F W W F M
2-8 在图2-62所示的刚架中，已知F ＝10kN ，q ＝3kN/m ，M ＝8kN ·m ，不计刚架自重。

试求固定端A 处的反力。

图2-62
m kN 98.37m kN 3151232
3104211082340
360sin 460cos 240
360sin 460cos 240
kN 352
3
1060sin 0
60sin 0
kN 7342
1
10460cos 0
60cos 40⋅=⋅+=⨯⨯+⨯⨯
-+⨯⨯==⨯︒+⨯︒-+⨯==⨯︒-⨯︒+-⨯-=∑=⨯=︒==︒-=∑-=⨯-⨯=-︒==︒-+=∑A A A A Ay Ay
y Ax Ax
x M F F M q M F F M q M M F F F F F q F F F q F F
2-9 如图2-63所示，对称屋架ABC 的A 处用铰链固定，B 处为可动铰支座。

屋架重100kN ，
AC 边承受垂直于AC 的风压，风力平均分布，其合力等于8kN 。

试求支座A 、B 处的反力。

图2-63
kN
62.5431.52100340
10060sin 80
kN 31.5231.250)30cos 12/(245003830cos 610030cos 120kN 40
60cos 80=-+==-︒-+=∑=+=︒+==⨯-︒⨯-︒⨯=∑-==︒+=∑Ay B Ay y B B A Ax Ax x F F F F F F M F F F
2-10 外伸梁的支承和载荷如图2-64所示。

已知F =2kN ，M =2.5 kN ·m ，q ＝1kN/m 。

不计梁重，试求梁的支座反力。

图2-64
(a)
kN
110
10
00kN 42/)32
(032
1
120-=-+⨯==-⨯-+=∑==∑=++-
==⨯--⨯
⨯+⨯=∑B Ay B Ay y Ax x B B A F F q F F q F F F F F F M q
F F M q F M
kN 75.325.02
3
22302
3
000kN
25.02/)223
(012
3
120=++=-⨯+
==⨯-
-+=∑==∑-=-==⨯⨯-
⨯+⨯=∑By A By A y Bx x By By A F q F F q F F F F F F F q F F M
2-11 如图2-65所示，铁路式起重机重W =500kN ，其重心在离右轨1.5m 处。

起重机的
起重量为W 1=250kN ，突臂伸出离右轨10m 。

跑车本身重量忽略不计，欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，试求平衡锤的最小重量W 2以及平衡锤到左轨的最大距离x 。

图2-65
满载时，临界状态 0=A F
0105.1)3(0
12=--+=∑W W x W M B (1)
空载时，临界状态 0=B F
05.402=-=∑W x W M A (2)
联立(1)、(2)求得
kN 3.33331000
315002*********==-=-=
W W W m 75.63
/100022505.42===W W x
2-12 汽车起重机如图2-66所示，汽车自重W 1＝60kN ，平衡配重W 2＝30kN ，各部分尺寸如图所示。

试求： (1) 当起吊重量W 3＝25kN ，两轮距离为4m 时，地面对车轮的反力；(2) 最大起吊重量及两轮间的最小距离。

图2-66
(1) 当W 3＝25kN 时
kN
5.425.7225306000kN
5.724
2
308255.2600
4285.20
321321231=-++=-++==---+=∑=⨯-⨯+⨯=
=⨯-⨯-⨯+⨯=∑D E E D y D D E F F W W W F W W W F F F F F W W W M
(2) 空载时，载荷W 3=0。

在起重机即将绕E 点翻倒的临界情况，
m 5.25.160
30
25.120
2)5.1(01221=+⨯=+=
=⨯--⨯=∑W W DE W DE W M E
满载时，载荷W 2=30kN 。

在起重机即将绕D 点翻倒的临界情况，
kN
25.564
)
25.2(30605.14)2(5.10
)2(5.140213213=+⨯+⨯=+⨯+=
=+⨯-⨯-⨯=∑DE W W W DE W W W M D
2-13 梁AB 用三根支杆支承，如图2-67所示。

已知 F 1＝30kN ，F 2＝40kN ，M ＝30kN ·m ，q ＝20kN/m ，试求三根支杆的约束反力。

图2-67
(a) 假设三杆都受压
kN 22.638
23320440303321308233002
3343360cos 860sin 802111=⨯
⨯+⨯+-⨯⨯+⨯⨯=
=⨯
⨯+⨯+-⨯︒+⨯︒+⨯-=∑A A O F q F M F F F M
kN
74.8860sin 3022.63324060sin 3060sin 360sin 0
360sin 60sin 0
kN 30060cos 60cos 0212111=︒+-⨯++︒=︒
--⨯++︒==⨯--︒-+︒+=∑-=-==︒+︒=∑C A B B C A y C C x F F q F F F q F F F F F F F F F F F
(b) 假设三杆都受压
kN
42.82
66214042340230304
45sin 845cos 6
30sin 230cos 20
445sin 845cos 630sin 430cos 202212211=⨯⨯+⨯-⨯+=⨯︒+⨯︒⨯︒+⨯︒-⨯+=
=⨯︒++⨯︒+⨯︒-⨯︒+⨯--=∑F F F M F F F F F F M M D D D O
kN 45.36
2
23
40430306
2
30cos 40
230cos 46021212=⨯-⨯+-=
⨯︒-⨯--=
=⨯︒-⨯-⨯--=∑F F M F F F F M M B B O
kN
41.572
22
21
40630845.3302
/242
30sin 680
230sin 445cos 6802121=⨯⨯+⨯+⨯--=
⨯︒+⨯+⨯--=
=⨯︒+⨯︒-⨯+⨯--=∑F F F M F F F F F M M B C C B D
2-14 水平梁AB 由铰链A 和杆BC 所支持，如图2-68所示。

在梁上D 处用销子安装一半径为r ＝0.1m 的滑轮。

跨过滑轮的绳子一端水平地系于墙上，另一端悬挂有重W ＝1800N 的重物。

如AD ＝0.2m ，BD ＝0.4m ，a ＝45º，且不计梁、杆、滑轮和绳子的重量。

试求铰链A 和杆BC 对梁的反力。

图2-68
N 4.848260045sin 345sin 0
)(45sin 0T ==︒
=︒⨯==+-+⨯︒=∑W AB AD W F r AD W r F AB F M BC
BC A
N
1200600180045sin 0
45sin 0
N 2400600180045cos 045cos 0T T =-=︒-==-︒+=∑=+=︒+==︒--=∑BC Ay BC Ay y BC Ax BC Ax x F W F W F F F F F F F F F F
2-15 组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上，如图2-69所示。

已知起重机
重W 1=50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷W 2=10kN 。

不计梁重，试求支座A 、B 和D 三处的约束力。

图2-69
起重机
kN
502
5
101502510
51202121=⨯+⨯=⨯+⨯==⨯-⨯-⨯=∑W W F W W F M G G F kN
100
02121=-+==--+=∑G F G F y F W W F W W F F F
CD 段
kN
33.86
5060
160====⨯-⨯=∑G D G D C F F F F M
kN
67.416
250
500
500==-==-+=∑D C D C y F F F F F
AC 段
kN
1003
2505103650
6530=+⨯=⨯+⨯==⨯-⨯-⨯=∑C F B C F B A F F F F F F M
kN
33.481001067.41100
100-=-+=-+==--+=∑B C A C B A y F F F F F F F
2-16 组合梁如图2-70所示，已知集中力F 、分布载荷集度q 和力偶矩M ，试求梁的支座反力和铰C 处所受的力。

图2-70
(a) CD 段
0220=⨯⨯-⨯=∑a a q a F M D C qa F D =
020
=⨯-+=∑a q F F F D C y qa F C = AC 段
0220
=⨯⨯-⨯-⨯=∑a a q a F a F M C B A qa F B 4=
020
=--+=∑qa F F F F C B A y qa F A -= (b) CD 段
020
=-⨯=∑M a F M D C a M F D 2= 00
=+=∑D C y F F F a M
F C 2-=
AC 段
02
20
=⨯
-⨯-⨯=∑a
F a F a F M C B A a M F F B -
=2 00=--+=∑F F F F F C B A y
a
M F a M F F a M F F F F B C A 2222+=+-+-=-+= (c)
CD 段
045sin 20=⨯︒-⨯=∑a F a F M D C F F D 42
=
045cos 0
=︒-=∑F F F Cx x F F Cx 22= 045sin 0
=︒-+=∑F F F F D Cy y F F Cy 42= AC 段
00=-=∑Cx Ax x F F F F F Ax 22=
00=-=∑Cy Ay y F F F F F Ay
4
2= 020
=⨯--=∑a F M M M Cy A A M Fa a F M M Cy A +=
⨯+=2
2
2 (d) CD 段
02/20
=⨯-⨯=∑a qa a F M D C 4qa F D = 00
=-+=∑qa F F F D C y qa F C 43
=
AC 段
00
==∑Ax x F F
00=--=∑Cy Ay y F qa F F qa F Ay 4
7=
022
3
=⨯-⨯-=∑a F a qa M M Cy A A 23qa M A =
2-17 四连杆机构如图2-71所示，今在铰链A 上作用一力F 1，铰链B 上作用一力F 2，方向如图所示。

机构在图示位置处于平衡。

不计杆重，试求F 1与F 2的关系。

图2-71
B 点
向x 轴(AB 方向) 投影 030cos 0
2=︒--=∑F F F AB x 22
3F F AB -
= A 点
向y 轴(力F 1方向) 投影 045cos 01=︒+=∑AB y F F F 214
622F F F AB
=-=
2-18 四连杆机构如图2-72所示，已知OA ＝0.4m ，O 1B ＝0.6m ，M 1＝1N ·m 。

各杆重量不计。

机构在图示位置处于平衡，试求力偶矩M 2的大小和杆AB 所受的力。

图2-72
杆OA
030sin 0
1=-︒⨯=∑M OA F M AB kN 530sin 4.01
=︒
=
AB F
杆O 1B
00
12=⨯-=∑B O F M M AB m kN 36.05⋅=⨯=AB F
2-19 曲柄滑块机构在图2-73所示位置平衡，已知滑块上所受的力F =400N ，如不计所有构件的重量，试求作用在曲柄OA 上的力偶的力偶矩M 。

图2-73
滑块 030cos 0=-︒=∑F F F AB x ︒
=
30cos F
F AB
曲柄OA
30sin 0
=-︒⨯=∑M OB F M AB O
m N 602
1
3.040030sin 30cos 30sin ⋅=⨯⨯=︒⨯︒=︒⨯=OB F OB F M AB
2-20 如图2-74所示的颚式破碎机机构，已知工作阻力F R =3kN ，OE =100mm ，BC =CD = AB =600mm ，在图示位置时︒=∠=∠30DBC BDC ，︒=∠=∠90ABC EOC ，试求在此位置时能克服工作阻力所需的力偶矩M 。

图2-74
杆AB
00
R =⨯-⨯=∑AB F AG F M BC A
kN 26.0/4.03/R =⨯=⨯=AB AG F F BC 11/11100/100tan ==θ ︒=1944.5θ
点C
)30cos(30cos θ+︒=︒CE BC F F kN )
30cos(3
θ+︒=
CE F
轮O
m N 1.211100)
30cos(cos 3cos 0
⋅=⨯+︒=
⨯-=∑θθ
θOE F M M CE O
2-21 三铰拱如图2-75所示，跨度l =8m ，h=4m 。

试求支座A 、B 的反力。

(1)在图2-75a 中，拱顶部受均布载荷q ＝20kN/m 作用，拱的自重忽略不计；(2)在图2-75b 中，拱顶部受集中力F ＝20kN 作用，拱每一部分的重量W ＝40kN 。

图2-75
(a) 对称性
kN 802
==
=ql
F F By Ay CB 部分
0)2(220
2
=-⨯+=∑l q l F h F M By Bx C kN 4082-=-
=h
ql F Bx
kN 4082==-=h
ql F F Bx
Ax (b) 整体 048780
=⨯-⨯-⨯-⨯=∑l
F l W l W l F M By A
kN 455404
=+=+=F
W F By
020=--+=∑F W F F F By Ay y
kN 55451002=-=-+=By Ay F F W F
CB 部分
08320
=⨯-⨯+=∑l
W l F h F M By Bx C
kN 154
1801204284588340283-=-=⨯
-⨯⨯=⨯-⨯=
h l F l W F By Bx kN 15=-=Bx Ax F F
2-22 在图2-76所示的构架中，物体重W ＝1200N ，由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上，尺寸如图。

不计杆和滑轮的重量，试求支座A 、B 处的反力和杆BC 的内力。

图2-76
整体
0)2()5.1(40
T =+⨯--⨯-⨯=∑r W r F F M B A N 10504/5.3==W F B
00
T =-=∑F F F Ax x N 1200=Ax F
00
=-+=∑W F F F B Ay y N 150********=-=-=B Ay F W F
杆AB
02225
3
=⨯-⨯+⨯⨯=∑Ay B BC D F F F M
N 15003
5
90035)(-=⨯-=⨯-=B Ay BC F F F
2-23 如图2-77所示的构架，已知F ＝1kN ，不计各杆重量，杆ABC 与杆DEF 平行，尺
寸如图，试求铰支座A 、D 处的约束反力。

图2-77
整体
09.04.00
=⨯-⨯=∑F F M D x A kN 25.24/9==F F D x
00=+=∑D x Ax x F F F kN 25.2-=Ax F
杆AC
向垂直于BE 的方向轴投影
0cos sin 0
=-=∑θθAy Ax x F F F kN 33
4
25.2tan -=⨯
-==θAx Ay F F 整体
00
=-+=∑F F F F D y Ay y kN 4=-=Ay D y F F F
2-24 在图2-78所示的构架中，BD 杆上的销钉B 置于AC 杆的光滑槽内，力F =200N ，力偶矩m N 100⋅=M ，不计各构件重量，试求A 、B 、C 处的约束力。

图2-78
整体
02.06.10
=⨯--⨯-=∑F M F M Ay E
N 5.876.1/)40100(-=+-=Ay F
杆BD
06.08.060cos 0
=⨯--⨯︒=∑F M F M B D N 5504.0/)120100(=+=B F
杆AC
08.060cos 6.160sin 6.10=⨯-︒⨯-︒⨯=∑B Ay Ax C F F F M 3
5.4623
2
.875503
60cos 23
8.0)
60cos 6.18.0(=-=
︒
+=
︒⨯+⨯=
Ay B Ay B Ax F F F F F N 267=
030cos 0=+︒-=∑Cx B Ax x F F F F
N 2092672
3
55030cos =-⨯
=-︒=Ax B Cx F F F 030sin 0
=︒-+=∑B Cy Ay y F F F F
N 5.1875.8727530sin =-=-︒=Ay B Cy F F F
2-25 图2-79所示的构架中，AC 、BD 两杆铰接，在E 、D 两处各铰接一半径为r 的滑轮，连于H 点的绳索绕过滑轮E 、D 、K 后连于D 点，直径为r 的动滑轮K 下悬挂一重为W 的重
物，不计滑轮和杆的重量。

试求A 、B 处的约束反力。

图2-79
整体
0)2/30cos 8(120
=+︒⨯-⨯=∑r r W r F M Ax E
W W W F Ax 619.024/)381(12/)2/134(=+=+⨯=
00
=+=∑Bx Ax x F F F W F F Ax Bx 619.0-=-=
杆AC
0)30cos 2(30cos 630cos 120
T 2=︒+⨯-︒⨯-︒⨯=∑r r F r F r F M Ay Ax C W F F F Ax Ay 3
3)31(21
9619.03
3)]
30cos 21(9[T +-⨯=
︒+⨯-⨯=
W 809.03
3205.4==
整体
00
=-+=∑W F F F By Ay y
W F W F Ay By 191.0=-=
2-26 如图2-80所示，构架在AE 杆的中点作用一大小为20kN 水平力，各杆自重不计，试求铰链E 所受的力。

图2-80
杆AE
03.02060cot 2.06.00=⨯+︒⨯+⨯-=∑Ey Ex A F F M
03.02032.06.0=⨯+⨯+⨯-Ey Ex F F 03033=++-Ey Ex F F
杆CE
032.06.00
=⨯-⨯-=∑Ey Ex O F F M
3Ex Ey F F -=
联立 kN 5=Ex F kN 35-=Ey F
2-27 如图2-81所示的构架，重为W =１kN 的重物B 通过滑轮A 用绳系于杆CD 上。

忽略各杆及滑轮的重量，试求铰链E 处的约束反力和销子C 的受力。

图2-81
杆AE 连滑轮
05.075.15.20=⨯-⨯+⨯=∑W W F M Ey C kN 5.05.05.2/25.1-=-=-=W W F Ey
00
=-+=∑W F F F Ey Cy y kN 5.1=-=Ey Cy F W F
整体
025.3120
=⨯+⨯+⨯=∑W F F M Ey Ex D
kN 375.12
25
.35.0-=+--=Ex F
杆AE 连滑轮
00
=++=∑W F F F Ex Cx x kN 375.0=--=W F F Ex Cx
2-28 屋架桁架如图2-82所示，已知载荷F =10kN 。

试求杆1、2、3、4、5和6的内力。

图2-82
整体（对称性） kN 25==B A F F 节点A 045sin 02=+︒=∑A y F F F kN 2252-=F
045cos 0
12=+︒=∑F F F x kN 251=F 节点C kN 103==F F kN 2514==F F
截面法（取右半部分）
0112061=⨯-⨯-⨯=∑F F F M B O kN 4026=-=F F F B 0245sin 0
5=-︒-=∑F F F F B y kN 255=F
2-29 桁架受力如图2-83所示，已知F 1=F 2=10kN ，F 3=20kN 。

试求杆6、7、8、9的内力。

图2-83
整体
02.11350321=⨯-⨯+⨯+⨯-=∑F F F F M Ay B kN 2.3=Ay F 030cos 0
21=--︒+=∑F F F F F B A y
kN 40.1930cos 8
.1630cos 21=︒
=︒-+=
A B F F F F
030sin 03=+︒-=∑F F F F B Ax x kN 30.1030sin 3-=-︒=F F F B Ax 特殊节点 kN 1019==F F
截面法（取左半部分）
012.1061=⨯-⨯-=∑Ay F F M O kN 67.22.1/6-=-=Ay F F 0sin 0
7=+=∑Ay y F F F θ
kN 17.42
.11/2.12
.3sin 2
2
7-=+-
=-
=θ
Ay F F
cos 0
876=+++=∑F F F F F Ax x θ
kN 63.152
.11117.467.230.10)cos (2
2
768=+⨯
++=++-=θF F F F Ax
2-30 桁架如图2-84所示，已知F 1=10kN ，F 2=F 3=20kN 。

试求杆4、6、7、10的内力。

图2-84
整体
030cos 2340321=⨯︒+⨯+⨯+⨯-=∑a F a F a F a F M Ay B kN 83.214
3
107042/323321=+=++=
F F F F Ay
030sin 0
3=︒-=∑F F F Ax x kN 1030sin 3=︒=F F Ax 截面法（取左半部分）
004=⨯+⨯-=∑a F a F M Ay C kN 83.214==Ay F F 0
20
61=⨯-⨯+⨯-⨯-=∑a F a F a F a F M Ay Ax D
kN 66.431066.4310216-=+--=+--=F F F F Ay Ax
特殊节点 kN 66.43610-==F F
kN 2027-=-=F F
2-31 桁架如图2-85所示，已知F =20kN ，a =3m ，b =2m ，。

试求杆1、2、3的内力。

图2-85
截面法（取左半部分）
022011
=⨯-⨯+⨯=∑b F a F a F M O kN 452
23
203231=⨯⨯⨯==
b Fa F 截面法（取左半部分）
023sin cos 20
2212
=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-=∑a F a F a F a F b F b F M
O αα
kN 08.5413152312
180360/226cos sin 2622
22112==+-=+-=+-=
b a ab b F Fa b a b F Fa F αα
3sin 0
23=-+=∑F F F F y α
kN 30132
131560sin 323=⨯-=-=αF F F
2-32 如图2-86所示，水平面上迭放着物块A 和B ，分别重W A =100N 和W B =80N 。

物块B 用拉紧的水平绳子系在固定点，如图所示。

已知物块A 和支承面间，两物块间的摩擦因数分别是8.01s =μ和6.02s =μ。

试求自左向右推动物块A 所需的最小水平力F 。

图2-86
物块B
B B y W F F ==∑N 0 临界 N 48806.0N 2s =⨯==B B F F μ 物块A N 180100800N N =+=+==∑A B A y W F F F 临界 N 1441808.0N 1s =⨯==A A F F μ
N 192481440
=+=+==∑B A x F F F F
讨论：自右向左推 N 1441808.0)(1s N 1s =⨯=+==B A A A W W F F μμ
2-33 如图2-87所示，重量为W 的梯子AB ，其一端靠在铅垂的光滑墙壁上，另一端搁置在粗糙的水平地面上，摩擦因数为s μ，欲使梯子不致滑倒，试求倾角a 的范围。

图2-87
用几何法
a
h
=
αtan 临界 αϕtan 21
2tan =
=h a m 即 s 21t a n 21t a n μϕα==m 分析得 )21
arctan(s μα≥
2-34 某变速机构中滑移齿轮如图2-88所示。

已知齿轮孔与轴间的摩擦因数为s μ ，齿轮与轴接触面的长度为b ，如齿轮的重量忽略不计，问拨叉（图中未画出）作用在齿轮上的F 1力到轴线间的距离a 为多大，齿轮才不致于被卡住。

图2-88
齿轮
B A B A y F F F F F N N N N 00==-=∑ （1）
00
1=-+=∑F F F F B A x （2）
0)2
(0N 1=-+-⨯=∑b F d F d
a F M B B A （3）
临界 B B A F F F N s μ==
代入式（2）得 2/1F F F B A ==
由（1）得 )2/(s 1N N μF F F B A ==
代入式（2）得 022)2(111=⨯-⨯+-⨯b F d F d
a F s μ 022)2(=-+-s
b d d a μ
02=-s b a μ
s b a μ2= 分析得 s
b
a μ2<
2-35 两根相同的均质杆AB 和BC 在B 端铰接，A 端铰接于墙上，C 端则直接搁置在墙面上，如图2-89所示。

设两杆的重量均为W ，在图示位置时处于临界平衡状态，试求杆与墙面间的摩擦因数。

图2-89
整体
02sin 22cos 220
N =⨯+⨯-=∑θ
θl F l W M C A
2cot 2N θW F C =
杆BC
02
cos 2sin 2cos 20
N =⨯-⨯+⨯=∑θ
θθl F l F l W M C C B
W F W F W F C
C C =⨯+=⨯+⨯=2tan 22cos
2sin
2cos 21N N θθθ
θ 临界 ϑθμtan 22
cot 2N s ===W W
F F C
C
2-36 尖劈起重装置如图2-90所示。

尖劈A 的顶角为a ，在A 、B 上分别作用力F 1和F 2 ，已知A 块和B 块之间的静摩擦因数为s μ（有滚珠处摩擦力忽略不计）。

不计A 、B 两块的重量，试求能保持两者平衡的力F 1的范围。

图2-90
不致向右滑动 物B
0sin cos 0
2N =-+=∑F F F F y αα （1）
尖劈A
0cos sin 0
1N =--=∑F F F F x αα （2）
临界 N s F F μ=
由（1） αμαs i n c o s s 2N +=F F α
μαμs i n c o s s 2
s +=F F
由（2） αμααμαμααααs i n
c o s c o s s i n c o s s i n
c o s s i n s 2s s 2N 1+-
+=-=F F F F F 2s s 1sin cos cos sin F F αμααμα+-=
分析得 2s s 1sin cos cos sin F F αμαα
μα+->
不致向左滑动 物B
0sin cos 0
2N =--=∑F F F F y αα （1）
尖劈A
0cos sin 0
1N =-+=∑F F F F x αα （2）
临界 N s F F μ=
由（1） αμαs i n c o s s 2
N -=F F α
μαμs i n c o s s 2s -=F F
由（2） αμααμαμααααs i n
c o s c o s s i n c o s s i n
c o s s i n s 2s s 2N 1-+
-=+=F F F F F 2s s 1sin cos cos sin F F αμααμα-+=
分析得 2s s 1sin cos cos sin F F αμαα
μα-+<
综合
2s s 12s s sin cos cos sin sin cos cos sin F F F α
μαα
μααμααμα-+<<+-
2-37 砖夹的宽度为250mm ，曲杆AGB 与GCED 在G 点铰接，如图2-91所示。

设砖重W =120N ，提起砖的力F 作用在砖夹的中心线上，砖夹与砖间的摩擦因数s μ=0.5，试求距离b 为多大才能把砖夹起。

图2-91
砖
00
=-+=∑W F F F D A y （1）
00
N N =-=∑D A x F F F （2）
临界 D D A A F F F F N s N s μμ==
N 60N 1202s
N N =====D A D A F F W
F F μ
曲杆AGB
030950
N =⨯+-⨯=∑A A G F b F F M 0306012095120=⨯+⨯-⨯b mm 1101595=+=b
分析得 mm 110≤b
2-38 图2-92所示的两物块用连杆撑住，物块A 重W 1=500N ，放在水平面上，水平面和物块间的摩擦因数为0.2；物块B 重W 2=1000N ，放在光滑的斜面上；连杆重量忽略不计。

设欲使水平面上的物块A 开始向右运动，试求所需F 1力的大小。

图2-92
物块B
030cos 30cos 0
2=︒-︒=∑W F F AB x N 10002==W F AB
物块A
︒--=∑30sin 01N AB A y F W F F
N 100030sin 100050030sin 1N =︒+=︒+=AB A F W F
030cos 0
1=︒--=∑AB A x F F F F ︒+=30cos 1AB A F F F
临界 A A F F N s μ=
kN 066.1N 106630cos 100010002.030cos N s 1==︒+⨯=︒+=AB A F F F μ
2-39 如图2-93所示，圆柱体A 与方块B 均重100N ，置于倾角为30°的斜面上，若所有接触处的摩擦因数均为s μ=0.5，试求保持系统平衡所需的力F 1的最小值。

图2-93
圆柱体A
00=-=∑R F R F M C AB A C AB F F = 030sin 0
N =⨯︒-+=∑R W R F R F M AB AB C
设圆柱体A 与方块B 接触处达临界状态 AB AB F F N s μ=
则 s N 130sin μ+︒
=W F AB s
s 130sin μμ+︒==W F F C AB
垂直于斜面 030cos 0N =︒-+=∑W F F F AB C x
W F W F AB C s
s N 130sin 30cos )1(30cos μμ+︒
-︒+=-︒=
沿斜面 030sin 0N =︒-+=∑W F F F C AB
y
030sin 130sin 130sin s
s s =︒-+︒
++︒W W W μμμ 满足
W F F C C s s
s N s max
130sin 30cos )1(μμμμ+︒
-︒+==
显然 max C C F F < 可见C 处未达到最大静摩擦力。

方块B
垂直于斜面 030cos 0N =︒--=∑W F F F AB D x
W W F F AB D s
s s N 130cos )1(30sin 30cos μμμ+︒
++︒=
︒+=
沿斜面 030sin 0
N 1=︒--+=∑W F F F F AB
D y
D AB F W F F -︒+=30sin N 1 临界 W F F D D s s
s s N s 130cos )1(30sin μμμμμ+︒
++︒==
W W W F s s
s s s 1130cos )1(30sin 30sin 130sin μμμμμ+︒++︒-︒++︒
=
W W s 2s s 2s s s 130cos )(30sin 130sin )2(μμμμμμ+︒++︒-+︒+=
︒-+︒-+=30cos 130sin )2(s s
2s s W W μμμμ
︒-︒-=30cos 30sin )2(s s W W μμ
W W 325.075.0-= W 3170.0= N 70.31=
2-40 如图2-94所示，均质圆柱重W ，半径为r ，搁在不计自重的水平杆和固定斜面之间。

杆端A 为光滑铰链，D 端受一铅垂向上的力F ，圆柱上作用一力偶，已知F =W ，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦因数皆为s μ=0.3，不计滚动摩阻。

当 45=α时，AB =BD 。

试求此时能保持系统静止的力偶矩M 的最小值。

图2-94
杆AD
00N =⨯-⨯=∑AB F AD F M B A W F F B 22N ==
圆柱
F B 向左，F E 向左下
假设E 处达临界状态，B 处尚未达临界状态
045cos 45cos 0N N =︒-︒--=∑E E B y F F W F F
045cos 45cos N =︒-︒-E E F F W
E E
F W F -=2N (1) 0)45cos 1(45cos 0N =︒++︒-=∑r F r F M M E E B
将式(1)代入，得
0)45cos 1(45cos )2(=︒++︒--r F r F W M E E 0)21(=++-r F W r M E r
M
Wr F E )21(+-=
(2)
将式(2)代入式(1)，得 r
M
Wr r M Wr W F E )21()21()21(2N +++=
+--
= (3) 由E E F F N s μ≤，得
r
M
Wr r M Wr )21()21()21(s
+++≤+-μ 即
])21[(s M W r M W r ++≤-μ
W r W r M s s )21()1(μμ+-≥+
Wr M s
s
1)21(1μμ++-≥
Wr Wr Wr 2121.03.127574.03.123.07.0==-=
W r M 2121.0min =
此时
045cos 45cos 0
N =-︒-︒=∑B E E x F F F F
︒=︒-=︒-︒=45cos 7.045cos )1(45cos 45cos N N s N E E E E B F F F F F μ
B F W r
M
W N s 5384.0])21([45cos 7.0μ<=++︒=
或
21 ︒+--+++=︒-︒=45cos ])21()21()21([45cos 45cos N r M Wr r M Wr F F F E E B B F W r
M Wr N s 5384.045cos )21(22μ<=︒++=
假设B 处达临界状态，E 处尚未达临界状态 W F F B B 6.0N s ==μ
045cos 45cos )(0N =︒--︒⨯-+=∑r F r F r W F M M B B B E
︒⨯--︒+=45cos )()45cos 1(N r W F r F M B B ︒-︒+=45cos )45cos 1(6.0Wr Wr
Wr Wr 3172.0)45cos 4.06.0(=︒-=
此时 045cos 45cos 45cos 0
N N =-︒-︒+︒=∑E B B x F W F F F W W F W W F F F B B B E 28.045cos 6.145cos )(45cos )(N N =︒=︒+=︒-+= 0
45cos 45cos 45cos 0N =︒-︒-︒+-=∑W F F F F B B E
y
W W F W F W F F B B B E 22.045cos 4.045cos )(45cos )(N =︒=︒-=︒--=
E E
F F N s μ<。