人教A版第三章函数的应用综合测试题(解析版)-高一数学寒假补差训练(人教A版必修1+必修2)

专题6：人教A 版第三章函数的应用综合测试题（解析版）
一、单选题
1．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
1．B
【分析】
根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.
【详解】 ()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，
且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，
根据零点存在性定理，
得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.
故选：B
【点睛】
本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
A ．
B ．
C ．
D ． 2．B
【解析】
依题设可知，蜡烛高度h 与燃烧时间t 之间构成一次函数关系，
又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.
3．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间（ ） A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
3．D
【分析】
根据零点存在定理判断．
【详解】
设3()log 5f x x x =-+，则函数单调递增
由于3(3)log 35310f =-+=-<，33(4)log 454log 410f =-+=->，∴()f x 在(3,4)上有零点．
故选：D.
【点睛】
本题考查方程的解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键．
4．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( )
A ．3
B ．4
C ．1
D ．2
4．D
【分析】
结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值.
【详解】 ∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩
且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.
5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A ．x 1
B ．x 2
C ．x 3
D ．x 4
5．C
【解析】 观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.
6．函数21()f x x x =+
，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．A
【分析】 根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.
【详解】
由于20x >，10x
>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x
=+
=， 因此函数没有零点.
故选：A .
【点睛】
本题考查函数零点的求解，属简单题. 7．用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计
算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为
A ．0.64
B ．0.8
C ．0.7
D ．0.6
7．C
【分析】
由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．
【详解】
因为()0.680f <，()0.720f >，即()()0.680.720f f ⋅<，
所以函数()f x 的零点在区间()0.68,0.72内．
又0.720.680.040.1-=<，
观察各选项可知函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为0.7．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
8．已知函数()221,11,1
x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为（ ）
A ．1,02
B ．2-，0
C ．12
D ．0
8．D
【分析】
函数()f x 的零点，即令()0f x =分段求解即可.
【详解】
函数221,1()1,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩
当1x 时，
令()210x f x =-=，解得0x =
当1x >时，
令2()1log 0f x x =+=，解得12x =
（舍去） 综上函数的零点为0
故选：D ．
【点睛】
本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.
9．设f （x ）=3x +3x –8，用二分法求方程3x +3x –8在x ∈（1，2）内方程的近似解，则方程的根落在区间（参考数据31.25≈3.95）
A ．（1，1.25）
B ．（1.25，1.5）
C ．（1.5，2）
D ．不能确定
9．B
【分析】
显然函数单调递增，然后利用二分法求（1，2）的中间值f （1.5）0>，再将范围限制（1，1.5），再利用二分法继续下次知道和选项逼近即可
【详解】
显然函数单调递增，f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）=31.5+3×1.5–8=323 4.58+-=
4.58->
4.580->，f （1.25）=31.25+3×1.25–8<0，∴f （1.25）•f （1.5）<0，∴方程的根落在区间（1.25，1.5），故选B ．
【点睛】
利用二分法判断函数零点的区间，首先确保函数在所给区间内连续，然后利用二分法算出所给区间的中间值，进而一步步将区间范围缩小
10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ） A ．5730
B ．11460
C ．17190
D ．22920 10．B
【分析】
根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.
【详解】
由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．
故选：B.
【点睛】
本题考查指数函数的应用，属于基础题.
11．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是（ ）
A ．(2,1+
B ．()1
C ．()1++∞
D ．(,2-∞- 11．B
【分析】
讨论0a >、0a <，根据零点的范围，结合二次函数的性质列不等式组求解即可得a 的取值范围.
【详解】
若0a >，则(1)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160a a a a a ⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩
，解得21a <<；
若0a <，则(1)0(1)0(2)0f f f -<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160a a a a a ⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩
，不等式组无解.
故a
的取值范围是()
1.
故选：B 12．已知函数()()()()
22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()2y f x f x m =+--()m R ∈恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．()2,+∞
B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,2
D ．(),2-∞
12．A
【分析】
求得函数()()2y f x f x =+-的解析式，画出()()2y f x f x =+-的图象，由此求得m 的取值范围.
【详解】 由()()(
)()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得()()()2,02,0x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()()()222,022,0234,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
，
所以函数()()2y f x f x m =+--恰有2个零点等价于函数y m =与函数
()()2y f x f x =+-的图象有2个公共点，由图象可知2m >.
故选：A
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y a =与函数2y x a a =-+-的图象有且只有一个公共点，则实数a 的值为______.
13．1
【分析】
在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a
=-+-的图象，根据只有一个公共点，
利用数形结合法求解.
【详解】
在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a =-+-的图象，如图所示：
因为只有一个公共点，
所以2a a -=，
解得1a =.
故答案为：1
14．已知函数()1,2,x x x a f x x a
+≤⎧=⎨>⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是__________．
14．01a <<
【分析】
根据1y x =+与2x
y =交于(0,1)和(1,2)点，即可求解结论．
【详解】
解：因为存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，
故函数不是单调函数，
又因为1y x =+与2x y =交于(0,1)和(1,2)点，
故须01a <<．
故答案为：(0,1)．
15．方程2
43x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________. 15．()3,1-
【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围．
【详解】 方程2
43x x m -+-=有四个互不相等的实数根
即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22
243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：
当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，
∴13m -<-<，()3,1m ∈-
故答案为：()3,1-
16．已知1x ，2x 是函数()()22
21f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是___________.
16．02k <<
【分析】
根据二次函数的零点分布情况，得到()10f >，求解对应不等式，即可得出结果.
【详解】
因为1x ，2x 是函数()()22
21f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1， 二次函数()()22
21f x x k x k =-++开口向上， 所以只需()()22
11012f k k -++<=，即220k k -<， 解得02k <<.
故答案为：02k <<.
三、解答题
17．已知函数3
2()2()3x f x x ax a R =--∈．
（1）若()y f x =在
()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）若12
a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3x
b g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．
17．（1）32a ≤
（2）0 【解析】
试题分析：（1）求导()'2220f
x x x a =--≥在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；
（2）化简方程可得2ln b x x x x
+-=，从而化为2(ln )b x x x x =+-在（0，+∞）上有解，从而讨论函数2()(ln )p x x x x x =+-的值域即可
试题解析：（1）∵()f x 在区间
()3,+∞上为增函数， ∴
2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立． ∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤
（2）方程
3(1)(1)3x b g x x --=+可化为2ln b x x x x +-=． ∴条件转化为2
(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数
2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域． 令2
()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=
+-=，
∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在
()0,1上为增函数， 当1x >时'()0h x <，从而()h x 在
()1,+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=．
又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤，
∴0b ≤
因此当1x =时，b 取得最大值0．
考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性
18．已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+．
（Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；
（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．
18．（1）单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）0k <或4k =；
【解析】
试题分析：（1）由题可知，将=1k 代入，可得()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+，由于真数x （x+1）>0,可知x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k 进行讨论，即可得出k 的取值； 试题解析：（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ （其中0x >），由复合函数单调性可知内层函数x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；
（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩
（1）若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；
（2）若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求．
考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用
19．已知函数221()11
x m f x x x x x -=----- (Ⅰ)若函数()f x 无零点，求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)若函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围．
19．(Ⅰ) 47|{<
m m 或2}m =；(Ⅱ)7{|4
m m =或48}m ≤<。

【解析】
试题分析：(Ⅰ) 函数()f x 无零点，即221()11
x m f x x x x x -=-----=0，也就是2220,x x m x x
-++-=-无解，220x x m -++-=无解或x=0,1是其根。

所以 14(2)0m =+-<，或m －2=0，或－1+1+m －2=0， 即4
7|{<m m 或2}m = ； ……6分 (Ⅱ) 函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，所以14(2)0m =+-=或
22[(2)22](222)0m m ---+--++-<，或有一根为±2，另一根在（－2,2）解得，7{|4
m m =或48}m ≤< …… 12分 考点：本题主要考查函数零点的概念及其求法，一元二次方程根的讨论。

点评：易错题，解答本题关键 是利用转化与化归思想，将分式函数的零点问题转化成为一元二次方程根的讨论问题。

其中（II ）小题，易忽视有一根为±2，另一根在（－2,2）的情况而出错。

考虑问题要全面。

20．某商店经销一种纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a 元（a 为常数，25a ≤≤）的税收，设每件产品的日售价为x 元（3541x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比，已知每件产品的日售价为40元，日销售量为10件．
（1）求商店的日利润()L x 元与每件产品的日售价x 元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少时该商店的日利润()L x 最大，说明理由.
20．(1)40401030()(30)10x x e x a L x x a e e e
--=--= (2)5max
910(5),(24)(){10,(45)
a a e a L x e a --≤≤=<≤ 【解析】 (I)设日销售量为40
404010,10,10,.x x k k e k e e e e
=∴=则则日售量为件求出k 值是解决此问题的关键.
(2)由(1)可知4030()10x x a L x e e --=,然后直接求导,利用导数求其最值即可. （1）设日销售量为40
404010,10,10,.x x k k e k e e e e
=∴=则则日售量为件- 则日利润40401030()(30)10x x e x a L x x a e e e
--=--= （2）4031()10x a x L x e e
'+-=- ①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，()0L x '<
∴当x=35时，L （x ）取最大值为510(5)a e --
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，()0,31,L x x a ==+'令得
易知当x=a+31时，L （x ）取最大值为910a e --
综合上得5max 910(5),(24)(){10,(45)
a a e a L x e a --≤≤=<≤- 21．已知函数()()223f x ax ax a R =--∈.
（1）若0a >，且()0f x ≥在[
)3,+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（2）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，求2212x x +的取值范围. 21．（1）1a ≥；（2）()2,4.
【分析】
（1）根据二次函数的性质，由题中条件，得到()30f ≥，即可求解；
（2）根据方程有两不同正根，结合判别式与韦达定理，求出3a <-，再由
()2
221212122x x x x x x +=+-，即可求出结果. 【详解】
（1）当0a >时，二次函数()2
23f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =， 所以()f x 在[
)3,+∞上单调递增， 要使()0f x ≥在[3)+∞，
上恒成立，只需()39630a a f =--≥， 所以a 的取值范围是1a ≥；
（2）因为()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ， 所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩
，解得3a <-，
因为()222
121212624x x x x x x a
+=+-=+， 所以2212x x +的取值范围是()2,4. 22．已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩
.
（1）在同一坐标系中画出函数的图象，并求出函数的单调区间；(用直尺和铅笔规范作图) （2）函数()y f x =与y a =有且仅有两个交点，求a 的取值范围；
22．（1）答案见解析；（2）0a ≥或1a =-或2a <-
【分析】
（1）根据分段函数的解析式在同一平面直角坐标系中分别画出三段函数图象即可； （2）数形结合即可求出a 的取值范围；
【详解】
（1）在平面直角坐标系中作出图象如图所示：
（2）函数()y f x =与y a =有且仅有两个交点，
则0a ≥或1a =-或2a <-
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是图象断点处的虚实，如0x =时，4y =，图象不过()0,0，4x =时，8y =，点()4,2-是空的，这些点直接影响a 的取值范围.。