2019-2020学年人教A版四川省蓉城名校联盟高三第二学期第二次联考(文科)数学试卷 含解析

2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（文科）一、选择题
1．已知集合A＝{﹣1，1，3，4}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，4}B．{﹣1，1，4}
C．{﹣1，3，4}D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
2．已知复数z＝，则|z|＝（）
A．1B．C．2D．3
3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）
A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
4．已知实数0＜a＜b，则下列说法正确的是（）
A．＞B．ac2＜bc2
C．lna＜lnb D．（）a＜（）b
5．已知命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）
A．m＞B．m≥C．m＞1D．m≥1
6．若数列{a n}为等差数列，且满足3+a5＝a3+a8，S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝（）A．27B．33C．39D．44
7．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A．若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n
D．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n
8．已知抛物线y2＝20x的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且抛
物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若m＝﹣，则实数m 的值为（）
A．B．C．1D．2
10．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）A．B．C．D．
11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（x，y）的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．
12．已知＝（2sin，cos），＝（cos，2cos），函数f（x）＝•在区间[0，]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）
A．[，）B．（，]C．[，）D．（，2]
二、填空题
13．实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．
14．在△ABC中，若a：b：c＝2：3：4，则最大内角的余弦值为．
15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝，AB＝4，BC＝CC1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
16．已知函数f（x）＝﹣x3+x+a，x∈[，e]与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为．
三、解答题：共70分。

解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PA＝PC＝5，点M，N 分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若cos∠PCD＝，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．
19．已知数列{a n}满足对任意n∈N*都有2a n+1＝a n+a n+2，其前n项和为S n，且S7＝49，a3是a1与a13的等比中项，a1＜a2．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）已知数列{b n}满足b n＝2，c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求
大于1000的最小的正整数n的值．
20．已知点P（1，），＝（x﹣1，y），＝（x+1，y），且||+||＝4，满足条件的点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点（0，﹣1）的直线l，直线l与曲线C相交于A，B两点，直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，使得|PM|＝|PN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+1﹣a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若bln（x+1）+e x﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，求实数b的取值范围．
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）设射线OP：θ＝与曲线C1交于不同于极点的点A，与曲线C2交于不同于极点的点B，求线段AB的长．
[选修4-5：不等式选讲](10分)
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|（a∈R）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若对任意x∈R都有f（x）≥2，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{﹣1，1，3，4}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，4}B．{﹣1，1，4}
C．{﹣1，3，4}D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
解：∵集合A＝{﹣1，1，3，4}，
集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＜1或x＞3}，
∴A∩B＝{﹣1，4}．
故选：A．
2．已知复数z＝，则|z|＝（）
A．1B．C．2D．3
解：∵z＝，
∴|z|＝||＝．
故选：C．
3．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）
A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样D．系统抽样
解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．
4．已知实数0＜a＜b，则下列说法正确的是（）
A．＞B．ac2＜bc2
C．lna＜lnb D．（）a＜（）b
解：对于A．∵实数0＜a＜b，∴＞，＞（c≤0不成立），
对于B．c＝0不成立．
对于C．利用对数函数的单调性即可得出．
对于D.＞，因此不成立．
故选：C．
5．已知命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）
A．m＞B．m≥C．m＞1D．m≥1
解：∵命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，即：2＜x＜3，
p是q的必要不充分条件，
∴（2，3）⊆（2m+1，+∞），
∴2m+1≥3，解得m≥1．
实数m的取值范围为m≥1．
故选：D．
6．若数列{a n}为等差数列，且满足3+a5＝a3+a8，S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝（）A．27B．33C．39D．44
解：设等差数列{a n}的公差为d，且满足3+a5＝a3+a8，
∴a6＝3．
S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝11a6＝33．
故选：B．
7．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A．若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n
D．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n
解：对于A，当m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m与n的位置关系不定，故错；
对于B，当m∥n时，不能判定α∥β，故错；
对于C，若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m与n的位置关系不定，故错；
对于D，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，又n∥β，则m⊥n故正确．
故选：D．
8．已知抛物线y2＝20x的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
解：由抛物线y2＝20x，可得2p＝20，则p＝10，故其准线方程为x＝﹣5，
∵抛物线y2＝20x的准线过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，
∴c＝5．
∵抛物线y2＝20x的准线被双曲线截得的线段长为，
∴＝，又c2＝25＝a2+b2，
∴a＝4，b＝3，
则双曲线的离心率为e＝．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若m＝﹣，则实数m 的值为（）
A．B．C．1D．2
解：依题意，，
又B，P，N三点共线，
∴，解得．
故选：B．
10．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）A．B．C．D．
解：因为a＞0，b＞1满足a+b＝5，
则+＝（+）[a+（b﹣1）]×，
＝，
当且仅当时取等号，
故选：A．
11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（x，y）的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．
解：根据题意知，m名同学取m对都小于l的正实数对（x，y），即，
对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，
若两个正实数x、y能与1构成钝角三角形三边，则有，
其面积S＝﹣；
则有＝﹣，
解得π＝．
故选：D．
12．已知＝（2sin，cos），＝（cos，2cos），函数f（x）＝•
在区间[0，]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）
A．[，）B．（，]C．[，）D．（，2]解：＝，令，解得，
令，解得，
又函数f（x）在区间恰有3个极值点，
∴，解得．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．
解：作出可行域如图所示，
则当直线z＝2x+y过点C时直线的截距最大，z取最大值．
由⇒，
∴C（，），z取最大值：2×+＝．
故答案为：．
14．在△ABC中，若a：b：c＝2：3：4，则最大内角的余弦值为﹣．解：根据题意得：a＝3k，b＝2k，c＝4k，且最大角为C，
∴cos C＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝，AB＝4，BC＝CC1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝，AB＝4，BC＝CC1＝2，
以B为原点，在平面ABC中，过点B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，﹣2，0），B1（0，0，2），B（0，0，0），C1（0，2，2），＝（﹣2，2，2），＝（0，2，2），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为：
cosθ＝＝＝．
故答案为：．
16．已知函数f（x）＝﹣x3+x+a，x∈[，e]与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为[2，e3﹣2]．
解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+x+a（≤x≤e）与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程﹣x3+x+a＝﹣3lnx+x+1在区间[，e]上有解，
即方程a﹣1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，
又由x∈[，e]，可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
必有1≤a﹣1≤e3﹣3，则有2≤a≤e3﹣2，
即a的取值范围是[2，e3﹣2]；
故答案为：[2，e3﹣2]；
三、解答题：共70分。

解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．
解：（1）由茎叶图得：
中位数为43，众数为47．
（2）设不超过50的工人为a，b，c，d，e，f，g，
其中a，b，c为优秀员工，
从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有21个，分别为：
{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{a，g}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{b，g}，
{c，d}，{c，e}，{c，f}，{c，g}，{d，e}，{d，f}，{d，g}，{e，f}，{e，g}，{f，g}，其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，
∴至少有一个工人是优秀员工的概率P＝．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PA＝PC＝5，点M，N 分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若cos∠PCD＝，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．
【解答】（1）证明：取PD的中点H，连接NH，AH，
∵N是PC的中点，∴NH∥DC，NH＝，
又AM∥DC，AM＝，∴NH∥AM且NH＝AM，
∴四边形AMNH为平行四边形，则MN∥AH，
又MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：∵PC＝5，DC＝4，cos∠PCD＝，
∴，则PC2＝PD2+DC2，
∴PD⊥DC，同理PD⊥AD，
又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，
又MN∥平面PAD，∴V P﹣ADN＝V N﹣PAD＝V M﹣PAD＝V P﹣ADM，
又∵∠DAB＝60°，∴．
∴．
19．已知数列{a n}满足对任意n∈N*都有2a n+1＝a n+a n+2，其前n项和为S n，且S7＝49，a3是a1与a13的等比中项，a1＜a2．
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）已知数列{b n}满足b n＝2，c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，求
大于1000的最小的正整数n的值．
解：（1）∵任意n∈N*都有2a n+1＝a n+a n+2，
∴数列{a n}是等差数列，
∵S7＝49，∴7a4＝49，∴a4＝7，
又∵a3是a1与a13的等比中项，a1＜a2，设数列{a n}的公差为d，且d＜0，
则（7﹣d）2＝（7﹣3d）（7+9d），解得d＝2，
∴a1＝7﹣3d＝1，
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由题意可知，，，
∴①，
②，
①﹣②得：，
∴，
∴＝4n+1＝22n+2，
由＞1000得，22n+2＞1000，
∴2n+2≥10，
∴n≥4，
∴满足条件的最小的正整数n的值为4．
20．已知点P（1，），＝（x﹣1，y），＝（x+1，y），且||+||＝4，满足条件的点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点（0，﹣1）的直线l，直线l与曲线C相交于A，B两点，直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，使得|PM|＝|PN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）设F1（﹣1，0），F2（1，0），
由＝（x﹣1，y），＝（x+1，y），||+||＝4，
可得+＝4，即为|QF1|+|QF2|＝4，
由4＞|F1F2|，可得Q的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，且2a＝4的椭圆，由c＝1，a＝2，可得b＝＝，可得曲线C的方程为+＝1；
（2）假设存在过点（0，﹣1）的直线l符合题意．
当直线l的斜率不存在，设方程为x＝0，可得M，N为短轴的两个端点，
|PM|＝|PN|不成立；
当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx﹣1，A（x1，kx1﹣1），B（x2，kx2﹣1），由|PM|＝|PN|，可得k PM+k PN＝0，即k PA+k PB＝0，
可得+＝0，化为2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）+5＝0，
由可得（3+4k2）x2﹣8kx﹣8＝0，
由（0，﹣1）在椭圆内，可得直线l与椭圆相交，
x1+x2＝，x1x2＝﹣，
则2k（﹣）﹣（k+）（）+5＝0，
化为﹣16k﹣8k（k+）+5（3+4k2）＝0，即为4k2﹣12k+5＝0，解得k＝或k＝，所以存在直线l符合题意，且方程为y＝x﹣1或y＝x﹣1．
21．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+1﹣a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若bln（x+1）+e x﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，求实数b的取值范围．
解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，
当a≤0时，﹣a（x+1）+1＞0，故函数f（x）在（﹣1，+∞）单调递增；
当a＞0时，时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，故函数f（x）在单调递增，在单调递增；
（2）令g（x）＝bln（x+1）+e x﹣x﹣1，则g（0）＝0，
∴对任意x＞0，g（x）＞0等价于g（x）＞g（0），
，
当b＜0时，g′（0）＜0，则存在m＞0，使x∈（0，m）使，g′（x）≤0，
∴g（x）在（0，m）上是减函数，
∴x∈（0，m）时，g（x）＜g（0），与条件不符，
当b≥0时，由x＞0，可知x+1＞1，故，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x＞0时，g（x）＞g（0），即g（x）＞0，；
综上，实数b的取值范围为[0，+∞）．
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）设射线OP：θ＝与曲线C1交于不同于极点的点A，与曲线C2交于不同于极点的点B，求线段AB的长．
解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．
曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（2）设射线OP：θ＝与曲线C1交于不同于极点的点A，
所以，解得ρ1＝2．
与曲线C2交于不同于极点的点B，
所以，解得，
所以．
[选修4-5：不等式选讲](10分)
23．设函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|（a∈R）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若对任意x∈R都有f（x）≥2，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≥4即为|x+1|+|x﹣1|≥4，
可得或或，
解得x≤﹣2或x∈∅或x≥2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；
（2）若对任意x∈一、选择题都有f（x）≥2，
即为f（x）min≥2，
由|x+a|+|x﹣1|≥|x+a﹣x+1|＝|a+1|，当（x+a）（x﹣1）≤0取得等号，则f（x）min＝|a+1|，由|a+1|≥2，可得a≥1或a≤﹣3，
则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．。