江苏省苏州市初三数学期终复习课时作业二、中心对称图形------圆(二)与圆有关的计算问题(含详细答案)

2．圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于什么？扇形弧长等于什么？
【解题方法1】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。
【解题方法2】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是 的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
图8
课后作业：
1．如图，正六边形 内接于圆 ，半径为 ，则这个正六边形的边心距 和弧 的长分别为（）
（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D） 、
2．如图， 是⊙O的直径，弦 ,则
阴影部分的面积为（）
课时作业二、中心对称图形------圆（二）与圆有关的计算问题
一、
二、圆与三角形的关系：
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。内切圆半径公式：
例2、如图，已知正△ABC的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r和面积S．
例3、
（1）一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______．(结果保留 )
（2）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。弧BD是以点A为圆心、AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为cm2。
（2）扇形面积的另一个计算公式
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S= πR2化为S= · R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S= lR。
圆锥的侧面积和全面积：
1．圆锥的基本概念：连结圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线段SA、SA1……叫做圆锥的母线，连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高。
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
6、已知：AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．
（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
7、（2015•浙江湖州，第20题8分）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.
A B C D
图1图2图3
6.如图3，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为( )A.π B．π－C.D.π＋
7．如图4，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为( )
A.－；B．－；C.－；D.－
图4图5图6
8.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为________(结果保留π)．
∵∠DBC＝∠BAC，∴∠ABD＋∠DBC＝90°.∴BC是⊙O的切线．
(2)解：连接OD，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形．
∴S阴影＝S扇形OBD－S△OBD＝－×2×＝－.
12.解：(1)CD与⊙O相切，理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.
A. B. C. D.
3、（2015•益阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则 的长为。
4、如图，边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留 ）
5．如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．
∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积.∵ 是弦 的中点，
∴ ∵ ∴ ∴ ,
在Rt△ 中，根据勾股定理可知： ，即 .解得: ; 扇形COB = .即阴影部分的面积之和为 .故选D.
3、解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°× =60°， 的长为 = ．
4、 ；
5、解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），∴设直线l的解析式为：y=kx+b，
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线.
8、如图,⊙O直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.
课时作业二参考答案：
1．C2.B3.B4.B5.D6.C7.A；8.π9.2π10.4－π
11．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＋∠BAC＝90°.
3．圆锥侧面积计算公式：圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S圆锥侧=S扇形= ·2πr·l=πrl
4．圆锥全面积计算公式：S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面=πr l＋πr2=πr（l＋r）
典型例题：
例1、如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD和BE相交于点M，请你仔细观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形．
所以1°的圆心角所对的弧长是 ，即 。这样，在半径为R的圆中，
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l= 。
2．扇形面积计算公式：
（1）类比弧长的计算公式可知：圆心角为n°的扇形面积与整个圆面积的比和n°与360°的比一致，因此，扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几，即圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是。 这样，在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：S= πR2
9．如图5，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧 的长为__________cm.http://www.xkb1.co m
10.如图6，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝80°，则图中阴影部分的面积是______________．
7．试题解析：此题中应注意，不能用（1）的结论证明（2）的结论。
（1）连接CD,∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°,即CD⊥AB，∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10.
（2）连接OD,∵∠ADC=90°,E为AC的中点，∴DE=EC= AC,∴∠1=∠2。∵OD=OC,∠3=∠4,∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC.∴∠1+∠3=∠2+∠4,即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线。
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∴CD与⊙O相切．
(2)如图31，连接EB.由AB为直径，得到∠AEB＝90°，∴EB∥CD，F为EB的中点．
∴OF为△ABE的中位线．∴OF＝AE＝，即CF＝DE＝.
在Rt△OBF中，根据勾股定理，得EF＝FB＝DC＝，则S阴影＝S△DEC＝××＝.
∴ ∴ ．∴直线l的解析式为：y=﹣ x+3；
（2）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，
①如图所示，此时⊙M与此直线l相切，切点为C，连接MC，则MC⊥AB，
在Rt△ABM中，sin∠BAM= = ，在Rt△AMC中，∵sin∠MAC= ，
∴AM= = =4，∴点M的坐标为（0，0）．
A．4π B．3π C．2π D．2π
4．如图1，一枚直径为4 cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )
A．2π cm B．4π cm C．8π cm D．16π cm
5．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行，回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图2，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得的侧面展开图是( )
②此时⊙M'与此直线l相切，切点为C'，连接M'C'，则M'C'⊥AB，
∴∠M′C′B=∠MCB=90°，在△M′C′B与△CMB中，
，∴BM'=BM=3，∴点M'的坐标为（0，6）．
综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．
（5题答图） （7题答图）
6、（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．∵BC＝6 cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．连OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45 º．∴∠BOD＝90º．∴BD＝＝5cm．（2）S阴影＝π·52－×5×5＝cm2．
课后作业：
1、正六边形中，连接 、 可以得到 为等边三角形，边长等于半径 。因为 为边心距，所以 ，所以，在边长为 的等边三角形中，边上的高 。弧 所对的圆心角为 ，由弧长计算公式： ，选D。
2、∵ 是⊙O的直径， ，∴ 是弦 的中点, 是弧 的中点（垂径定理）∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)
∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=45°.在Rt△ABD中，BD= .
当练习：
1．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形
2．已知圆柱的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆柱的侧面积是( )
A．30 cm2B．30π cm2C．15 cm2D．15π cm2
3．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是( )
11．如图7，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
图7
12．★★★如图8，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE.
考点：圆周角定理的推论；切线的性质定理；切线的判定定理。
8、解：（1）连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC= ,∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC =120°.
∴弧BC的长为 .
（2）连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD，
5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
6、圆内接四边形的对角互补，并且每一个外角等于它的内对角。
三、计算公式：
正多边形的计算：正n边形半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形,根据这个性质可以把正n边形的有关计算问题归纳为解直角三角形的问题。
弧长和扇形的面积：
1． 弧长计算公式：因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，
stoppaidnoticerecordstablesingle课时作业二中心对称图形圆二与圆有关的计算问题一正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算这是重点圆的有关计算圆周长弧长这是重点圆扇形弓形面积这是重点圆柱圆锥侧面展开图这是重点二圆与三角形的关系
例4、★★★（2015•浙江丽水，第21题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.
四、考查目标：主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。