1996考研数学一真题及答案解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设2lim(
)8x
x x a x a
→∞
+=-,则a =___________. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为
___________.
(3) 微分方程22x
y y y e '''-+=的通解为___________.
(4) 函数ln(u x =+
在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数
为___________.
(5) 设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
,则()r AB =___________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知
2
()()x ay dx ydy
x y +++为某函数的全微分,则a 等于 ( )
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设()f x 有二阶连续导数,且(0)0f '=,0
()
lim 1||
x f x x →''=
=,则 ( ) (A) (0)f 是()f x 的极大值 (B) (0)f 是()f x 的极小值
(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点
(D) (0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点
(3) 设0(1,2,
)n a n >=,且1n n a ∞
=∑收敛,常数(0,)2π
λ∈,则级数21
(1)(tan )n n n n a n λ
∞
=-∑
( )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关
(4) 设()f x 有连续的导数,(0)0f =,(0)0f '≠,22
0()()()x
F x x t f t dt =-⎰,且当0x →
时,()F x '与k
x 是同阶无穷小,则k 等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(5) 四阶行列式
1
1
22334
4
0000
000
a b a b b a b a 的值等于 ( ) (A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b +
(C) 12123434()()a a b b a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a b b --
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2) 设110x =
,11,2,
)n x n +==,试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分
(2)S
x z dydz zdxdy ++⎰⎰
,其中S 为有向曲面22
(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.
(2) 设变换2,u x y u x ay
=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+
-=∂∂∂∂化简为20z
u v ∂=∂∂,求常数a ,其中(,)z z x y =有二阶连续的偏导数.
五、(本题满分7分)
求级数
22
1
(1)2n
n n ∞
=-∑的和.
六、(本题满分7分)
设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于
01()x
f t dt x
⎰,求()f x 的一般表达式.
七、(本题满分8分)
设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|()|f x a ≤,|()|f x b ''≤,其中,a b 都是非
负常数,c 是(0,1)内任一点,证明|()|22
b f
c a '≤+.
八、(本题满分6分)
设T A E ξξ=-,其中E 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T
ξ是ξ的转置,证明： (1) 2A A =的充要条件是1T ξξ=；(2) 当1T
ξξ=时,A 是不可逆矩阵.
九、(本题满分8分)
已知二次型222
123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2.
(1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和
40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是__________. (2) 设ξ、η是两个相互独立且均服从正态分布2
)
N 的随机变量,则随机变量 ξη-的数学期望()E ξη-=__________.
十一、(本题满分6分.)
设ξ、η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布律为{}1
3
P i ξ==
, i =1,2,3,又设max(,)X ξη=,min(,)Y ξη=.
(1) 写出二维随机变量(,)X Y 的分布律：
(2) 求随机变量X 的数学期望()E X .
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 2
【解析】这是1∞
型未定式求极限.
方法一： 3323lim()lim(1)x a ax
x a x
a
x x x a a x a x a
-⋅-→∞→∞+=+-- ,
令
3a
t x a
=-,则当x →∞时,0t →, 则 1
303lim(1)lim(1)x a
a t x t a t e x a -→∞→+
=+=-, 即 33lim lim 31
2lim(
)x x ax a
x a x a x x a e e e x a
→∞→∞-→∞+===-. 由题设有38a
e
=,得1
ln8ln 23
a ==.
方法二：2223()2221lim 112lim lim lim 11lim 1x x
a x
a
x a x a x x a x x x a a x a a a x a e x x x e a x a e a a x x x ⋅→∞-→∞→∞→∞-⋅-→∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭===== ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 由题设有38a
e
=,得1
ln8ln 23
a ==.
(2)【答案】2230x y z +-=
【解析】方法一：所求平面过原点O 与0(6,3,2)M -,其法向量{}06,3,2n OM ⊥=-；平面垂直于已知平面428x y z -+=,它们的法向量也互相垂直：{}04,1,2n n ⊥=-；
由此, 00//6
32446412
i
j k
n OM n i j k ⨯=-=--+-.
取223n i j k =+-,则所求的平面方程为2230x y z +-=.
方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M -的向量
{}06,3,2OM =-,另一是平面428x y z -+=的法向量{}04,1,2n =-)平行的平面,
即 6
320412
x
y z
-=-,即 2230x y z +-=.
(3)【答案】12(cos sin 1)x
e c x c x ++
【解析】微分方程22x
y y y e '''-+=所对应的齐次微分方程的特征方程为
2220r r -+=,解之得1,21r i =±.故对应齐次微分方程的解为12(cos sin )x y e C x C x =+.
由于非齐次项,1x
e αα=不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()x
y x ae =,代入
22x y y y e '''-+=得1a =(也不难直接看出*()x y x e =),故所求通解为
1212(cos sin )(cos sin 1)x x x y e C x C x e e C x C x =++=++.
【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设*
()y x 是二阶线性非齐次方程
()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程
()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.
② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程
变为0y py qy '''++=.其特征方程写为2
0r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1
212;rx r x y C e
C e =+
(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rx
y C C x e =+
(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x
y e C x C x αββ=+其中12
,C C 为常数.
③ 对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*
()y x ,可用待
定系数法,有结论如下：
如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k x
m y x x Q x e λ=
的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果()[()cos ()sin ]x
l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程
()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为
*(1)(2)
[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,
其中(1)()m R x 与(2)
()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (4)【答案】
12
【分析】先求方向l 的方向余弦和
,,u u u
x y z
∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y z
αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=-单位化，即得 {}{}1
2,2,1cos ,cos ,cos 3
||AB l AB αβγ=
=-=.
将函数ln(u x =+分别对,,x y z 求偏导数得
12
A
u x ∂=
=
∂,
0A
u y ∂=
=∂,
12
A
u z
∂=
=
∂, 所以
cos cos cos A
A A A u u u u
l
x y z αβγ∂∂∂∂=
++∂∂∂∂ 1221110()233232
=⨯+⨯-+⨯=. (5)【答案】2
【解析】因为1
02
20100103
B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.
【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则
1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.
从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得 22
()()()
x ay dx ydy
du x y x y +=+++, 由可微与可偏导的关系,知
2()u x ay x x y ∂+=∂+,2
()u y
y x y ∂=∂+, 分别对,y x 求偏导数,得
2243
()()2()(2)()()
u a x y x ay x y a x ay
x y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++,
23
2()u y
y x x y ∂-=∂∂+. 由于2u y x ∂∂∂与2u x y
∂∂∂连续,所以22u u
y x x y ∂∂=∂∂∂∂,即 33
(2)2()()
a x ay y x y x y ---=++2a ⇒=, 故应选(D).
(2)【答案】(B)
【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()
lim
10,||
x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有
()
0||
f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增. 又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).
【相关知识点】极限的局部保号性：设0
lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当
00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).
(3)【答案】(A) 【解析】若正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛,则
21
n
n a
∞
=∑也收敛,且当n →+∞时,有
tan
lim (tan )lim
n n n n n n
λ
λ
λλλ
→+∞→+∞=⋅=. 用比较判别法的极限形式,有
22tan
lim
0n
n n
n a n
a λ
λ→+∞
=>.
因为
21
n n a ∞
=∑收敛,所以2lim tan
n x n a n
λ
→+∞
也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).
【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：
设
1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,且lim
,n
n n
v A u →∞=则
(1) 当0A <<+∞时,
1n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散；
(2) 当0A =时,若
1
n
n u
∞
=∑收敛,则
1
n
n v
∞
=∑收敛；若
1
n
n v
∞
=∑发散,则
1
n
n u
∞
=∑发散；
(3) 当A =+∞时,若
1
n
n v
∞
=∑收敛,则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散,则
1
n
n v
∞
=∑发散.
(4)【答案】(C)
【解析】用洛必达法则.
由题可知 2
20
()()()x
x
F x x
f t dt t f t dt =-⎰
⎰,
对该积分上限函数求导数,得
220
()2()()()2()x x
F x x f t dt x f x x f x x f t dt '=+-=⎰⎰,
所以 0
010002()2()()lim lim lim x x
k k k x x x x f t dt f t dt F x x x x
-→→→'==⎰⎰ 23
002()2()
lim
lim (1)(1)(2)k k x x f x f x k x k k x --→→'---洛洛.
因为()F x '与k
x 是同阶无穷小,且(0)0f '≠,所以3
02()
lim
(1)(2)k x f x k k x -→'--为常数,即3k =时
有 30
0()2()
lim
lim (0)0(1)(2)k k x x F x f x f x k k x
-→→'''==≠--, 故应选(C).
【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim
()
x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (5)【答案】(D)
【解析】可直接展开计算,
2
22213
31334
4
0000
a b a b D a b a b b a a b =- 222214
14
232314143
3
3
3
()()a b a b a a b b a a b b a a b b b a b a =-=--,
所以选(D).
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得
ds a θθ==
2cos
2
a a d θ
θθ==.
由于()(1cos )r r a θθ==+以2π为周期,因而θ的范围是[0,2]θπ∈. 又由于()()r r θθ=-,心形线关于极轴对称.由对称性,
24cos 8sin 822s ds a d a a π
π
π
θ
θθ⎡⎤
====⎢⎥⎣⎦⎰⎰
.
(2)【解析】用单调有界准则.
由题设显然有0n x >,数列{}n x 有下界.
证明n x 单调减：用归纳法
.214x x ==<；设1n n x x -<,则
1n n x x +==.
由此,n x 单调减.由单调有界准则,lim n n x →+∞
存在.
设lim ,(0)n n x a a →+∞
=≥,
在恒等式1n x +两边取极限,即
1lim lim n n n x a +→+∞
=⇒=解之得3a =(2a =-舍去).
【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.
2. 收敛数列的保号性推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥(或0n x ≤),且lim n n x a →∞
=,那
么0a ≥(或0a ≤).
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为
22:1xy D x y +≤；
2:11,1yz D y y z
-≤≤≤≤
,或01,z y ≤≤≤≤ 图1
求
S
zdxdy ⎰⎰,自然投影到xOy 平面上.求(2)S
x z dydz +⎰⎰时,若投影到xOy 平面上,被积函
数较简单且可利用对称性.
【分析二】令(,,)2,(,,)0,(,,)P x y z x z Q x y z R x y z z =+==,则S
I Pdydz Rdxdy =
+⎰⎰.
这里,
213P Q R x y z
∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.
【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则
22(2)[(2)()()]xy
S
D z
I x z dydz zdxdy x z x y dxdy x
∂=++=+-
++∂⎰⎰⎰⎰, 其中2
2
z x y =+,22
:1xy D x y +≤.
把
2z
x x
∂=∂代入,得 2222242()()xy
xy
xy
D D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,
由对称性得
222()0xy
D x x y dxdy +=⎰⎰,222
42()xy
xy
D D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰
, 所以 22
()xy
D I x y dxdy =-
+⎰⎰
. 利用极坐标变换有
1
21
340
00
1242I d r dr r π
πθπ⎡⎤
=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰
⎰.
方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.
投影到yOz 平面时S
要分为前半部分1:S x =
2:S x =
(见图1),则
1
2
(2)(2)S S S
I x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I 化成二重积分得
2222
)()()4().
yz
yz
xy
yz
xy
D D D D D I z dydz z dydz x y dxdy
x y dxdy =-+-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2
2
1
3
111
22
1
13
1242200sin 2()
3
44(1)cos 3343,34224
yz
z y D z y y t dy z y dy
y dy tdt πππ=--====-=-=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
或
2
11
01
.2
4
yz
D dz dz π
π
===
⎰⎰⎰⎰
(
这里
的圆面积的一半.)
22()2
xy
D x y dxdy π
+=⎰⎰
(同方法一).
因此, 4.4
22
I π
π
π
=-⋅
+
=-
方法三：添加辅助面22
1:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则
1
1
(2)1S S D
x z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,
其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：22
1x y +≤.
S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上
满足高斯公式的条件,所以
1
(2)3S S x z dydz zdxdy dV Ω
++=-⎰⎰⎰⎰⎰
11
()
3332
D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-
⎰⎰⎰⎰, 其中,()D z 是圆域：22
x y z +≤,面积为z π. 因此,1
33(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=-
-++=---=-⎰⎰. (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得
z z u z v z z
x u x v x u v
∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂, 2z z u z v z z a y u y v y u v
∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂, 所以 22222222()()z z z z u z v z v z u
x x u x v u x u v x v x v u x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222z z z
u u v v
∂∂∂=++∂∂∂∂, 2222222()()z z z z u z v z v z u x y y u y v u y u v y v y v u y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222(2)z z z
a a u u v v
∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,
222222222222222()()2()()44.z z z a y y u y v
z u z v z v z u
a u y u v y v y v u y
z z z a a u u v v
∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂
代入2222260z z z
x x y y
∂∂∂+
-=∂∂∂∂,并整理得 22222
22226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v
∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂. 于是,令2
60a a +-=得3a =或2a =-.
2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为
20z
u v
∂=∂∂. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且
,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.
五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,
21
221122213
1111
()(1)22
11111111
.212122n n n n n n n n n n n n A n n n n n n n ∞
∞
+==∞∞∞∞
+++======---+=⋅-⋅=--+⋅⋅∑∑∑
∑∑∑
令 122
1
31
1
,2
2n n
n n A A n
n
∞
∞
+===
=⋅⋅∑∑
, 则 12A A A =-.
由熟知ln(1)x +幂级数展开式,即11
(1)ln(1)(11)n n
n x x x n -∞
=-+=-<≤∑,得 112111
1(1)1111
()ln(1)ln 22
42424n n n n n A n n -∞
∞+==-==--=--=⋅∑∑,
1233
1
21
1(1)1()
22(1)
11111115
()()ln(1)ln 2,22222288
n n
n n n n n n A n n n -∞
∞==-∞=-==--⋅-=-----=----=-∑∑∑
因此, 1253
ln 284
A A A =-=-.
六、(本题满分7分)
【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为
()()()Y f x f x X x '-=-.
令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,
01()()()x
f t dt f x f x x x
' =-⎰. 为消去积分,两边乘以x ,得 20
()()()x
f t dt xf x f x x ' =-⎰
, (*)
将恒等式两边对x 求导,得
2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,
即 ()()0xf x f x '''+=.
在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程
0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.
方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=, 因为0x >,所以1
C y x
'=
, 两边积分得 12()ln y f x C x C ==+.
方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1
C y P x
'==. 再积分得12()ln y f x C x C ==+.
七、(本题满分8分)
【解析】由于问题涉及到,f f '与f ''的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c 展开：
2()
()()()()()2!
f f x f c f x x c x c ξ'''=+-+
-,ξ在c 与x 之间. 分别取0,1x =得
20()
(0)()()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+
-,0ξ在c 与0之间, 21()
(1)()()(1)(1)2!
f f f c f c c c ξ'''=+-+-,1ξ在c 与1之间, 两式相减得 22
101(1)(0)()[()(1)()]2!f f f c f c f c ξξ'''''-=+--,
于是 22
101()(1)(0)[()(1)()]2!
f c f f f c f c ξξ'''''=----.
由此 221011()(1)(0)()(1)()2!2!
f c f f f c f c ξξ'''''≤++-+ 22
12[(1)]222
b a b
c c a ≤+-+<+.
八、(本题满分6分)
【解析】(1)因为T A E ξξ=-,T
ξξ为数,T
ξξ为n 阶矩阵,所以
2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,
因此, 2
(2)(1)0T
T
T
T
T
A A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-=
因为ξ是非零列向量,所以0T
ξξ≠,故2
10,T
A A ξξ=⇔-=即1T
ξξ=.
(2)反证法.当1T
ξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121
A A A A A E --===.
与已知T
A E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分8分)
【解析】(1)此二次型对应的矩阵为
51315333A c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
因为二次型秩 ()()2r f r A ==,由
513440400153153163333336A c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可得3c =.再由A 的特征多项式
5
13||15
3
(4)(9)3
3
3
E A λλλλλλλ---=
-=----
求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.
(2)因为二次型经正交变换可化为22
2349y y +,故
123(,,)1f x x x =,即2223491y y +=.
表示椭圆柱面.
【相关知识点】主轴定理：对于任一个n 元二次型
12(,,
,)T n f x x x x Ax =,
存在正交变换x Qy =(Q 为n 阶正交矩阵),使得
22
2
1122()T T T n n x Ax y Q AQ y y y y λλλ==++
+,
其中12,,,n λλλ是实对称矩阵A 的n 个特征值,Q 的n 个列向量12,,,n ααα是A 对应于
特征值12,,
,n λλλ的标准正交特征向量.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1)【答案】
37
【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有
()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.
应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：
()(|)0.60.013
(|)0.60.010.40.027
()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯=
==⨯+⨯+.
【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S 的
一个划分,且()0,()0(1,2,
,)i P A P B i n >>=,则
1
()(|)
(|),1,2,,.()(|)
i i i n
j
j
j P B P A B P B A i n P B P A B ==
=∑ (*)
(*)式称为贝叶斯公式. (2)
【解析】由于ξ与η
相互独立且均服从正态分布2
)N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且
()0,EU E E E ξηξη=-=-=
()11
122
DU D D D ξηξη=-=+=
+=, 所以有 (0,1)U
N .
代入正态分布的概率密度公式,有
2
2
()u f u du +∞
--∞
=⎰
. 应用随机变量函数的期望公式有
22
(||)(||)||
u E E U u du ξη+∞
-
-∞
-= =
⎰22
2u du +∞
-
=⎰
由凑微分法,有
22
2
(||)2()2u u
E d ξη+∞
-
-=--
⎰
2
2
u +∞
-
=
=
【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,
其中,,a b c 为常数.
十一、(本题满分6分.)
【解析】易见(,)X Y 的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意
{}X Y <=∅,故{}0P X Y <=,即
{}{}{}1,21,32,30P X Y P X Y P X Y =========, {}{}1,1max(,)1,min(,)1P X Y P ξηξη=====
{}{}{}11,1119
P P P ξηξη=======
. 类似地可以计算出所有ij p 的值列于下表中,得到随机变量(,)X Y 的联合分布律：
(2)将表中各行元素相加求出X 的边缘分布
123135999X
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 由离散型随机变量数学期望计算公式可得
13522
1239999
EX =⋅+⋅+⋅=
. 【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：
二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为：
{}{},,1,2,
i i i j ij j
j
p P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{}
,,1,2,
j j i j ij i
i
p P Y y P X x Y y p j ⋅=======∑∑
它们分别为联合分布律表格中第i 行与第j 列诸元素之和. 2. 离散型随机变量数学期望计算公式：{}1
()n
k
k k E X x
P X x ==
⋅=∑.。