高中人教A版数学必修1单元测试：第一章 集合与函数概念(二)及解析

A 卷 数 学
班级：________ 姓名：________ 得分：________
第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f (x )＝
1
2x －3
的定义域是( ) A. 0，32 B. 32，＋∞ C. －∞，32 D.
32，＋∞ 2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．0个或1个 D ．不能确定 3．函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈2,5]的值域是( ) A ．1,6] B ．－3,1] C ．－3,6] D ．－3，＋∞)
4．已知函数f (x )＝
x (x ≥0)，x 2 (x <0)，则f (f (－2))的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
5．已知函数f (x )＝(a －x )|3a －x |，a 是常数且a >0，下列结论正确的是( )
A ．当x ＝2a 时，有最小值0
B ．当x ＝3a 时，有最大值0
C ．无最大值也无最小值
D ．有最小值，但无最大值
6．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )
A ．2a ，a ＋b ]
B ．a ，b ]
C．0，b－a] D．－a，a＋b]
7．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()
A．3x＋2 B．3x＋1 C．3x－1 D．3x＋4
8．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则()
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)<f(x2) D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
9．已知反比例函数y＝k
x的图象如图所示，则二次函数y＝2kx
2－
4x＋k2的图象大致为()
10．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有()
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
11．已知f(x)为奇函数，在区间3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝()
A．－15 B．－13 C．－5 D．5
12．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等
式f (x )－f (－x )x
<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．
14．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．
①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f
12＝1
2f (1)；④f (－x )·f (x )<0.
15．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为______________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2.
(1)若函数的图象经过原点，且满足f (2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围．
18．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝
1＋x 2
1－x 2. (1)求f (x )的定义域； (2)判断并证明f (x )的奇偶性；
(3)求证：f
1x ＝－f (x )．
19．(本小题满分12分)
已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；
(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．
20．(本小题满分12分)
已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．
21．(本小题满分12分)
已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )为增函数，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．
(1)求证：f
x y ＝f (x )－f (y )；
(2)若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a
x ，x ∈1，＋∞)． (1)当a ＝1
2时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．
详解答案
第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名师原创·基础卷]
1．D 解析：由2x －3>0得x >3
2.
2．C 解析：如果x ＝2与函数y ＝f (x )有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x ＝2不在y ＝f (x )的定义域内．
3．C 解析：函数y ＝(x －2)2－3在2，＋∞)上是增函数，所以最小值为f (2)＝－3，又x ∈2,5]，故最大值为f (5)＝6.
4．C 解析：∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4. 又4>0，∴f (f (－2))＝f (4)＝4.
5．C 解析：由f (x )＝
(x －2a )2－a 2
，x ≤3a ，
－(x －2a )2＋a 2
，x >3a ，可画出简图．
分析知C 正确．
6．B 解析：y ＝f (x ＋a )可由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位得到，因此，函数y ＝f (x ＋a )的值域与y ＝f (x )的值域相同．
7．C 解析：设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1，故选C.
解题技巧：采用换元法求函数解析式是常用方法．换元时，一定
注意自变量的取值范围的变化情况．
8．C 解析：x 1<0，且x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (x 1)<f (－x 2)． 又f (x )是偶函数，∴f (x 1)<f (x 2)．
9．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1
k <0，排除C.
10．C 解析：由已知对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )＋2≤5. 对任意x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，且φ(x )，g (x )都是奇函数，
有f (－x )＝aφ(－x )＋bg (－x )＋2≤5.即－aφ(x )－bg (x )＋2≤5， ∴aφ(x )＋bg (x )≥－3.
∴f (x )＝aφ(x )＋bg (x )＋2≥－3＋2＝－1.
11．A 解析：因为函数在3,6]上是增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1，又函数f (x )为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15，故选A.
12．D 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，
∴f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x <0，即
f (x )<0，x >0或
f (x )>0，x <0.
因为f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在(－∞，0)上是增函数．
由f (1)＝0知f (－1)＝0，
∴
f (x )<0，x >0可化为
f (x )<f (－1)，
x >0，∴0<x <1；
f (x )>0，x <0可化为
f (x )>f (1)，
x <0，
∴－1<x <0.
13.
－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－1
2，故函数f (2x ＋1)的定义域为
－1，－12. 解题技巧：已知f (x )的定义域为a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，可从a ≤g (x )≤b 中解得x 的取值范围，即为f (g (x ))的定义域．
14．①②③ 解析：令x ＝y ＝0，得f (0)＝0；令x ＝2，y ＝1，得f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)；
令x ＝y ＝1
2，得f (1)＝2f 12，∴f
12＝12f (1)； 令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0.
15．－2x 2＋4 解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2
为偶函数，则2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.
又f (x )的值域为(－∞，4]，∴a ≠0，b ＝－2，∴2a 2＝4. ∴f (x )＝－2x 2＋4.
16．a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －1
2，
∵函数在(1,2)上单调，∴a －1
2≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.
17．解：(1)∵f (0)＝0，f (2)＝0，∴
m 2－5m ＋4＝0，
m －m 2
＝0，∴m ＝1. (2)∵y ＝f (x )在2，＋∞)为增函数， ∴对称轴x ＝－2(m －2)
2≤2， ∴m ≥0.
18．(1)解：由1－x 2≠0得x ≠±1， ∴f (x )的定义域为{x |x ≠±1，x ∈R }．
(2)解：f (x )是偶函数，证明如下：
设x ∈{x |x ≠±1，x ∈R }，则－x ∈{x |x ≠±1，x ∈R }． ∵f (－x )＝
1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 2
1－x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．
(3)证明：∵f
1x ＝1＋
1x 2
1－
1x 2＝1＋1x 21－1x 2
＝x 2＋1x 2－1＝－1＋x 21－x 2＝ －f (x )，∴f
1x ＝－f (x )成立．
19．解：(1)由题意可知
－2<x －1<2，
－2<3－2x <2，
∴
－1<x <3，
12<x <52.
解得12<x <52.
故函数f (x )的定义域为
12，52.
(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．
∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 而f (x )在(－2,2)上单调递减，
∴
x －1≥2x －3，
12<x <5
2.
解得1
2＜x ≤2.
∴g (x )≤0的解集为
12，2.
20．解：(1)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x .
又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．
∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .
(2)由(1)知，f (x )＝
x 2－2x (x ≥0)，
x 2＋2x (x <0).
作出f (x )的图象如图所示．
由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1]，0,1]． f (x )的递增区间是－1,0]，1，＋∞)．
21．(1)证明：∵f (x )＝f
x y ·y ＝f
x y ＋f (y )(y ≠0)，
∴f
x y ＝f (x )－f (y )． (2)解：∵f (3)＝1，∴f (9)＝f (3·3)＝f (3)＋f (3)＝2. ∴f (a )>f (a －1)＋2＝f (a －1)＋f (9)＝f 9(a －1)]． 又f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴
a >0，a －1>0，a >9(a －1)，
∴1<a <9
8.
22．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋1
2x ＋2，
设x 2>x 1>1，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1
2x 2＋2－ x 1＋12x 1＋2 ＝(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)
1－12x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，
∴x 2－x 1>0，12x 1x 2<1
2，1－12x 1x 2>0，
∴f (x 2)－f (x 1)>0，
∴f (x )在1，＋∞]上单调递增．
∴f (x )在区间1，＋∞)上的最小值为f (1)＝7
2. (2)在区间1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a
x
>0恒成立， 等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立． 设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)．
∵y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a .
于是，当且仅当y min ＝3＋a >0时，f (x )>0恒成立． ∴a >－3.
解题技巧：不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题，分离参数法是求解此类问题的常用方法．
B 卷数学
班级：________姓名：________得分：________
第一章集合与函数概念(二)
(函数的概念与基本性质)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四组函数中，表示同一函数的是()
A．y＝x－1与y＝(x－1)2
B．y＝x－1与y＝x－1 x－1
C．y＝4lg x与y＝2lg x2
D．y＝lg x－2与y＝lg
x 100
2．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()
A．3个B．4个
C．5个D．6个
3．函数f(x)＝
x＋1
x－1的定义域是()
A．－1,1) B．－1,1)∪(1，＋∞) C．－1，＋∞) D．(1，＋∞)
4．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()
A．－2,2] B．1,2]
C．0,2] D．－2，2]
5．已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝
1，0≤x ≤1
－x －2，1<x ≤2
B ．f (x )＝
－1，0≤x ≤1
x ＋2，1<x ≤2
C ．f (x )＝
－1，0≤x ≤1
x －2，1<x ≤2 D ．f (x )＝
－1，0≤x ≤1
－x ＋2，1<x ≤2
6．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a b ＝(a －b )2，则函数f (x )
＝
2⊕x (x 2)－2
的解析式为( )
A ．f (x )＝4－x 2
x ，x ∈－2,0)∪(0,2]
B ．f (x )＝x 2－4
x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞)
C ．f (x )＝－x 2－4
x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞)
D ．f (x )＝－4－x 2
x ，x ∈－2,0)∪(0,2]
7．函数f (x )＝1
x －x 的图象关于( )
A ．坐标原点对称
B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．直线y ＝x 对称
8．设f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )
A ．f (0)<f (6)
B ．f (4)>f (3)
C ．f (2)>f (0)
D ．f (－1)<f (4)
9．若奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在－3，－1]上( )
A ．是减函数，有最小值0
B ．是增函数，有最小值0
C ．是减函数，有最大值0
D ．是增函数，有最大值0
10．已知函数f (x )＝
a x (x <0)，
(a －3)x ＋4a (x ≥0)，
满足对任意x 1≠x 2，都
有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0成立，则a 的取值范围是( ) A.
0，14 B ．(0,1) C.
14，1 D ．(0,3)
11．若f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，则当不等式|f (x ＋t )－1|<3的解集为(－1,2)时，t 的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
12．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在1，＋∞)
上为增函数．若x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )
A ．f (－x 1)>f (－x 2)
B ．f (－x 1)<f (－x 2)
C ．f (－x 1)＝f (－x 2)
D ．无法确定
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．若函数f (x )＝ax 7＋bx －2，且f (2 014)＝10，则f (－2 014)的值为________．
14．若函数f (x )＝
ax ＋1
x ＋2
在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．
15．已知函数f (x )＝
x ＋3x ＋1
，记f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＝m ，f
12＋f 14＋f 18＋f
116＝n ，则m ＋n ＝________. 16．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2
x －2.若f (x )≥a 2－1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范
围为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
(1)已知f (x －2)＝3x －5，求f (x )；
(2)若f (f (f (x )))＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．
18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝1
x －1，x ∈2,6]．
(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )
＝
400x －12x 2，0≤x ≤400，
80 000，x >400，
其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b∈R)，若f(1)＝－1且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求a，b的值；
(2)若函数f(x)在k，k＋1](k≥1)上的最大值为8，求实数k的值．
22．(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，
且有最小值7 4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间0,1]上的最小值，其中t∈R；
(3)在区间－1,3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．
详解答案
第一章集合与函数概念(二)
(函数的概念与基本性质)
名校好题·能力卷]
1．D 解析：∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应关系不同，
∴它们不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝
x －1
x －1
(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x 100＝lg x －2(x >0)
有相同的定义域、值域与对应关系，因此它们是同一函数．
2．C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.
3．B 解析：由
x ＋1≥0，
x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.
4．C 解析：令t ＝－x 2＋4x ，x ∈0,4]，∴t ∈0,4]．又∵y 1＝x ，x
∈0，＋∞)是增函数∴ t ∈0,2]，－t ∈－2,0]，∴y ∈0,2]．故选C.
5．C 解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1，－1)，(2,0)代入f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )＝x －
2.所以f (x )＝
－1，0≤x ≤1，
x －2，1<x ≤2.
故选C.
6．D 解析：f (x )＝
2⊕x (x 2)－2
＝
22－x 2(x －2)2
－2
＝4－x 2
|x －2|－2.由
4－x 2
≥0，|x －2|－2≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )＝－4－x 2x . 7．A 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x
＋
x ＝－
1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称． 8．D 解析：∵f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．
9．D 解析：因为奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，
所以f (x )在－3，－1]上是增函数，且有最大值0.
10．A 解析：由于函数f (x )＝
a x (x <0)，
(a －3)x ＋4a (x ≥0)
满足对任意
x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0成立，所以该函数为R 上的减函数，所以
0<a <1，a －3<0，4a ≤a 0，
解得0<a ≤1
4.
解题技巧：本题主要考查了分段函数的单调性，解决本题的关键是利用好该函数为R 上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a 0≥4a ”．
11．C 解析：由不等式|f (x ＋t )－1|<3，得－3＜f (x ＋t )－1＜3，即－2＜f (x ＋t )＜4.又因为f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，所以f (0)＝4，f (3)＝－2，所以f (3)＜f (x ＋t )＜f (0)．又f (x )在R 上为减函数，则3＞x ＋t ＞0，即－t ＜x ＜3－t ，解集为(－t,3－t )．∵不等式的解集为(－1,2)，∴－t ＝－1,3－t ＝2，解得t ＝1.故选C.
12．A 解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数且把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，即f (2＋x )＝f (－x )．因为x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，所以2＜2＋x 2＜－x 1.因为函数在1，＋∞)上为增函数，所以f (2＋x 2)＜f (－x 1)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故选A.
13．－14 解析：设g (x )＝ax 7＋bx ，则g (x )是奇函数，g (－2 014)＝－g (2 014)．∵f (2 014)＝10且f (2 014)＝g (2 014)－2，∴g (2 014)＝12，∴g (－2 014)＝－12，∴f (－2 014)＝g (－2 014)－2，∴f (－2 014)＝－14.
14．a <12 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2.∵y ＝1
x ＋2
在x ∈(－2，＋
∞)上是减函数，∴1－2a >0，∴a <12.
15．18 解析：因为函数f (x )＝x ＋3x ＋1，所以f 1x ＝1＋3x x ＋1. 又因为f (x )＋f 1x ＝4(x ＋1)x ＋1
＝4， f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＋f 12＋f 14＋f 18＋f
116 ＝f (1)＋f (2)＋f 12＋f (4)＋f 14＋f (8)＋f 18＋f (16)＋f
116＝f (1)＋4×4＝18，
所以m ＋n ＝18.
解题技巧：本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力，解
决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f (x )＋f
1x ＝4. 16．－1≤a <0 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a 2－1，解得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.
当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x
－2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2.
由对数函数的图象可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min ＝－2a ＋2，
所以－2a ＋2≥a 2－1，即a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a ≤1.又a <0， 所以－3≤a <0.
综上所述，－1≤a <0.
17．解：(1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.
(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (f (x ))＝a 2x ＋ab ＋b ，
f (f (f (x )))＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，
∴
a 3＝27，a 2
b ＋ab ＋b ＝26， 解得a ＝3，b ＝2.则f (x )＝3x ＋2.
18．(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝
1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)， 因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，
即f (x 1)>f (x 2)．
所以f (x )是定义域上的减函数．
(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1.
19．解：(1)当0≤x ≤400时，
f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000.
当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x ，
所以f (x )＝ －12
x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.
(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000；
当x ＝300时，f (x )max ＝25 000；
当x >400时，
f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000；
所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.
故当月产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000
元．
20．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.
又因为x ∈－5,5]．所以函数的最大值为37，最小值为1.
(2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数，
则有－a ≤－5或－a ≥5解得a ≤－5或a ≥5.
解题技巧：本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调性．解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系．注意分类讨论．
21．解：(1)由题意可得f (1)＝a ＋b ＝－1且－b 2a ＝1，
解得a ＝1，b ＝－2.
(2)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.
因为k ≥1，所以f (x )在k ，k ＋1]上单调递增，
所以f (x )max ＝f (k ＋1)＝(k ＋1)2－2(k ＋1)＝8，
解得k ＝±3.
又k ≥1，所以k ＝3.
22．解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，
则可设f (x )＝a
x －322＋74(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a
0－322＋74＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝
x －322＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t .
①t ≤0时，函数h (x )在0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；
③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，
所以h (x )min ＝ 4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，
5－2t ，t ≥1.
(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立， ∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立． ∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．
∵g (x )＝x 2
－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94， ∴m <－94.。