人教版初中数学二年级上册13.4 最短路径问题

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条 · A· l
B
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意 并把它抽象为数学问题吗？
M 当AB、BC和AC三条 恰好能够体现在一条 三角形的周长最小
B A
O
C
N
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A M b
a
N B
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最 小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化 为：当点N在直线b的什么位置时， AM+NB最小。
A M
a
b N B
作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AB交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N', 所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN, 若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N 则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B, 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B, ∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN, 即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN 所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。
你能利用轴对称的有关 知识，找到上问中符合条件的 点B′吗？
·
A
·
B
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上 动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
A
·
C
问题3
轴对称
·
A
·
C′ C
（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 桥要与河垂直）
A M
N
B
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b, 为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交 直线a于点M，这样，上面的问题可以转化 为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时 AM+MN+NB最小？
你能用所学的知识证明AC +BC最短
·
A
·
C
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． A ∴ AC +BC · = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ C′ = AC′+B′C′． C 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
课题学习 最短路径问题
温故知新
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会 走哪条路最近？你的理由是什么？
C A
①D ② ③
E
两点之间,线段最短
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在 处修建才能使所用引水管道最短？为什
张村
泵站
河流
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 将利用数学知探究数学史中著名的“将军饮马 题”．
A M A' N B M'
a
b
N'
将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动 到点N，点A移动到点A'，则 AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？
A M
a
A' N B
b
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过 助什么解决问题的？
平移
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。
勇攀高峰
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上， 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C
山 A Q
P
大桥
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接P 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 山 小”．
·
B
B′
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
A
·
B
C′ C
B
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过 助什么解决问题的？
B A
C
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和
如何将B“移”到l 的另一 侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长 度相等？
·
A
·
B
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上 求一点P，使得PA+PB最小。
A
为什么？
P B
l
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路 最短？ B A l
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点 B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； B ·
A· l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置 AC 与CB 的和最小（如图）．
A
P 大桥
小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作
能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题 会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟 思想．
利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两 间，线段最短”问题．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B C，组成三角形，使三角形周长最小.