石家庄28中2017—2018学年度九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

石家庄28中2017—2018学年度九年级上学期期末考试
数学试卷
总分：120分考试时间：120分钟
题号一二20212223242526
得分
一．选择题（共16小题）
1．下列事件中，不可能事件是（）
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0D．明天会下雨
2．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
3．平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（）
A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2）B．P（2，﹣3）Q（3，2）
C．P（2，3），Q（﹣4，）D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）
4．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
5．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y
轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A．2B．2C．4D．4
第2题第5题
6．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）
A．B．2C．2D．2
7．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）
A．4πB．6πC．12πD．16π
8．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）
A．B．C．D．
第6题第7题第8题
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）
A．55°B．50°C．45°D．40°
10．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）
A．πB．10πC．24+4πD．24+5π
11．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）
A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm
第9题第10题第11题
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法确定
13．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）
A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5
14．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
15．将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（）
A．y=（x+3）2﹣2B．y=（x+3）2+2C．y=（x﹣1）2+2D．y=（x﹣1）2﹣2
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x﹣1013
y﹣3131
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，
0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t
为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）
A．B．C．D．
20．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=5，CD=3，sinA=sinB=，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD﹣DC﹣CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
21．在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是．
22．对于函数
y=，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是．
23．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；
②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是
．
24．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t ﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．
25．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃﹣
4﹣2
014
植物高度增长量l/mm4149494625
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃．
26．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，点O为对角线AC的中点，⊙O
半径为1，点P为CD边上一动点，PE与⊙O相切于点E，则PE的最小值是．
27．如图，已知M（3，3），⊙M的半径为2，四边形ABCD是⊙M的内接正方形，E为AB中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，△OME的面积最大值为．
第26题第27题
28．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是．
三．解答题（共6小题）
29．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．
30．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
31．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
32．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当=时，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．
33．某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x （1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：
销售第x天第1天第2天第3天第4天 (30)
销售单价m（元/件）49484746 (20)
日销售量n（件）45505560 (190)
（1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式：，；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？
34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连结AC．
（1）填空：该抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
石家庄28中2017—2018学年度九年级上学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．下列事件中，不可能事件是（）
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0D．明天会下雨
【分析】依据不可能事件的概念求解即可．
【解答】解：A、抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故A错误；
B、五边形的内角和为540°是必然事件，故B错误；
C、实数的绝对值小于0是不可能事件，故C正确；
D、明天会下雨是实际事件，故D错误．故选C．
2．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S
△CEB
，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S
△CEB =S
△ABC
=S
正方形ABCD
，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故选：B．
3．平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（）A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2）B．P（2，﹣3）Q（3，2）
C．P（2，3），Q（﹣4，）D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）
【分析】根据两点的横纵坐标的乘积是否相等即可得到结论．
【解答】解：A、∵（﹣2）×（﹣3）≠3×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；
B、∵2×（﹣3）≠3×2，故点P，Q不在同一反比例函数图象上；
C、∵2×3=（﹣4）×（），故点P，Q在同一反比例函数图象上；
D、∵（﹣2）×3≠（﹣3）×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；故选C．
4．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断．
【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴反比例函数y=（a为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣6＜﹣2，∴0＞y1＞y2，∵3＞0，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选D．
5．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y
轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A．2B．2C．4D．4
【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．
【解答】解：设A（a，），可求出D（2a，），
=AB•CD=×2a×=4，故选C．
∵AB⊥CD，∴S
四边形ACBD
6．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）
A．B．2C．2D．2
【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2，故选B．
7．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）
A．4πB．6πC．12πD．16π
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故选C．
8．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）
A．B．C．D．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得
出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，∴△ABD是等边三角形．∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，
∴OD==．故选D．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（）
A ．55°
B ．50°
C ．45°
D ．40°
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B ，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∠B=∠DCE ﹣∠F=55°，
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠EDC=∠B=55°，∴∠E=180°﹣∠DCE ﹣∠EDC=45°，故选：C ．
10．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）
A ．π
B ．10π
C ．24+4π
D ．24+5π
【分析】作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ，根据勾股定理求得DG 的长，证明DG=EF ，则S 扇形ODG =S 扇形OEF ，然后根据三角形的面积公式证明S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，则S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆，即可求解．
【解答】解：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．
∵CG 是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG===8，
又∵EF=8，∴DG=EF ，∴=，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，
∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=π×52=π．故选A ．
11．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm ，则圆形螺母的外直径是（）
A．12cm B．24cm C．6cm D．12cm
【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为∠DAB的平
分线，OD⊥AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
∵AD，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，∴tan∠OAD=tan60°=，即=，
∴OD=6cm，则圆形螺母的直径为12cm．故选D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法确定
【分析】过O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出OD，把OD和比较即可得出答案
【解答】解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB==13，由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，∴CD=，∴⊙O与AB的位置关系是相离，故选A
13．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）
A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M 间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．
14．对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）
A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是2
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：由抛物线的解析式：y=﹣（x﹣1）2+2，
可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选（B）
15．将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（）
A．y=（x+3）2﹣2B．y=（x+3）2+2C．y=（x﹣1）2+2D．y=（x﹣1）2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】解：∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，
∴二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1﹣2）2﹣2=（x﹣1）2﹣2，故选D．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x﹣1013
y﹣3131
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，故选B．
17．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），∴y=a﹣b+c=3，∴y=a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，故④正确；故选（B）
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，
0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t
为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；故选：B．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）
A．B．C．D．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，
BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面
积公式得到y=x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．
【解答】解：作AH⊥BC于H，∵AB=AC=4cm，∴BH=CH，
∵∠B=30°，∴AH=AB=2，BH=AH=2，∴BC=2BH=4，
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，
在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，∴y=•x•x=x2，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4
在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，
综上所述，y=．故选D．
20．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=5，CD=3，sinA=sinB=，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD﹣DC﹣CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）
A．B．C．D．
【分析】过点Q做QM⊥AB于点M，分点Q在线段AD、DC、CB上三种情况考虑，根据三角形的面积公式找出s关于t的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：过点Q做QM⊥AB于点M．
当点Q在线段AD上时，如图1所示，
∵AP=AQ=t（0≤t≤5），sinA=，∴QM=t，∴s=AP•QM=t2；
当点Q在线段CD上时，如图2所示，
∵AP=t（5≤t≤8），QM=AD•sinA=，∴s=AP•QM=t；
当点Q在线段CB上时，如图3所示，
∵AP=t（8≤t≤+3（利用解直角三角形求出AB=+3），BQ=5+3+5﹣t=13﹣t，sinB=，
∴QM=（13﹣t），∴s=AP•QM=﹣（t2﹣13t），∴s=﹣（t2﹣13t）的对称轴为直线x=．
综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．故选B．
二．填空题（共8小题）
21．在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸
出一个球，则摸出白球的概率是．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解；袋子中球的总数为：4+2=6，∴摸到白球的概率为：=，故答案为：．
22．对于函数y=，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜0．
【分析】先求出y=﹣1时x的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵当y=﹣1时，x=﹣2，∴当函数值y＜﹣1时，﹣2＜x＜0．故答案为：﹣2＜x＜0．23．函数y1=x与y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；
②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确
结论的序号是①③
．
【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可．
【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
③y=x
+=
（
﹣）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．
24．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是s=60t ﹣t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．
【分析】将s=60t ﹣1.5t 2，化为顶点式，即可求得s 的最大值，从而可以解答本题．
【解答】解：解：s=60t ﹣t 2=
﹣（t ﹣20）2+600，
∴当t=20时，s 取得最大值，此时s=600．故答案是：20．
25．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣
4
﹣2014
植物高度增长量l/mm 4149494625
科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为
﹣1℃．
【分析】首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．
【解答】解：设l=at 2+bt +c （a ≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组
，解得：，所以l与t之间的二次函数解析式为：l=﹣t2﹣2t+49，
当t=﹣=﹣1时，l有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
另法：由（﹣2，49），（0，49）可知抛物线的对称轴为直线t=﹣1，故当t=﹣1时，植物生长的温度最快．故答案为：﹣1．
26．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，点O为对角线AC的中点，⊙O
半径为1，点P为CD边上一动点，PE与⊙O相切于点E，则PE的最小值是．
【分析】连接BD交AC于O，连接OE、OP．易知PE=，因为OE=1，所以OP最小时，PE最小，求出OP的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接BD交AC于O，连接OE、OP．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠B=60°，∴∠ODC=30°，
∵CD=AC=4，∴OC=2，OD=2，∵PE是切线，∴OE⊥PE，∴∠OEP=90°，∴PE=，
∵OE=1，∴OP最小时，PE最小，当OP⊥CD时，OP===，
∴PE的最小值==．故答案为．
27．如图，已知M（3，3），⊙M的半径为2，四边形ABCD是⊙M的内接正方形，E为AB中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，△OME的面积最大值为3．
【分析】因为OM，ME是定值，所以当EM⊥OM时，△OME的面积最大，求出OM、EM即可解决问题．【解答】解：∵OM，ME是定值，∴当ME⊥OM时，△OME的面积最大，
∵M（3，3），∴OM=3，∵⊙M的半径为2，∴正方形ABCD的边长为2，∴ME=，
∴△OME的面积的最大值=•OM•ME==3．故答案为3
28．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是角平分线上的点到角两边距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．
【分析】作PD⊥BC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，易得PD=PA，根据切线的判定定理可证得BC是⊙P的切线．
【解答】证明：作PD⊥BC，
∵BF平分∠ABC，∠A=90°∴PA=PD，∴PD是⊙P的半径，∴D在⊙P上，∴BC是⊙P的切线．
故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．
三．解答题（共6小题）
29．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图：
；
（2）共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为=．
30．如图，正比例函数y 1=﹣3x 的图象与反比例函数y 2=的图象交于A 、B 两点．点C 在x 轴负半轴上，AC=AO ，△ACO 的面积为12．
（1）求k 的值；（2）根据图象，当y 1＞y 2时，写出x 的取值范围．
【分析】（1）过点A 作AD 垂直于OC ，由AC=AO ，得到CD=DO ，确定出三角形ADO 与三角形ACD 面积，即可求出k 的值；（2）根据函数图象，找出满足题意x 的范围即可．
【解答】解：（1）如图，过点A 作AD ⊥OC ，∵AC=AO ，∴CD=DO ，∴S △ADO =S △ACD =6，∴k=﹣12；（2）联立得：
，解得：
或
，即A （﹣2，6），B （2，﹣6），
根据图象得：当y 1＞y 2时，x 的范围为x ＜﹣2或0＜x ＜2．
31．如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC=∠A ，连接OE 延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为6，BC=8，求弦BD 的长．
【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，=，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，
∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，
∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．
32．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．
（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当=时，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．
【分析】（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP，PD的长；
（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，
在Rt△POD中，PD===2；
（2）①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，
∵=，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，
∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；
②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，
在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
∴CP=CF﹣PF=3﹣3．
33．某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x （1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：
销售第x天第1天第2天第3天第4天 (30)
销售单价m（元/件）49484746 (20)
日销售量n（件）45505560 (190)
（1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式：m=﹣x+50，n=5x+40；（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？【分析】（1）由表格中数据的变化，用含x的代数式表示出m、n即可；
（2）根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由1≤x≤30可确定x的值；（3）设日销售额为w元，根据总价=单价×数量即可找出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低1元/件、销量增加5件，
∴m=49﹣（x﹣1）=﹣x+50，n=45+5（x﹣1）=5x+40．故答案为：m=﹣x+50；n=5x+40．
（2）根据题意得：（﹣x+50）（5x+40）=3600，整理得：x2﹣42x+320=0，解得：x1=10，x2=32．
∵32＞30，∴x=32舍去．答：第10天的日销售额为3600元．
（3）设日销售额为w元，
根据题意得：w=（﹣x+50）（5x+40）=﹣5x2+210x+2000=﹣5（x﹣21）2+4205．
∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．。