2.2一元二次方程的解法

2.2 一元二次方程的解法学案

一、导学目标：熟练掌握一元二次方程的四种解法

二、要点学习：

1.一元二次方程的解法

解法一： 因式分解法，其基本步骤：(1) 若方程的右边不是零，则先 ，使方程的 为零；

(2) 将方程的左边 ；(3) 将一元二次方程转化为解 . 解法二： 开平方法：形如x 2=a (a≥0)的方程，根据 的定义，解得x 1= ，x 2= .

解法三：配方法，其基本步骤：(1) 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，在方程两边同时除以 ，就化归为二次项系数为1的一元二次方程；(2) 将 移项至方程右边；(3) 方程的两边同加上 的平方；(4) 当方程右边为非负数时，可用因式分解法或 法解出方程的根. 解法四：公式法的概念：当b 2－4ac 时，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是： ，这种一元二次方程的解法叫做公式法.

2. 一元二次方程根的判别式：我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式，简写成：“⊿”.当b 2－4ac 时方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac 时方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac 时方程没有实数根.

三、课前热身

1.把下列关于x 的方程中是一元二次方程的序号填入横线上： .

①x 2=0；②21x

+z =4；③m 2x +x －1=0；④5x 2=0；⑤3x 2+2x +5=0；⑥3x 3－4x 2+1=0； ⑦x (x +5)= x 2－2x ； ⑧(a 2+1)x 2+3x +1=0.

2. 关于x 的方程(m －1)x n +2(k －2)x +2m +2=0是一元二次方程的条件是 .

3. 将方程(2x +3)(x －1)=1化成一元二次方程的一般形式是 .

4. 用适当的方法解下列一元二次方程：

(1) 3x 2=2x ； 2）(x －1)2=2； (3) (2x －1)2 = (3－x )2； (4) (x －3)2+4(x －3)=5；（5）x 2+8x －1=0

5.用配方法解方程：ax 2+bx +c =0(a ≠0，b 2－4ac ≥0).

四、典例分析：

【例1】用配方法解方程：2x 2－x －1=0.

【解】两边同除以2，得x 221-x 21-=0. 移项，得x 221-x =21.

配方，得x 221-x 22412141⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即169412

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x . ∴4341=-x 或4341-=-x ∴x 1=1，x 2=2

1-.

【黑色陷阱】用配方法解一元二次方程时，注意以下三点：没有将二次系数化为1；或者把二次项系数化为1时，其余各项没有除以二次项系数；配方时，只在左边加上一次项系数一半的平方，右边忘记加上.

【例2】用公式法解下列方程：(1) x 2－3x +2=0； (2) 2x 2－6=2x .

【解】(1) ∵a =1，b =－3，c =2，∴b 2－4ac =(－3)2－4×1×2=1.∴x =

()213±--. ∴x 1=2，x 2=1. (2) 将一元二次方程化为一般形式，得 2x 22-x －6=0.

∵a =2，b =2-，c =－6，∴b 2－4ac =(2-)2－4×2×(－6)=50.

∴x =()

425222502±=⨯±--. ∴x 1=223，x 2=2-. 【黑色陷阱】运用公式法解方程时，注意以下两个方面：没有将方程化为一般形式，就确定a ，b ，c 的值或确定a ，b ，c 的值时，忽略了a ，b ，c 的符号.

【例3】若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k =0没有实数根，求k 的取值范围.

【解】 ∵一元二次方程x 2+2x －k =0没有实数根，∴b 2－4ac =22－4×1×(－k )<0. 解得k <－1.

【绿色通道】判定一元二次方程根的情况，要根据判别式来确定：当b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac <0时，方程没有实数根.

五、巩固训练

1.用适当的方法解一元二次方程：

(1) (2)(3)20x x ++=； (2) x 2＋3＝3(x ＋1)； (3) (x －1)2－5=0； （4）x (x -1)=2.

2. 已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个实数根，求m 的取值范围.

3. 阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)+4=0，我们可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1=y ……①，那么原方程可化为y 2－5y +4=0，解得y 1=1，y 2=

4. 当y =1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =2±；当y =4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x ＝5±，故原方程的解为x 1=2，x 2=2-，x 3=5，x 4=5-.

解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

(2)请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0.