河北省正定中学2016届高三上学期期末考试文数试题Word版含解析

河北省正定中学2016届高三上学期期末考试
文数试题
1．已知集合{}
0342<+-=x x x A ，{}
42<<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．)4,1( C ．)3,2( D ．)4,2( 【答案】B 【解析】
试题分析：因为{}{
}
310342<<=<+-=x x x x x A ，
{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A ．故选B ．
考点：集合的运算． 2．已知R a ∈，若复数i
i
a z +-=
12为纯虚数，则=+ai 1（ ） A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】D 【解析】 试题分析：
2
)2()2()1)(1()1)(2(12i
a a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=
为纯虚数，则
2=a ．1ai +=12i +=D ．
考点：复数的概念与运算．
3．已知)(sin )(3
R x x x x f ∈+=是（ ） A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】
试题分析：3
3
()()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以)(x f 是奇函数．故选B ． 考点：函数的奇偶性．
4．抛物线2
4
1x y =的焦点坐标为（ ） A ．)0,161( B ．)16
1
,0( C ．)1,0( D ．)0,1(
【答案】C 【解析】
试题分析：抛物线的标准方程为2
4x y =，2p =，焦点在y 轴正半轴上，为(0,1)． 考点：抛物线的几何性质．
5．为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为3:5:k ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A ．240
B ．300
C ．360
D ．400 【答案】C 【解析】
试题分析：由已知高一年级抽取的比例为511200240=，所以5
1
35=++k k ，得2=k ，故高三年级抽取的人数为3603
523
1200=++⨯．
考点：分层抽样．
6．函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12
)(在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：x x f 2log 1)(+=的图象由函数x x f 2log )(=的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过)1,1(点，且为单调函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点)0,1(，而不是)1,1(，故不满足； 函数x x
x g )2
1
(22
)(1⨯==-，其图象经过)2,0(点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数
与y 轴的交点坐标为)1,0(，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足．
综上所述，排除A ，B ，D ．故选C ． 考点：函数的图象．
7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
A ．
2
1
B ．1-
C ．2
D ．1 【答案】B 【解析】
试题分析：第一次循环2,2
1
==i a ；第二次循环3,1=-=i a ；第三次循环4,2==i a ；第四次循环2,2
1
==
i a ；周期为3，则执行该程序后输出的结果是1-．故选B ． 考点：程序框图．
8．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以h km /40的的速度由A 处出发，沿北偏东
60方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西
45方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东
30方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是（ ）
A ．km )26(5+
B ．km )26(5-
C ．km )26(10-
D ．km )26(10+
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意，知
303060=-=∠BAC ，
754530=+=∠ABC ，
753075180=--=∠ACB ，∴)(202
1
40km AB AC =⨯
==，由余弦定理，得 )
32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=
．故选C ．
考点：解三角形的应用． 9．若“81≥
a ”是“c x
a
x x ≥+>∀2,0”的充分不必要条件，则实数c 的取值范围为（ ） A ．10≤<c B ．10≤≤c C ．1≤c D ．1≥c 【答案】C 【解析】
试题分析：若0≤c ，则0≥a ，符合题意，若0>c ，则82222
c a c a x a x ≥⇒≥≥+，
于是
108
1
82≤<⇒≤c c ．所以1≤c ．故选C ． 考点：充分必要条件．
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
π23
1
+ B ．
12211++π C ．
2211+π D ．
ππ
22
11+ 【答案】B 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：
12
2
111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++
ππππ
π，故选B ． 考点：三视图，几何体的表面积．
11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左，右焦点，P 为双曲线右支上的
任意一点，若
2
2
1PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．]3,1(
B ．]3,1(
C ．]3,3[
D ．),3[+∞ 【答案】A ． 【解析】
试题分析：设t PF =2，则a c t t a PF -≥+=,21．
又a a t
a t t t a PF PF 844)2(2
222
1
≥++=+=，当且仅当a t 2=时等号成立．所以a a c 2≤-，所以31≤<e ．故选A ． 考点：双曲线的几何性质．
【名师点睛】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．要求离心率e 的取值范围，就要想办法建立一个关于,a c 的不等式，题中已知条件是
2
2
1PF PF 的最
小值为a 8，由双曲线性质知设2PF t =，则有t c a ≥-，而已知条件为
()2
28a t a t
+≥，由函数性质可求得2t a =时最小值取到，因此有2a c a ≥-，这样目标达到了．
12．已知函数2
ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，
],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．),[+∞e
B ．),2[2+∞e
C ．),2
[22e e D ．),[2
+∞e
【答案】B 【解析】
试题分析：若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2
e e x ∈都成立，即x bx x a ≥-2
ln 对
所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，即2
ln bx x x a ≥-对所有的]0,(-∞∈b ，],(2
e e x ∈都
成立，
即0ln ≥-x x a 对],(2
e e x ∈都成立，即x
x a ln ≥对],(2
e e x ∈都成立，即a 大于等于x x ln 在
区间],(2
e e 上的最大值，令x
x x h ln )(=，则2
)(l n 1ln )(x x x h -='，当],(2
e e x ∈时，0)(>'x h ，)(x h 单调递增，
所以x x x h ln )(=，],(2e e x ∈的最大值为2)(22
e e h =，即22e a ≥，所以a 的取值范围为
),2
[2
+∞e ． 考点：不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、极值．
【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明与恒成立问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而得出结论．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设向量a ，b 是相互垂直的单位向量，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数=λ________. 【答案】2 【解析】
试题分析：由题意1a b ==，0a b ⋅=，又()(2)0a b a b λ+⋅-=，即
22
(12)20a a b b λλ+-⋅-=，所以20λ-=，2λ=．
考点：向量的数量积与垂直．
14．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤-1
31
y y x x y ，则2+=x y z 的最大值为_______．
【答案】
23
【解析】
试题分析：画出可行域，目标函数)
2(0
2---=+=
x y x y z 表示可行域内的点),(y x 与点)0,2(-连线的斜率，当其经过点)2,1(A 时，2
+=
x y z 取到最大值为32=z ．
考点：简单的线性规划的应用．
15．直三棱柱111C B A ABC -中，2==AC AB ，3
2π
=∠BAC ，41=AA ，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】
3
264π
【解析】
试题分析：设O 是外接球球心，1O 是ΔABC 外接圆圆心，则1OO ⊥底面ABC ，
111
22
OO AA =
=，
又
2s i 223
3πBC AB
=⨯=⨯=，
所
以24sin sin 3
BC OB BAC =
==∠，即12O B =，所
以OB ==，所
以
334433球V πOB π=
⨯=⨯=．
C 1
B 1
A 1
O 1
O
C
B A
考点：棱柱与外接球，球的体积．
【名师点睛】几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R
； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；
③球与正方体的各棱相切，则2R
a ．
（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R
（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，
16．函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且0,0>>ωA ）的部分图象如图所示，下列结论：
①最小正周期为π； ②将)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位，所得到的函数是偶函数；
③1)0(=f ；
④)13
14()1112(
π
πf f <； ⑤)3
5()(x f x f --=π
，其中正确的是_______．
【答案】①④⑤ 【解析】
试题分析：由图可知，ππϕπωππππ2
3
21272,2431274,
2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ，
.,32Z k k ∈+
=ππϕ3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π
，
)3
22sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，
对称轴为直线Z k k x ∈+=,122ππ，一个对称中心为)0,6
5(π
，所以②、③不正确；
因为)(x f 的图象关于直线1213π=x 对称，且)(x f 的最大值为)12
13(π
f ，
121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以)13
14()1112(π
πf f <，即④正确；
设))(,(x f x 为函数)32sin(2)(π+=x x f 的图象上任意一点，其对称中心)0,6
5(π
的对称点
))(,35(x f x --π还在函数)32sin(2)(π
+=x x f 的图象上，即)3
5()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-π
π，故⑤正确． 考点：函数()sin()f x A ωx φ=+的解析式、图象与性质．
【名师点睛】本题在解答过程中用到了数形结合的数学思想，从图中准确提取有效信息是解答本题的关键．根据五点法的作图规律，认清图中的一些已知点属于五点法中的哪一点，进而选择对应的方程得出ϕ的值．对于()sin()f x A x h ωϕ=++，应明确A ω、决定“形变”，
h ϕ、决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A ωϕ、、影响单调性．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设数列{}n a 的前n 项和12a a S n n -=，且41+a 是32,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 的前n 项和n T ．
【答案】（1）n
n a 2=；（2）2
22n n
n T +=-
． 【解析】
试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，一般是利用1(2)n n n a S S n -=-≥化关系式
为n a 的关系，从而得得{}n a 是等比数列，通项公式可得；（2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是由等差数列与等
比数列相除（乘）得到的，因此其前n 项和n T 只能用错位相减法求得． 试题解析：（1）由已知12a a S n n -=，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即)1(21>=-n a a n n ．从而122a a =，134a a =．
又因为41+a 是32,a a 的等差中项，即321)4(2a a a +=+．解得21=a ． 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
故n
n a 2=．
（2）由（1）得
n n n a n 2=，所以n n n T 2
23222132+⋅⋅⋅+++=， 1
22
23112-+⋅⋅⋅++
+=n n n
T 两式相减 n
n n
n n n n n n T 22222
11)21
(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-． 考点：已知n S 与n a 的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．
18. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于cm 173的同学，求身高为cm 176的同学身高被抽中的概率．
【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）)(2.572cm ；（3）5
2=
P ． 【解析】
试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，计算平均值可得；（2）由方差公式2
211()n
i i s x x n ==-∑计算方差；（3）由茎叶图知乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，可以把5人编号后，随便抽取2名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共10个），其中含有身高176cm 基本事件有4个，由概率公式计算可得．
试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学身高为甲x ，乙班10位同学身高为乙x ，则
)(170)158162163168168170171179179182(10
1cm x =+++++++++=甲．2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(10
1cm x =+++++++++=乙．4分 ∵甲乙x x >，据此可以判断乙班同学的平均身高较高．
设甲班的样本方差为2甲s ，由（1）知cm x 170=甲．则
22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(10
1-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分
由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于cm 173的同学有5人，身高分别为cm 173、
cm 176、cm 178、cm 179、cm 181．这5名同学分别用字母A 、B 、C 、D 、E 表示．则记“随机抽取两名身高不低于cm 173的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：],[B A 、
],[C A 、],[D A 、],[E A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 、],[D C 、],[E C 、],[E D 共10个基本事件． 10分
记“身高为cm 176的同学被抽中”为事件M ，
则M 包含的基本事件为：],[B A 、],[C B 、],[D B 、],[E B 共4个基本事件． 由古典概型的概率计算公式可得：5
2104)()()(==Ω=
n M n N P ． 12分 考点：茎叶图，均值，方差，古典概型．
19. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）求证：∥PB 平面AEC ；
（2）设1=AP ，2=AD ，
60=∠ABC ，求点A 到平面PBD 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
． 【解析】 试题分析：（1）要证线面平行，由判定定理知要证线线平行，而由性质定理知，这条平行线是过直线PB 的平面与平面AEC 相交所得，由图可知设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，
EO 就是要找的平行线；
（2）要求点到平面的距离，可根据定义作出点到平面的垂线，从已知条件可知由平面PAC ⊥平面PBD ，因此只要作AH PO ⊥于点H ，由有AH ⊥平面PBD ，在ΔAPO 中求得AH 即可，另外求点到平面的距离也可用体积法，由P ABD A PBD V V --=易得所求距离．
试题解析：（1）设BD 与AC 的交点为O ，连接EO ，
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点，所以PB EO ∥．⊂
EO
平面AEC ，⊄PB 平面AEC ，所以∥PB 平面AEC
设CD AB ,交于点O ，由题设知⊥BD 平面PAC ，
所以面PBD PAO ⊥，作PO AH ⊥交PO 于H ，
故⊥AH 平面PAO ，又2
2=⋅=PO AO PA AH ， 所以A 到平面PBD 的距离为2
2． 方法二：3
3120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， 5==PD PB ，2==AD AB ， 120=∠BAD ， 所以32=BD ，2=PO ，ABD P PBD A V V --=，
设A 到平面PBD 的距离为d ，所以有
3331=∆d S PBD ，22=d ， 所以A 到平面PBD 的距离为2
2． 考点：线面平行的判断，点到平面的距离．
20. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点),(b a M -，),(b a N ，2F 和1F 组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点B A ,，求AB F 2∆面积的最大值．
【答案】（1）13
42
2=+y x ；（2）3． 【解析】
试题分析：（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一是b =
的面积得3a c +=，再结合222a c b -=可得；（2）此题中直线AB 的斜率可能不存在，但不
能为0，因此可设直线方程为1-=my x ，同时设交点为),(),,(2211y x B y x A ，把直线方程代
入椭圆方程得y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，再求出2ΔF A B S ，注意
2Δ121212
F A B S F F y y =
-，最终把2ΔF AB S 表示为m 的函数，由函数单调性可得最值． 试题解析：（1）由条件，得3=b ，且333222=+c a ，所以3=+c a ． 又32
2=-c a ，解得2=a ，1=c ．所以椭圆的方程1342
2=+y x ． 显然，直线的斜率不能为0，
设直线方程为1-=my x ，直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+1
13422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m ． 因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴4
39,436221221+-=+=+m y y m m y y ． 2
2221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S AB F )
1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , 令112≥+=m t ，设t t y 91+
=，易知)31,0(∈t 时，函数单调递减，),31(+∞∈t 函数单调递增，
所以当112=+=m t 即0=m 时，9
10min =y ，AB F S 2∆取最大值3． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题．
【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于,,a b c 的两个方程（不含222a b c =+），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中最值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相应量，再求得这个函数的最值，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为
()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为3x my =+（这样设包含了斜率不存在的情形）
，代入椭圆方程由韦达定理可用m 表示出1212,y y y y +，把2ΔF A B S 用12,y y 表示，最后把1212,y y y y +代入化简，即把2ΔF AB S 表示为m 的函数．这是解析几何中常用的“设而不求”法．
21．设函数x a x x f ln )()(+=．x e
x x g 2
)(=．已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行．
（1）求a 的值；
（2）是否存在自然数k ，使得方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的实根？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）1a =；（2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．
【解析】
试题分析：（1）本小题考查导数的几何意义同，由题意知'(1)2f =，由此可得a 值；（2）实
质是方程()()f x g x =只有一解，为此研究函数x e x x x x g x f x h 2
ln )1()()()(-+=-=，首先从函数值可以看出(0,1]x ∈时，()0h x <，而2
4(2)3ln 20h e =->，因此方程)()(x g x f =要有解必定在(1,2)上，再利用导数证明()h x 在(1,)+∞是单调递增即可．
试题解析：（1）由题意知，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率为2，所以2)1(='f ． 又1ln )(++='x
a x x f ，所以1=a ． （2）1=k 时，方程)()(x g x f =在)2,1(内存在唯一的根． 设x e
x x x x g x f x h 2
ln )1()()()(-+=-=， 当]1,0(∈x 时，0)(<x h ．又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-
=e e h ， 所以存在)2,1(0∈x ，使0)(0=x h ． 因为x e x x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当)2,1(∈x 时，011)(>->'e
x h ， 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x h ，
所以当),1(+∞∈x 时，)(x h 单调递增．
所以1=k 时，方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根．
考点：导数的几何意义，函数的零点，导数与单调性．
【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）；
（2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ；
（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝()()
1010f x f x x x --求解．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 选修4-1：几何证明选讲
22. 已知AB 是半圆O 的直径，4=AB ，点C 是半圆O 上一点，过C 作半圆O 的切线CD ，过点A 作CD AD ⊥于D ，交半圆于E ，1=DE ．
（1）求证：AC 平分BAD ∠；
（2）求BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）问题实际上是证明CAD OAC ∠=∠，这不能直接证明，但它们的余角是同弧所对的圆周角与弦切角，是相等的，结论得证；（2）要求BC 长，由（1）知BC CE =，这样只要证得CDE RT
∆ACB RT ∆，正好由已知的两线段长求得BC ．
试题解析：（1）连接OC ，因为OC OA =，所以OCA OAC ∠=∠，
因为CD 为半圆O 的切线，所以CD OC ⊥，
因为CD AD ⊥，所以AD OC ∥，
所以CAD OCA ∠=∠，CAD OAC ∠=∠，
所以AC 平分BAD ∠．
连接CE ，由（1）知CAD OAC ∠=∠，所以CE BC =．
因为D C B A ,,,四点共圆，故CED ABC ∠=∠，
因为AB 是半圆O 的直径，所以ACB ∠是直角，
CDE RT ∆ACB RT ∆，
AB CB CE DE ::=，2=BC ．
考点：切线的性质，弦切角定理，圆周角定理，相似三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程
23. 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(π
Q ． （1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）求P 、Q 两点的最短距离．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：0222
2=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆；（2）23-．
【解析】
试题分析：（1）由22y x +=ρ，22sin y x y
+=θ，22cos y x x +=θ或
cos ,sin ,ρθx ρθy ==
222ρx y =+可将极坐标方程化为直角坐标方程，方程配方后得圆标准方程；（2）由圆性质知，PQ 的最短距离等于Q 到圆心的距离减去圆的半径．
试题解析：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπ
θρ-=-=，得到
θρθρρcos 2sin 22-=，
∴曲线C 的直角坐标方程为：0222
2=-++y x y x 且曲线C 是以)1,1(-为圆心，2为半径的圆． Q 点直角坐标为)22,22(，Q 点到圆心)1,1(-的距离为3)2
21()221(22=-+--， PQ 的最短距离为23-．
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间距离公式，圆的性质．
选修4-5：不等式选讲
24. 已知函数112)(++-=x x x f ．
（1）求不等式2)(≥x f 的解集；
（2）若关于x 的不等式a x f <)(的解集为R ,求参数a 的取值范围．
【答案】（1）),32[]0,(+∞-∞ ；（2）23≤
a ． 【解析】
试题分析：含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得x 的值，这些x 的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数()f x 的最小值就可得到结论．
试题解析：（1）当21≥
x 时，23)(≥=x x f ，得到32≥x ， 当2
11≤≤-x 时，22)(≥-=x x f ，得到01≤≤-x ， 当1-<x 时，23)(≥-=x x f ，得到1-<x ， 综上，不等式解集为),3
2[]0,(+∞-∞ ．
（2）由题意知，a x f ≥)(对一切实数x 恒成立， 当21≥
x 时，2
33)(≥≥x x f ， 当211≤≤-x 时，232)(≥-=x x f ， 当1-<x 时，33)(>-=x x f ． 综上，2
3)(min =x f ．故23≤a ． 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．。